掌握基本知識輕松解決問題

韓俊元

掌握基本知識輕松解決問題

韓俊元

中考中經(jīng)常會涉及“平面圖形的認識（一）”中的問題，這些問題難度不大，我們只有掌握好基本知識，就能迅速準確解決.

一、有關(guān)“角”的問題

例1（2013·江蘇淮安）如圖1，三角板的直角頂點在直線l上，若∠1=40°，則∠2的度數(shù)是______.

圖1

【分析】由三角板的直角頂點在直線l上，根據(jù)平角的定義可知∠1與∠2互余，又∠1=40°，即可求得∠2的度數(shù).

【解答】如圖，三角板的直角頂點在直線l上，則∠1+∠2=180°-90°=90°.

∵∠1=40°，∴∠2=50°.

故答案為50°.

【點評】本題只要理解平角、互余的定義即可解決問題，是基礎(chǔ)題，熟記互為余角的兩個角的和等于90°是解題的關(guān)鍵.

例2（2013·浙江湖州）把15°30′化成度的形式，則15°30′＝____度.

【分析】15°30′=15°+（30÷60）°=15.5°，故填15.5.

【點評】本題考查了角的單位：度、分、秒的換算.由高級單位變成低級單位乘進率，由低級單位變成高級單位除以進率.

例3（2014·福建泉州）如圖2，直線AB與CD相交于點O，∠AOD=50°，則∠BOC= ______°.

圖2

【分析】根據(jù)對頂角相等，可得答案.

【解答】∵∠BOC與∠AOD是對頂角，∴∠BOC=∠AOD=50°，故答案為50.

【點評】本題考查了對頂角與鄰補角，對頂角相等是解題關(guān)鍵.

例4如圖3，OB是∠AOC的角平分線，OD是∠COE的角平分線，如果∠AOB=40°，∠COE=60°，則∠BOD的度數(shù)為（）.

A.50°B.60°C.65°D.70°

圖3

【分析】先根據(jù)OB是∠AOC的角平分線，OD是∠COE的角平分線，∠AOB=40°，∠COE=60°，求出∠BOC與∠COD的度數(shù)，再根據(jù)∠BOD=∠BOC+∠COD即可得出結(jié)論.

【解答】∵OB是∠AOC的角平分線，OD是∠COE的角平分線，∠AOB=40°，∠COE=60°，

∴∠BOD=∠BOC+∠COD=40°+30°= 70°.

故選D.

【點評】本題考查的是角的計算，熟知角平分線的定義是解答此題的關(guān)鍵.

二、有關(guān)“線”的問題

例5（2013·湖北武漢）兩條直線最多有1個交點，三條直線最多有3個交點，四條直線最多有6個交點，…，那么六條直線最多有（）.

A.21個交點B.18個交點C.15個交點D.10個交點

【解答】C.

【點評】本題屬于找規(guī)律的問題，它建立在直線與直線的交點的個數(shù)變化之上，我們應(yīng)該從特殊情形考慮，進而總結(jié)歸納出規(guī)律.

例6（2014·山東濟寧）把一條彎曲的公路改成直道，可以縮短路程.用幾何知識解釋其道理正確的是（）.

A.兩點確定一條直線

B.垂線段最短

C.兩點之間線段最短

D.三角形兩邊之和大于第三邊

【分析】此題為數(shù)學知識的應(yīng)用，由題意把一條彎曲的公路改成直道，肯定要盡量縮短兩地之間的路程，這就用到兩點間線段最短定理.

【解答】要想縮短兩地之間的路程，就盡量使兩地在一條直線上，因為兩點間線段最短.故選C.

【點評】本題考查了線段的性質(zhì)，牢記線段的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

三、綜合型問題

例7如圖4，已知∠AOB是直角，OE平分∠AOC，OF平分∠BOC.

（1）若∠BOC=60°，求∠EOF的度數(shù)；

（2）若∠AOC＝x°（x＞90），此時能否求出∠EOF的大?。咳裟?，請求出它的數(shù)值；若不能，請用含x的代數(shù)式來表示.

圖4

【分析】解決本題首先要抓住∠EOF=∠COE-∠COF，對于第（1）問，直接求出∠COE、∠COF這兩個角即可，而第（2）問，則要設(shè)∠AOC=x°，然后用x表示出∠COE、∠COF這兩個角即可.

【解答】（1）因為∠AOB=90°，∠BOC= 60°，所以∠AOC=150°.

又因為OE平分∠AOC，所以∠COE= 75°.

又OF平分∠BOC，所以∠COF＝30°.

所以∠EOF=∠COE-∠COF=45°.

（2）因為∠AOC=x°（x＞90），且OE平分∠AOC，

【點評】緊緊抓住角的和差表示，結(jié)合角平分線的定義，運用從特殊到一般的思想方法，問題則會化難為易.

例8如圖5，已知數(shù)軸上點A表示的數(shù)為8，B是數(shù)軸上在A點左邊的一點，且AB= 14.動點P從點A出發(fā)，以每秒5個單位長度的速度沿數(shù)軸向左勻速運動，設(shè)運動時間為t（t＞0）秒.

圖5

（1）寫出數(shù)軸上點B表示的數(shù)______；點P表示的數(shù)_____（用含t的代數(shù)式表示）；

（2）動點Q從點B出發(fā)，以每秒3個單位長度的速度沿數(shù)軸向左勻速運動，若點P、Q同時出發(fā)，問點P運動多少秒時追上點Q？

（3）若M為AP的中點，N為PB的中點，點P在運動的過程中，線段MN的長度是否發(fā)生變化？若變化，請說明理由；若不變，請你畫出圖形，并求出線段MN的長.

【分析】（1）根據(jù)已知可得B點表示的數(shù)為8-14；點P表示的數(shù)為8-5t；

（2）點P運動x秒時，在點C處追上點Q，則AC=5x，BC=3x，根據(jù)AC-BC=AB，列出方程求解即可；

（3）分①當點P在A、B兩點之間運動時，②當點P運動到點B的左側(cè)時，利用中點的定義和線段的和差求出MN的長即可.

【解答】（1）∵點A表示的數(shù)為8，B在A點左邊，AB=14，

∴點B表示的數(shù)是8-14=-6，

∵動點P從點A出發(fā)，以每秒5個單位長度的速度沿數(shù)軸向左勻速運動，設(shè)運動時間為t（t＞0）秒，

∴點P表示的數(shù)是8-5t.

故答案為：-6，8-5t.

（2）設(shè)點P運動x秒時，在點C處追上點Q，則AC=5x，BC=3x，

圖6

∵AC-BC=AB，

∴5x-3x=14，解得：x=7，

∴點P運動7秒時追上點Q.

（3）線段MN的長度不發(fā)生變化，都等于7，理由如下：

∵①當點P在A、B兩點之間運動時：

圖7

②當點P運動到點B的左側(cè)時：

圖8

【點評】本題屬于一道綜合題，不僅用到了線段的知識，還結(jié)合了數(shù)軸、方程、兩點之間的距離等相關(guān)知識，同時還運用了初中階段經(jīng)常遇到的一種數(shù)學思想方法——分類討論.

（作者單位：江蘇省鹽城市初級中學）