余弦公式

容,兩角差的余弦公式是“三角恒等變換”這一節(jié)的基礎(chǔ)和出發(fā)點(diǎn),也是前面所學(xué)三角函數(shù)知識(shí)的繼續(xù)與發(fā)展.由于和與差內(nèi)在的聯(lián)系性與統(tǒng)一性,教材選擇兩角差的余弦公式作為基礎(chǔ),使公式的證明過程盡量簡潔明了,易于學(xué)生理解和掌握.教材沒有直接給出兩角差的余弦公式,因此可以利用問題驅(qū)動(dòng)學(xué)生結(jié)合本章已學(xué)的知識(shí)與方法進(jìn)行自主探究,引導(dǎo)學(xué)生大膽猜想、小心求證,鼓勵(lì)學(xué)生發(fā)散思維、創(chuàng)新方法.2 教學(xué)目標(biāo)(1)掌握兩角差的余弦公式,能正確運(yùn)用公式進(jìn)行簡單的求值運(yùn)算;(2)經(jīng)歷用平面直角

下的兩角差的余弦公式三角函數(shù)是高中數(shù)學(xué)內(nèi)容的重要組成部分，且與許多知識(shí)都有著密切的關(guān)聯(lián).由于三角函數(shù)命題系中大部分命題的推導(dǎo)都源于兩角差的余弦公式，因此建立良好的兩角差的余弦公式CPFS結(jié)構(gòu)對(duì)學(xué)生形成三角恒等變換命題系有很大影響[1].圖1 三角函數(shù)模塊的知識(shí)結(jié)構(gòu)圖本研究將基于CPFS結(jié)構(gòu)理論進(jìn)行“兩角差的余弦公式”的教學(xué)設(shè)計(jì)，幫助學(xué)生建立三角恒等變換公式的知識(shí)生長點(diǎn)，進(jìn)而構(gòu)建良好的三角函數(shù)知識(shí)結(jié)構(gòu)(如圖1所示).2 教學(xué)設(shè)計(jì)2.1 教材分析兩角差的余弦公

實(shí)的.兩角差余弦公式脫胎于平面幾何，與余弦定理、射影定理等三角學(xué)的重要定理、公式以及復(fù)數(shù)知識(shí)都有密切的聯(lián)系.研究兩角差余弦公式有助于培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)建模等素養(yǎng).《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》(以下簡稱“課標(biāo)”)要求：“知道兩角差余弦公式的意義、經(jīng)歷公式的產(chǎn)生過程，能從余弦推導(dǎo)正弦、正切.”因此，研究兩角差余弦公式如何引入很有必要.如表1所示，在呈現(xiàn)方式上，人教版教材從現(xiàn)實(shí)情境出發(fā)，滬教版和蘇教版教材從數(shù)學(xué)情境出發(fā)引入公式

實(shí)的.兩角差余弦公式脫胎于平面幾何，與余弦定理、射影定理等三角學(xué)的重要定理、公式以及復(fù)數(shù)知識(shí)都有密切的聯(lián)系.研究兩角差余弦公式有助于培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)建模等素養(yǎng).《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》(以下簡稱“課標(biāo)”)要求：“知道兩角差余弦公式的意義、經(jīng)歷公式的產(chǎn)生過程，能從余弦推導(dǎo)正弦、正切.”因此，研究兩角差余弦公式如何引入很有必要.如表1所示，在呈現(xiàn)方式上，人教版教材從現(xiàn)實(shí)情境出發(fā)，滬教版和蘇教版教材從數(shù)學(xué)情境出發(fā)引入公式

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，“兩角差的余弦公式”是“誘導(dǎo)公式”的推廣，但是兩個(gè)公式之間究竟存在怎樣的聯(lián)系，如何利用它們之間的聯(lián)系開展教學(xué)是困擾廣大一線教師的問題.下面，筆者就針對(duì)這節(jié)課，談?wù)剬?duì)此的看法.1 關(guān)注知識(shí)的連續(xù)性，建立“為什么學(xué)”的聯(lián)系通常“兩角差的余弦公式”都是通過“誘導(dǎo)公式”引入的.因?yàn)檎T導(dǎo)公式反應(yīng)了終邊具有特殊對(duì)稱關(guān)系角的三角函數(shù)的關(guān)系，由此聯(lián)想到對(duì)于終邊不具有對(duì)稱關(guān)系的任意兩個(gè)角之間是否也存在類似的關(guān)系，從而引出本節(jié)課的教學(xué)主題.這樣的聯(lián)系，看似是自然，實(shí)則學(xué)生很

兩角和與差的余弦公式”的教學(xué)設(shè)計(jì)為例，談?wù)勗跀?shù)學(xué)課堂教學(xué)設(shè)計(jì)中，如何滲透數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)．1 回顧舊知，引出問題我們?cè)诒匦匏牡诙隆镀矫嫦蛄俊分?，學(xué)習(xí)了向量的概念及表示、向量的運(yùn)算和坐標(biāo)表示，以及向量的數(shù)量積．?dāng)?shù)量積公式a·b=|a||b|cosθ(其中θ為向量a,b的夾角)，另外a=(x1,y1),b=(x2,y2)，a·b=x1x2+y1y2．設(shè)計(jì)意圖引導(dǎo)學(xué)生從聯(lián)系與變換的角度自然地提出接近研究水平的問題，增強(qiáng)學(xué)生的問題意識(shí)．不直接提出先研究cos(

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實(shí)的.兩角差余弦公式脫胎于平面幾何，與余弦定理、射影定理等三角學(xué)的重要定理、公式以及復(fù)數(shù)知識(shí)都有密切的聯(lián)系.研究兩角差余弦公式有助于培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)建模等素養(yǎng).《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》(以下簡稱“課標(biāo)”)要求：“知道兩角差余弦公式的意義、經(jīng)歷公式的產(chǎn)生過程，能從余弦推導(dǎo)正弦、正切.”因此，研究兩角差余弦公式如何引入很有必要.如表1所示，在呈現(xiàn)方式上，人教版教材從現(xiàn)實(shí)情境出發(fā)，滬教版和蘇教版教材從數(shù)學(xué)情境出發(fā)引入公式

以“兩角差的余弦公式”教學(xué)為例，嘗試從知識(shí)聯(lián)系性及方法統(tǒng)一性出發(fā)，從數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)生發(fā)展的合理性、學(xué)生思維過程的合理性兩個(gè)角度構(gòu)建學(xué)習(xí)過程，以問題引導(dǎo)學(xué)習(xí)，探索發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)的路徑.［關(guān)鍵詞］ 課堂探究；思維發(fā)展；余弦公式著名的數(shù)學(xué)教育家斯托利亞指出：“數(shù)學(xué)教學(xué)是數(shù)學(xué)思維活動(dòng)的教學(xué)，而不僅是數(shù)學(xué)活動(dòng)的結(jié)果——數(shù)學(xué)知識(shí)的教學(xué).”因此，教師應(yīng)注重在理解領(lǐng)會(huì)教材知識(shí)結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上整合教材，遵循知識(shí)發(fā)生發(fā)展的過程及學(xué)生的認(rèn)知水平、思維規(guī)律，設(shè)計(jì)系列教學(xué)活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生參

兩角和與差的余弦公式”為第3章“三角恒等變換”第1節(jié)內(nèi)容，它揭示了單角正、余弦值與和、差角余弦值之間的內(nèi)在聯(lián)系，是在研究了同一個(gè)角的三角函數(shù)變換的基礎(chǔ)上進(jìn)行學(xué)習(xí)的，是誘導(dǎo)公式的推廣，是后面推導(dǎo)兩角和、差，倍角、半角等三角恒等變換公式的基礎(chǔ)和核心，也是本章的重點(diǎn)和難點(diǎn)．教學(xué)中要引導(dǎo)學(xué)生在公式生成過程中體驗(yàn)式子中的角度變換、式子的結(jié)構(gòu)形式變換以及不同三角函數(shù)之間的變換，領(lǐng)悟換元、化歸、特殊與一般等思想方法，理解公式之間的內(nèi)在聯(lián)系，為熟練運(yùn)用公式進(jìn)行三角函數(shù)式的

內(nèi)容兩角差的余弦公式的探索、證明及初步應(yīng)用。2.內(nèi)容解析教科書關(guān)于本節(jié)三角恒等變換安排了以下內(nèi)容：兩角差的余弦公式;兩角和與差的正弦、余弦、正切公式;二倍角的正弦、余弦、正切公式. 中心內(nèi)容是建立相關(guān)的十一個(gè)公式，通過探索、證明和初步應(yīng)用，體會(huì)和認(rèn)識(shí)公式的特征和功能，發(fā)展學(xué)生邏輯推理素養(yǎng)和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)。類比5.3節(jié)中用到的圓的特殊對(duì)稱性，此處用到的是圓的更一般的對(duì)稱性，即旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性. 這種特殊與一般的關(guān)系，蘊(yùn)含著誘導(dǎo)公式與兩角和（差）公式之間的特殊與一般關(guān)

用到了倍角的余弦公式的變用（即cos4x=2cos22x-1）這一技巧。此題可利用兩角差的正切公式將半角化為單角來解，也可將單角轉(zhuǎn)化為半角問題來解決。證法1：二、減函法減函法，顧名思義，就是將式子中的函數(shù)名盡可能減少，通常做法是將式中的正切、余切、正割、余割轉(zhuǎn)化為正弦、余弦來處理，但具體情況還得具體分析（如例4的證法2），例7則是采用了相反的思路來處理。此題中有正切、正弦和余弦，且有四種不同的角，情況較為復(fù)雜，可采用“先角后函”的方法求證。不過此處的變角有

式即兩角差的余弦公式，這一公式應(yīng)該如何教學(xué)值得思考.現(xiàn)行的各版本高中數(shù)學(xué)教材中給出兩角差的余弦公式的方法主要有兩種，一種是利用向量數(shù)量積的算兩次思想得出公式（如蘇教版教材），另一種是利用歷史上的麥克肖恩的方法，即構(gòu)造單位圓利用兩點(diǎn)之間的距離公式得出（如2019年人教A版教材）.合理而自然地引入公式，并且增強(qiáng)其過程的探究性，實(shí)質(zhì)上也是對(duì)教材的二次開發(fā)，努力踐行“用教材教”，而不是“教教材”的理念，同時(shí)還可以培養(yǎng)學(xué)生觀察發(fā)現(xiàn)能力.

以“兩角差的余弦公式”為例，闡釋筆者對(duì)如何進(jìn)行單元整體教學(xué)設(shè)計(jì)的認(rèn)識(shí)與實(shí)踐.1教學(xué)設(shè)計(jì)的過程性呈現(xiàn)1.1內(nèi)容和內(nèi)容解析在知識(shí)邏輯結(jié)構(gòu)方面，《三角恒等變換》是三角函數(shù)與數(shù)學(xué)變換的結(jié)合點(diǎn)和交匯點(diǎn).由兩角差余弦公式通過角的變換可獲得其他三角函數(shù)公式.在知識(shí)建構(gòu)過程方面，一方面，本課安排在三角函數(shù)后，積累了用單位圓研究三角函數(shù)的基本經(jīng)驗(yàn)，所以本課以誘導(dǎo)公式為起點(diǎn)，繼續(xù)借助單位圓來建立兩角差余弦公式;另一方面，向量作為溝通代數(shù)、幾何與三角函數(shù)的一種工具已經(jīng)被學(xué)生熟悉

作用.由于三余弦公式聯(lián)系了線線角和線面角,因此利用三余弦公式在處理和解決一些空間角的問題時(shí)有著獨(dú)特的功效.1 三余弦公式圖1公式如圖1所示,若斜線AB與平面M所成角為α,平面M內(nèi)的一條直線BC與這條斜線AB及AB的射影BO所成的銳角分別為θ,β,則有cosθ＝cosα·cosβ(三余弦公式).證明過點(diǎn)O作OC⊥BC于C,連接AC,則AC⊥BC.在Rt△AOB中在所以有cosθ＝cosα·cosβ,結(jié)論成立.說明(1)公式特征:兩個(gè)互相垂直的平面內(nèi)(AOB-

節(jié)“兩角差的余弦公式”，屬于新授課.本節(jié)內(nèi)容是三角恒等變形的基礎(chǔ),是正弦線、余弦線和誘導(dǎo)公式等知識(shí)的延伸,也是兩角和、差、倍、半角等公式的基礎(chǔ).教學(xué)過程設(shè)計(jì)如下：一、創(chuàng)設(shè)情境問題1某城市的電視發(fā)射塔建在市郊的一座小山上.在地平面上有一點(diǎn)A,測得A，C兩點(diǎn)間距離約為60米，從A觀測電視發(fā)射塔的視角(∠CAD)約為45°，觀測小山的視角(∠CAB)約為15°，求這座電視發(fā)射塔頂端D距離地面高度(如圖1).師:請(qǐng)應(yīng)用已有的知識(shí)將電視塔的高度表示出來．設(shè)計(jì)意圖問題

式.兩角差的余弦公式是第一課時(shí)內(nèi)容,此公式既是前面誘導(dǎo)公式的進(jìn)一步擴(kuò)充,又是后面學(xué)習(xí)二倍角公式的前提與依據(jù),是三角恒等變換的基礎(chǔ),具有很強(qiáng)的工具性.本課時(shí)是第一課時(shí)的延續(xù),將以兩角差的余弦公式為基礎(chǔ),聯(lián)系誘導(dǎo)公式,推導(dǎo)其它公式.學(xué)生已掌握了誘導(dǎo)公式及兩角差的余弦公式,對(duì)于推導(dǎo)公式有一定經(jīng)驗(yàn).本課時(shí)將從學(xué)生認(rèn)知與思維構(gòu)建的角度,幫助學(xué)生充分認(rèn)識(shí)知識(shí)、方法間的聯(lián)系,采取由特殊到一般、由具體到抽象的方式推導(dǎo)公式.二、 課堂實(shí)錄1. 溫故知新師:上一節(jié)課,我們推導(dǎo)

解兩角和與差余弦公式的推導(dǎo)過程，掌握兩角和與差的余弦公式并能解決簡單的問題，理解向量解決問題的方法，培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)工具在實(shí)踐中探索知識(shí)，獲取知識(shí)的能力，通過對(duì)公式的推導(dǎo)與簡單應(yīng)用，使學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)現(xiàn)、認(rèn)知的過程，體驗(yàn)成功探索新知的樂趣，激發(fā)學(xué)生的求知欲，鼓勵(lì)學(xué)生大膽嘗試，從而提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。關(guān)鍵詞：兩角和與差 余弦公式 推導(dǎo)與證明一、教學(xué)方法在教學(xué)時(shí)，我們要從特殊到一般引導(dǎo)學(xué)生了解公式的形成過程，我們還要用類比和對(duì)比的方法，找出公式間的區(qū)別與聯(lián)

以“兩角差的余弦公式”為載體,說明如何在單元視域下進(jìn)行公式的研究型教學(xué)，讓學(xué)生在研究的過程中知道公式的生長點(diǎn)和根、公式的通路和網(wǎng)絡(luò),掌握研究數(shù)學(xué)問題的一般方法，感悟其蘊(yùn)含的思想方法,明晰公式研究的必要性、公式的整體性、聯(lián)系性和發(fā)展性,完善知識(shí)結(jié)構(gòu)和認(rèn)知結(jié)構(gòu).一、問題的提出數(shù)學(xué)公式反映了數(shù)學(xué)對(duì)象屬性之間的關(guān)系,它是對(duì)數(shù)學(xué)對(duì)象(關(guān)系)的具體表征．?dāng)?shù)學(xué)公式(定理、原理等)課是一個(gè)重要課型,對(duì)思維訓(xùn)練、素養(yǎng)培養(yǎng)起著重要的作用,它的教學(xué)價(jià)值不僅僅是促進(jìn)知識(shí)技能的掌握

鍵詞：差角;余弦公式;推導(dǎo)證明一、 前言在我們的高中數(shù)學(xué)教材中，很多三角問題都經(jīng)受了歲月的洗禮，比如差角余弦公式的推導(dǎo)，從托勒密時(shí)代開始，數(shù)學(xué)家們就運(yùn)用各種方法來進(jìn)行證明。對(duì)比普高、職高、技工、中專等教材，以及人教A、B版、蘇教和北師大版本教材，差角余弦公式的證明采用了幾種不同的證法。二、 四種推導(dǎo)證明的思路和方法（一） 借助圓的內(nèi)接四邊形首先要介紹托勒密定理：圓的內(nèi)接凸四邊形兩組對(duì)邊乘積的和等于兩條對(duì)角線的乘積，即AC·BD=AB·CD+AD·BC。如圖

——兩角差的余弦公式.從兩角差的余弦公式出發(fā)，可以推出兩角和的余弦公式以及兩角和差的正弦、正切、倍角公式等，這些都是解決問題時(shí)經(jīng)常用到的公式.當(dāng)然，也有一些公式如半角公式、積化和差公式、和差化積公式等，也是十分重要的三角恒等變換公式.把握了公式間的聯(lián)系，認(rèn)清每個(gè)公式的來龍去脈，也就不用擔(dān)心公式會(huì)忘了.2.公式是建立聯(lián)系的工具說到三角恒等變換公式，很容易想到繁瑣的計(jì)算、人為技巧化的難題，這些當(dāng)然不是學(xué)習(xí)這部分內(nèi)容的重點(diǎn)所在.有了公式，便有了轉(zhuǎn)化的途徑，可以建

建立兩角差的余弦公式。它不僅是前面學(xué)過的誘導(dǎo)公式的推廣，也是后面其他兩角和差公式推導(dǎo)的基礎(chǔ)和核心，只有對(duì)兩角差的余弦公式有了深刻的認(rèn)識(shí)，才能以此為基礎(chǔ)推導(dǎo)出兩角和的余弦公式，才能變換出其他公式。具有承上啟下的作用，也是三角恒等變換這一章中的重要內(nèi)容之一。二、核心素養(yǎng)目標(biāo)分析1.教學(xué)目標(biāo)（1）必備知識(shí)會(huì)用向量的數(shù)量積推導(dǎo)兩角差的余弦公式，理解兩角差的余弦公式的結(jié)構(gòu)特征；熟記兩角差的余弦公式，通過公式推導(dǎo)引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律，從而能用兩角差的余弦公式解決相關(guān)的

，而兩角差的余弦公式的推導(dǎo)過程是學(xué)習(xí)后面三角函數(shù)恒等變換的重要基礎(chǔ)，兩角和與差的余弦公式、兩角和與差的正弦公式及正切公式都是在兩角差的余弦公式上變形得來的，所以兩角差的余弦公式的證明與推導(dǎo)作為基礎(chǔ)公式，得到了廣大高中教師與學(xué)生的高度關(guān)注.引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)真體會(huì)各版本教材的兩角差的余弦公式的推導(dǎo)方法，能提高學(xué)生對(duì)公式的理解與記憶能力，能幫助學(xué)生有效解決恒等變換問題.[關(guān)鍵詞]兩角差;余弦公式;推導(dǎo)方法;單位圓;三角函數(shù)線[中圖分類號(hào)]? ? G633.6? ? ?

證明兩角差的余弦公式cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ，敘述如下：圖1我們先對(duì)簡單的情況進(jìn)行討論.如圖1，設(shè)角α、β為銳角，且β筆者發(fā)現(xiàn)很多老師在授課時(shí)都回避了這個(gè)推廣工作，多數(shù)學(xué)生看到“繁難”二字，也望而卻步.但是這個(gè)推廣工作，卻能夠加深學(xué)生對(duì)三角函數(shù)線、誘導(dǎo)公式的理解和應(yīng)用，具備較強(qiáng)的探究價(jià)值，下面筆者將把這個(gè)證明給予完善.由誘導(dǎo)公式可知要證cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ,只要證明cos(α0-β0)=cosα0

顯觀察角A的余弦公式，發(fā)現(xiàn)分子為b2+c2-a2，變形可得(b+c)2-a2-2bc，由此可利用乘法公式設(shè)計(jì)構(gòu)造出平方差公式，再變形構(gòu)造出余弦公式.命題者不僅可以考查學(xué)生是否能夠熟練掌握公式，還可考查學(xué)生變形構(gòu)造公式的能力.例1已知：在△ABC,角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c，(sinB+sinC-sinA)(sinB+sinC+sinA)=sinBsinC，求角A的余弦值？解析利用正弦定理將角轉(zhuǎn)化為邊可得：(b+c-a)(b+c+a)=bc.利用平

證明兩角差的余弦公式時(shí)，學(xué)生容易犯思維不嚴(yán)謹(jǐn)、不嚴(yán)密的錯(cuò)誤，教學(xué)時(shí)需要引導(dǎo)學(xué)生搞清楚兩角差與相應(yīng)向量夾角的聯(lián)系與區(qū)別.【教學(xué)目標(biāo)】1.知識(shí)與技能通過讓學(xué)生探索、猜想發(fā)現(xiàn)并推導(dǎo)“兩角差的余弦公式”，通過公式的簡單應(yīng)用，使學(xué)生初步理解公式的結(jié)構(gòu)及其功能，并為建立兩角和差的正余弦公式和正切公式打好基礎(chǔ)；2.過程與方法在探究公式的過程中，逐步培養(yǎng)學(xué)生學(xué)會(huì)分析問題、解決問題、合作交流的能力，并體會(huì)數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想；3..情感態(tài)度通過課題背景的設(shè)計(jì)，增強(qiáng)學(xué)生的探究、

海）兩角差的余弦公式的教學(xué)在三角恒等變換中是開頭一節(jié)，本節(jié)課的教學(xué)，對(duì)于后面的兩角和的余弦以及兩角和與差的正弦公式都有很強(qiáng)的引領(lǐng)作用，開啟了利用向量方法研究角度問題的先例，在三角恒等變換一章中占有很重要的地位；同時(shí)，由于本節(jié)課特殊的教學(xué)視角，在省、市舉行的基本功比賽中，這節(jié)課經(jīng)常作為比賽課題，本人就這節(jié)課面對(duì)全組數(shù)學(xué)教師上了一節(jié)公開課，覺得還有很多要探究的地方，于是，我又查閱了中數(shù)參考文獻(xiàn)［1］［2］［3］，加上自己教學(xué)中的一些感悟，談幾點(diǎn)對(duì)本節(jié)課的看法.

建立兩角差的余弦公式。通過簡單運(yùn)用，使學(xué)生初步理解公式的結(jié)構(gòu)及其功能，為建立其他和（差）公式打好基礎(chǔ)。2.過程與方法通過對(duì)學(xué)生閱讀指導(dǎo)，在公式的探索過程和適當(dāng)引導(dǎo)，中讓學(xué)生深刻理解相關(guān)概念，領(lǐng)會(huì)數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)的形成。3.情感態(tài)度與價(jià)值觀經(jīng)歷用向量數(shù)量積推導(dǎo)出兩角差的余弦公式的過程，培養(yǎng)學(xué)生的探索精神，通過分析兩角差的余弦公式的結(jié)構(gòu)特征，培養(yǎng)學(xué)生的審美能力和學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。a、從教材安排來看，前面內(nèi)容學(xué)生已經(jīng)掌握了一些基本概念，比如三角

結(jié)合兩角差的余弦公式來求解三角函數(shù)值問題.解法2（對(duì)稱角關(guān)系法2）：因?yàn)榻铅僚c角β的始邊相同，終邊關(guān)于y軸對(duì)稱，則有α+β=（2k+1）π，k∈Z，故β=（2k+1）π-α，k∈Z，則sinβ=sin［（2k+1）π-α］=sinα，cosβ=cos［（2k+1）πα］=-cosα，思維分析3：先在角α的終邊上任取一點(diǎn)P（m，n）（n≠0），結(jié)合條件建立兩參數(shù)之間的關(guān)系，結(jié)合對(duì)稱的性質(zhì)以及三角函數(shù)的定義求解相應(yīng)的三角函數(shù)值，利用兩角差的余弦公式加以求解三角

證明兩角差的余弦公式時(shí)，學(xué)生容易犯思維不嚴(yán)謹(jǐn)、不嚴(yán)密的錯(cuò)誤，教學(xué)時(shí)需要引導(dǎo)學(xué)生搞清楚兩角差與相應(yīng)向量夾角的聯(lián)系與區(qū)別.【教學(xué)目標(biāo)】1.知識(shí)與技能通過讓學(xué)生探索、猜想發(fā)現(xiàn)并推導(dǎo)“兩角差的余弦公式”，通過公式的簡單應(yīng)用，使學(xué)生初步理解公式的結(jié)構(gòu)及其功能，并為建立兩角和差的正余弦公式和正切公式打好基礎(chǔ)；2. 過程與方法在探究公式的過程中，逐步培養(yǎng)學(xué)生學(xué)會(huì)分析問題、解決問題、合作交流的能力，并體會(huì)數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想；3. .情感態(tài)度通過課題背景的設(shè)計(jì)，增強(qiáng)學(xué)生的探

金環(huán)兩角差的余弦公式的教學(xué)在三角恒等變換中是開頭一節(jié)，本節(jié)課的教學(xué)，對(duì)于后面的兩角和的余弦以及兩角和與差的正弦公式都有很強(qiáng)的引領(lǐng)作用，開啟了利用向量方法研究角度問題的先例，在三角恒等變換一章中占有很重要的地位；同時(shí)，由于本節(jié)課特殊的教學(xué)視角，在省、市舉行的基本功比賽中，這節(jié)課經(jīng)常作為比賽課題，本人就這節(jié)課面對(duì)全組數(shù)學(xué)教師上了一節(jié)公開課，覺得還有很多要探究的地方，于是，我又查閱了中數(shù)參考文獻(xiàn)[1][2][3]，加上自己教學(xué)中的一些感悟，談幾點(diǎn)對(duì)本節(jié)課的看法.

1 n倍角的余弦公式（文[2]中第（9）式）設(shè)是不小于2的正整數(shù)，則當(dāng)1≤k≤n時(shí)，恒有a0Sk+a1Sk-1+…+ak-1S1+kak=0；當(dāng)k＞n時(shí)，恒有a0Sk+a1Sk-1+…+an-1Sk-n+1+akSk-n=0.2 數(shù)學(xué)問題1637的兩個(gè)簡解數(shù)學(xué)問題1637 P是正三角形A1A2A3的內(nèi)接圓O上的任一點(diǎn)，P至A1A2，A2A3，A3A1的距離分別為d1,d2,d3，問當(dāng)P點(diǎn)位置變動(dòng)時(shí)，++是否為定值.++是否為定值？說明理由.原文解答計(jì)算量較

角和與差的正余弦公式教學(xué)設(shè)計(jì)☉陜西省三原縣北城中學(xué) 廉萬朝☉陜西省涇干中學(xué) 吳清軍一、教材分析本節(jié)選自《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書·數(shù)學(xué)（必修4）》（北師大版），第三章《三角恒等變換》的第二節(jié)“兩角和與差的正、余弦公式”（第一課時(shí)）.本節(jié)課是在學(xué)生學(xué)習(xí)了任意角三角函數(shù)、平面向量及解析幾何初步等知識(shí)后來進(jìn)行的，主要是學(xué)習(xí)兩角和與差余弦公式的推導(dǎo)及公式的簡單應(yīng)用.本節(jié)課的設(shè)計(jì)基于以下考慮：一是兩角和與差的三角函數(shù)公式是誘導(dǎo)公式的進(jìn)一步擴(kuò)充，即將cos（π-β）

數(shù)和差的正、余弦公式的應(yīng)用兩角之和的余弦公式cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ是三角函數(shù)的和、差以及倍角公式的“源頭”。例1 sin15°+sin75°=_______。點(diǎn)評(píng) 三角恒等變換的主要題型是化簡、求值題。在化簡、求值的過程中，我們要注意公式的正用和逆用。本題也可以這樣求解：。點(diǎn)評(píng) 在解答有關(guān)三角函數(shù)性質(zhì)的綜合試題時(shí)，我們要抓住函數(shù)解析式這個(gè)關(guān)鍵。若函數(shù)解析式較為復(fù)雜，則要注意使用三角恒等變換公式將函數(shù)解析式化為y=Asin（ωx

正切、正弦、余弦公式，以展示用圖形演繹數(shù)學(xué)知識(shí)的力量.一、圖形構(gòu)成1.以CE=1為直徑圓；2.過點(diǎn)E作圓的切線l；3.在CF的兩側(cè)，分別作銳角∠ACE=α，∠BCE=β，與切線Z的交點(diǎn)分別為A，B；二、圖形簡化去除圖1中的小圓，當(dāng)a+p<90°時(shí)，將圖1簡化為圖2；當(dāng)α+β> 90°時(shí)，將圖1簡化為圖3，這樣才不致于“眼花繚亂”.三、圖形應(yīng)用當(dāng)α+β>90°時(shí)，在圖5的基礎(chǔ)上一樣可以解決.對(duì)α+β 90°的情形，我們只要代人驗(yàn)證就OK了.利用圖2、3，能證

導(dǎo)出兩角差的余弦公式；能用兩角和與差的余弦公式推導(dǎo)出兩角和與差的正弦、正切公式；能從兩角差的余弦公式推導(dǎo)出兩角和與差的正弦、余弦、正切公式和二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它們的內(nèi)在聯(lián)系；能運(yùn)用所學(xué)公式進(jìn)行簡單的恒等變換（包括能推導(dǎo)出積化和差、和差化積、半角公式等）.本考點(diǎn)在高考中常以選擇題、填空題和解答題三種形式出現(xiàn)，而且特別注意該考點(diǎn)與其他考點(diǎn)相結(jié)合出現(xiàn)在解答題中. 求三角恒等變換相關(guān)問題常見的三種形式：一是化簡，二是求值，三是證明三角恒等式.（1）

以“兩角差的余弦公式”推導(dǎo)為例，從變換的視角賞析其生成方式.1公式推導(dǎo)前奏——兩銳角差的余弦公式從學(xué)生認(rèn)知特點(diǎn)的角度出發(fā)，從特殊到一般是比較符合學(xué)生認(rèn)知規(guī)律的.所以一般可以考慮從兩銳角差的余弦著手，比如cos（45°-30°）=？有各種變換方法可以求出此三角函數(shù)值.1.1數(shù)學(xué)動(dòng)手實(shí)驗(yàn)中的變換明代學(xué)者與軍事家王守仁說：“知是行之始，行是知之成.”而陶行知老先生說：“行是知之始，知是行之成.”“墨辯”提出三種知識(shí)：親知、聞知、說知.親知是親身得來的，就是從“行

排“兩角差的余弦公式”時(shí)的課前鋪墊與課后拓展，不妥之處懇請(qǐng)指正.1鋪墊教學(xué)片斷1（文[1]第104頁）：我們證明運(yùn)算律（3）a+b·c=a·c+b·c.圖1證明如圖1，任取一點(diǎn)O，作OA=a，AB=b，OC=c，因?yàn)閍+b（即OB）在c方向上的投影等于a、b在c方向上的投影的和，即|a+b|cosθ=|a|cosθ1+|b|cosθ2，所以|c|·|a+b|cosθ=|c|·|a|cosθ1+|c|·|b|cosθ2，所以c·a+b=c·a+c·b，所以a

倍角三角形；余弦公式；高次方程求解高次方程的求解在數(shù)學(xué)史上具有重要的地位。長期以來，數(shù)學(xué)家們發(fā)明了很多種數(shù)值算法來逼近方程的實(shí)根。法國數(shù)學(xué)家韋達(dá)(Francois Vieta, 1540—1603)從研究倍角三角形入手，發(fā)現(xiàn)了n倍角展開式和高次方程之間的關(guān)聯(lián)，一度解決了一個(gè)特殊的45次方程。本文通過研究韋達(dá)關(guān)于倍角三角形的構(gòu)造方法，推導(dǎo)出一般n倍角正余弦公式，并且通過n倍角正余弦①正余弦：本文中所有出現(xiàn)的正余弦在韋達(dá)所在的時(shí)期都沒有，韋達(dá)對(duì)正弦的表示是直角

導(dǎo)出兩角差的余弦公式；能用兩角和與差的余弦公式推導(dǎo)出兩角和與差的正弦、正切公式；能從兩角差的余弦公式推導(dǎo)出兩角和與差的正弦、余弦、正切公式和二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它們的內(nèi)在聯(lián)系；能運(yùn)用所學(xué)公式進(jìn)行簡單的恒等變換（包括能推導(dǎo)出積化和差、和差化積、半角公式等）.本考點(diǎn)在高考中常以選擇題、填空題和解答題三種形式出現(xiàn)，而且特別注意該考點(diǎn)與其他考點(diǎn)相結(jié)合出現(xiàn)在解答題中. 求三角恒等變換相關(guān)問題常見的三種形式：一是化簡，二是求值，三是證明三角恒等式.end

于全文索引與余弦公式醫(yī)學(xué)文本相似性分析謝翠萍，陳家益，白金山醫(yī)學(xué)文本相似性問題是醫(yī)學(xué)文本挖掘中的重要內(nèi)容，如何能夠快速計(jì)算出大數(shù)據(jù)量下的醫(yī)學(xué)文本的相似性情況是醫(yī)學(xué)文本相似性計(jì)算的重點(diǎn)。針對(duì)基于傳統(tǒng)余弦公式醫(yī)學(xué)文本相似性分析算法在性能上的缺陷,提出了一種基于全文索引技術(shù)與余弦公式醫(yī)學(xué)文本相似性分析算法，對(duì)醫(yī)學(xué)文本相似性進(jìn)行分析。采用全文索引技術(shù)對(duì)醫(yī)學(xué)文本數(shù)據(jù)相關(guān)關(guān)鍵詞進(jìn)行索引,并根據(jù)若干關(guān)鍵詞在索引中檢索出部分?jǐn)?shù)據(jù)，從而減少計(jì)算復(fù)雜度，提高效率。實(shí)驗(yàn)表明，該

后利用二倍角余弦公式，將所求的轉(zhuǎn)化為已知值.二、三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)例3 （2012年浙江卷）把函數(shù)y＝cos2x＋1的圖像上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），然后向左平移1個(gè)單位長度，再向下平移1個(gè)單位長度，得到的圖像是（ ）.評(píng)析：主要考查三角函數(shù)的周期性、單調(diào)性、有界性、圖像的平移等，以選擇題、解答題為主，難度以容易題、中檔題為主.三、三角恒等變換高考對(duì)此部分內(nèi)容的考查，要求我們能從兩角差的余弦公式，導(dǎo)出兩角和與差的正弦、余弦、正切公式，