安徽省太和中學(xué) 岳 峻

三角函數(shù)公式的正用、逆用、變形用

安徽省太和中學(xué) 岳 峻

三角函數(shù)的化簡、變換與求值是高考考查的重點(diǎn)內(nèi)容之一。三角函數(shù)的公式看似很多、很復(fù)雜，但只要掌握了三角函數(shù)公式的本質(zhì)特點(diǎn)，學(xué)會每一個(gè)公式的“三用”：正用、逆用、變形用，就可以優(yōu)化解題過程，事半功倍。

公式的正用是“依葫蘆畫瓢”地模仿，機(jī)械地套用，是公式應(yīng)用的“了解”層次；公式的逆用是公式應(yīng)用的“熟悉”層次；公式應(yīng)用的最高境界是公式的變形用，是公式應(yīng)用的“見解”層次。

本文結(jié)合三角函數(shù)的一些公式，讓同學(xué)們體驗(yàn)一下公式的“三用”：正用、逆用、變形用。

一、三角函數(shù)和差的正、余弦公式的應(yīng)用

兩角之和的余弦公式cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ是三角函數(shù)的和、差以及倍角公式的“源頭”。

例1 sin15°+sin75°=_______。

點(diǎn)評 三角恒等變換的主要題型是化簡、求值題。在化簡、求值的過程中，我們要注意公式的正用和逆用。本題也可以這樣求解：。

點(diǎn)評 在解答有關(guān)三角函數(shù)性質(zhì)的綜合試題時(shí)，我們要抓住函數(shù)解析式這個(gè)關(guān)鍵。若函數(shù)解析式較為復(fù)雜，則要注意使用三角恒等變換公式將函數(shù)解析式化為y=Asin（ωx+φ）+b（A＞0）的形式，然后利用正弦（余弦）函數(shù)的性質(zhì)求解。第（2）小題也可以活用對稱性求解，即。

對于形如asinα+bcosα（a、b不為0）的代數(shù)式可以按如下步驟化簡：

二、三角函數(shù)的倍角正、余弦公式的應(yīng)用

兩角之和的正、余弦公式中，令α=β，可得如下的倍角公式及其變形：

點(diǎn)評 善于發(fā)現(xiàn)角之間的差別與聯(lián)系，對角進(jìn)行合理拆分，將所求式化為同一個(gè)角的同一三角函數(shù)的形式，這是三角函數(shù)式求值的常用方法。解題關(guān)鍵在于“變角”，使角相同或具有某種關(guān)系。

例4 （1）cos20°cos40°cos60°cos80°=________。

三、三角函數(shù)和差的正切公式的應(yīng)用

例6 在數(shù)1和100之間插入n個(gè)實(shí)數(shù)，使得這n+2個(gè)數(shù)構(gòu)成遞增的等比數(shù)列，將這n+2個(gè)數(shù)的乘積記作Tn，再令an=lgTn（n≥1）。

（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式。

（2）設(shè)bn=tanan·tanan+1，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn。

我們學(xué)習(xí)任何一個(gè)公式，不能僅僅局限于它的正用，還要掌握它的逆用，更要熟悉它的各種變形用法。只有如此，我們才能精學(xué)一題、妙解一類，提升我們的解題能力；只有如此，我們才能透徹理解，內(nèi)化于心，提升我們的數(shù)學(xué)思維素養(yǎng)；只有如此，我們才會具有更加靈活和敏捷的思維，不論考查方向、考查形式如何變化，都能從容應(yīng)對。