劉津升

(南京工程學(xué)院數(shù)理部 江蘇 南京 211167)

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阻尼振動和受迫振動系統(tǒng)的動力學(xué)研究

劉津升

(南京工程學(xué)院數(shù)理部 江蘇 南京 211167)

首先對3種不同情況下的阻尼振動系統(tǒng)進行定量地分析研究，再利用指數(shù)方程推導(dǎo)受迫振動的運動方程，分析振子振幅、速度、初相位與驅(qū)動力角頻率間的關(guān)系.分析結(jié)果對實際教學(xué)和后續(xù)科研有一定幫助.

阻尼振動 受迫振動 共振

諧振動是指系統(tǒng)不受外力作用，只在保守內(nèi)力作用下的物體的周期性往復(fù)運動.而現(xiàn)實中，物體的運動總是會受到阻力作用，振幅也會逐漸減小，直至停止.只在回復(fù)力和阻力作用下的振動被稱為阻尼振動.有時，為了獲得穩(wěn)定的振動，需要對系統(tǒng)施加一周期性的外驅(qū)動力，形成受迫振動.振動在生產(chǎn)和科研領(lǐng)域有著重要的應(yīng)用[1].而教學(xué)過程中，許多教材在介紹阻尼振動和受迫振動時，只是直接給出相關(guān)結(jié)果，并未進行深入地推導(dǎo)和分析.下面利用水平彈簧振子模型對阻尼振動和受迫振動進行定量分析研究.

1 阻尼振動

圖1所示為一水平彈簧振動系統(tǒng)，彈簧的勁度系數(shù)為κ，振子質(zhì)量為m,阻力系數(shù)為γ.

圖1 水平彈簧振動系統(tǒng)

假設(shè)受到的阻尼力滿足f=-γv，則系統(tǒng)的動力學(xué)方程可寫為

(1)

式(1)為二階齊次微分方程，其特征方程為

(2)

特征方程根的判別式為

(3)

為了方便計算，令

ω0稱為振動系統(tǒng)的固有角頻率，δ稱為阻尼系數(shù).設(shè)振動系統(tǒng)的初始條件滿足t=0時，x=A，v=0.很明顯對于特征方程式(2)的解有3種情況，下面分別進行展開討論.

(1)當(dāng)Δ>0，即δ>ω0時，特征方程式(2)具有兩個不相等的實數(shù)根，即

微分方程式(1)的解為

(4)

式中，A1和A2為待定系數(shù).代入初始條件有

(5)

圖2所示為δ>ω0時，不同阻尼系數(shù)下的振動曲線.當(dāng)δ=0時，振子做周期性諧振動.隨著阻尼系數(shù)值的增大，振子從初始位置回到平衡位置所需的時間逐漸變長，此時振子做非周期性振動，這種情況稱之為過阻尼.

圖2 δ>ω0時，不同阻尼系數(shù)下的振動曲線

(2)當(dāng)Δ<0,即δ<ω0時，特征方程的兩個共軛復(fù)數(shù)根為

微分方程的解為

(6)

利用歐拉公式

eiθ=cos θ+isin θ

e-iθ=cos θ-isin θ

式(6)可變換為

x=A1e-δtcos ωt+A2e-δtsin ωt

(7)

(8)

對式(8)再利用和差化積公式，有

(9)

其阻尼系數(shù)δ愈大，振動周期愈長，且振幅減小得愈快.而隨著阻尼系數(shù)δ的減小，系統(tǒng)也逐漸接近無阻尼條件下諧振動的情況.此時振子做準(zhǔn)周期性振動，這種情況稱之為欠阻尼.當(dāng)阻尼系數(shù)足夠小，即δ=0時，則上式可改寫為x=Acos(ωt+φ)，此時又回歸到簡諧運動形式.

圖3 δ<ω0不同阻尼系數(shù)下的阻尼振動曲線

(3)當(dāng)Δ=0,即δ=ω0時，特征方程的兩個相等的實數(shù)根為

r1=r2=-δ

微分方程的解為

x=(A1+A2t)e-δt

(10)

式中，A1和A2為待定系數(shù).代入初始條件，有

x=A(1+ω0t)e-ω0t

(11)

圖4所示為不同阻尼條件下的振動曲線，從圖可以看出，當(dāng)δ=ω0時，振子經(jīng)過一個較長的時間最終剛好回到平衡位置，這種情況稱為臨界阻尼.對于無阻尼振動來說，振子做周期性的往復(fù)振動.相對于過阻尼狀態(tài)，臨界阻尼狀態(tài)下振子回到平衡位置的時間最短.欠阻尼狀態(tài)時，振子做準(zhǔn)周期性的運動，其振幅呈指數(shù)減小.臨界阻尼處于準(zhǔn)周期性向非周期性過渡的臨界狀態(tài).

圖4 不同阻尼系數(shù)下的振動曲線

對于阻尼振動，其任意時刻的機械能可寫為

(12)

機械能隨時間的變化率為

(13)

由于ma+κx=-γv，所以

(14)

式(14)中右式恒為負(fù)數(shù)，所以系統(tǒng)的機械能不斷減小，且減小量等于阻力對振子所做的功隨時間的變化率-γv2=fv，符合能量守恒定律.

2 受迫振動

為了維持穩(wěn)定的振動，需對阻尼振動系統(tǒng)施加周期性的外驅(qū)動力，教材中一般使用余弦函數(shù)形式[2,3]，但利用指數(shù)形式可以更為方便地解釋和說明受迫振動的一些性質(zhì).設(shè)外在驅(qū)動力為F0e-iωdt(實際問題只取其實部)，則振動系統(tǒng)的動力學(xué)方程可寫為

(15)

式中ωd為驅(qū)動力的角頻率，根據(jù)方程的特征，其解的形式應(yīng)為x=A′e-iωdt，代入式(15)中，利用歐拉公式，有

(16)

于是式(15)解為

(17)

其中φ′為受迫振動的初相，其值為

我們只討論式(17)的實部

x=Acos(ωdt+φ′)

(18)

式中，A為受迫振動的振幅，其值為

且是ωd的函數(shù).受迫振動的振幅和初相隨驅(qū)動力角頻率的關(guān)系曲線如圖5所示.當(dāng)振幅最大時，滿足

此時

隨著阻尼系數(shù)δ的減小，ωd趨近于彈簧系統(tǒng)的固有角頻率ω0，系統(tǒng)初相也趨近于諧振動的初相，其位移振幅也逐漸增大，這種情況稱之為位移共振.

圖5 位移共振時的受迫振動的振幅、相位與ωd間的關(guān)系

任意時刻，受迫振動系統(tǒng)的振子速度為

(19)

其中，vm為振子的最大速度，其值為

圖6 速度共振時的受迫振動的速度、相位與ωd間的關(guān)系

通過以上討論，我們對不同阻尼系數(shù)下的振動系統(tǒng)做了定量地分析研究，利用指數(shù)方程可以方便地推導(dǎo)和解釋受迫振動的相關(guān)問題.分析結(jié)果對教學(xué)和后續(xù)科研有一定幫助.

1 Shao Lei, Fang Caihong, Chen Huanjun, et al. Distinct plasmonic manifestation on gold nanorods induced by the spatial perturbation of small gold nanospheres. Nano Letters, 2012, 12(3):1 424～1 430

2 程守洙, 江之永. 普通物理學(xué)(下冊)(第6版). 北京：高等教育出版社, 2006

3 鄧鐵如, 孟大敏, 徐元英，等. 西爾斯當(dāng)代大學(xué)物理. 北京：機械工業(yè)出版社, 2009

*南京工程學(xué)院科研啟動基金項目，項目編號：YKJ201538

劉津升(1984- ),男，博士，講師，主要研究方向為納米材料.

2016-07-17)