●李玲

在浪漫中精確，在精確中浪漫
——以《最短路徑》教學(xué)為例

●李玲

英國(guó)哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家、教育家懷特海把人的認(rèn)知過(guò)程分為三個(gè)階段，即浪漫、精確、綜合。浪漫階段積累感官經(jīng)驗(yàn)，精確階段將感性認(rèn)識(shí)上升到理性的概念層面，綜合階段就是運(yùn)用知識(shí)。在靈活運(yùn)用所學(xué)的過(guò)程中，人的視野不同了，就會(huì)產(chǎn)生新的好奇、新的浪漫，所以筆者認(rèn)為，綜合階段是更“自由”的浪漫，它是新一輪“浪漫—精確—浪漫”的起點(diǎn)。

在教學(xué)時(shí)，筆者通過(guò)不斷地制造“浪漫—精確—浪漫”的“認(rèn)知漩渦”，將一個(gè)點(diǎn)的學(xué)習(xí)拉伸為一段旅程，讓學(xué)生沉浸在知識(shí)發(fā)生、發(fā)現(xiàn)、發(fā)展的過(guò)程中。下面以《最短路徑》的教學(xué)為例。

一、在浪漫中逐步精確

首先，將實(shí)際生活中的問(wèn)題抽象成數(shù)學(xué)問(wèn)題。

課前，筆者布置相關(guān)作業(yè)，給出了三個(gè)生活中的問(wèn)題，要求學(xué)生理解并分析問(wèn)題情境。

第一問(wèn)為“將軍飲馬”，即將軍凱旋而歸，牽著他的戰(zhàn)馬去河邊飲水，然后回營(yíng)房休息，問(wèn)馬兒在何處飲水所走的路程之和最短？

第二問(wèn)為“氣泵選址”，即在天然氣主管道的同側(cè)有兩個(gè)小區(qū)，要在主管道上安裝一個(gè)氣泵向兩個(gè)小區(qū)輸送天然氣，氣泵安裝在何處能使鋪設(shè)的管道用料最省？

第三問(wèn)為“碼頭選址”，即湖中央有兩個(gè)景點(diǎn)，游客要乘船游覽兩個(gè)景點(diǎn)，問(wèn)碼頭修在何處，最能節(jié)省游船的燃料？

筆者要求學(xué)生將以上實(shí)際問(wèn)題抽象成數(shù)學(xué)問(wèn)題，并談?wù)剷?huì)有怎樣的發(fā)現(xiàn)。去掉情境，學(xué)生們抽象出了同一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題：在直線1上確定一點(diǎn)P，求到點(diǎn)A和點(diǎn)B的最小的距離之和。如圖：

解決了這個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題就一并解決了這三個(gè)乃至生活中出現(xiàn)的這一類的問(wèn)題。這里，觀察關(guān)注生活，對(duì)生活中三個(gè)問(wèn)題情境的理解與分析就是浪漫，抽象出其中的數(shù)學(xué)問(wèn)題就是一次精確。

能夠用數(shù)學(xué)的眼光觀察生活，發(fā)現(xiàn)有價(jià)值的問(wèn)題，這是解決問(wèn)題的前提，更妙的是解決這一問(wèn)題的意義感和挑戰(zhàn)感又將激起學(xué)生進(jìn)一步去探究，開(kāi)啟新一輪的浪漫。

其次，探究問(wèn)題。

筆者請(qǐng)學(xué)生在直線上例舉一些位置，經(jīng)過(guò)測(cè)量和比較，得出結(jié)論：當(dāng)P點(diǎn)選取的位置不同，PA+PB的值就不同。通過(guò)進(jìn)一步舉例、測(cè)量、比較后，學(xué)生就會(huì)發(fā)現(xiàn)，當(dāng)P點(diǎn)在直線1上從左向右取時(shí)，PA+PB的值由大變小，然后又由小變大。此環(huán)節(jié)可以在學(xué)生動(dòng)手的基礎(chǔ)上用幾何畫(huà)板輔助，通過(guò)動(dòng)態(tài)測(cè)量來(lái)演示。在演示過(guò)程中，學(xué)生斷言，直線1上會(huì)有一點(diǎn)使PA+PB的值最小，并且探明了P點(diǎn)的大致位置。

“如果A、B分別在直線1的兩側(cè)就好了”，因?yàn)椤皟牲c(diǎn)之間線段最短”，部分學(xué)生產(chǎn)生這樣的猜想，于是，他們就有了將其中一點(diǎn)“搬到”直線另一側(cè)的想法。

而這只能是假想的“搬”，點(diǎn)B的位置是不會(huì)改變的，于是假想的那一點(diǎn)就不能在直線1的另一側(cè)隨意取，經(jīng)過(guò)矯正與調(diào)控，便選定在點(diǎn)B關(guān)于直線1的對(duì)稱的位置處。

解決問(wèn)題的過(guò)程就是推理的過(guò)程，這個(gè)環(huán)節(jié)學(xué)生經(jīng)歷了推理和證明兩個(gè)過(guò)程，得到并證明了如下結(jié)論：在直線上確定一點(diǎn)到同側(cè)的兩定點(diǎn)距離之和最短，即作其中任意一點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)，連接直線異側(cè)的兩點(diǎn)與直線的焦點(diǎn)即為所求。如圖：

舉例、測(cè)量、比較、猜想、聯(lián)想、類比、矯正等一系列探究過(guò)程就是在充分的浪漫，最后得出的結(jié)論便是浪漫后的精確。

二、在精確中走向浪漫

首先，通過(guò)歸納相關(guān)類型題，建立模型。

在得出結(jié)論后，筆者變換出題背景，給出例題1：正方形ABCD中，M是DC上一定點(diǎn)，P是對(duì)角線AC上一動(dòng)點(diǎn)，P在何處時(shí)到點(diǎn)D和點(diǎn)M的距離之和最小。如圖：

接著，筆者變換出題背景，給出例題2，等腰△ABC中（∠BAC為銳角），AH⊥BC于H，M是AC上一動(dòng)點(diǎn)，AH上是否存在點(diǎn)P，使PC+PM最小。若存在找出P點(diǎn)的位置；若不存在，說(shuō)明理由。如圖：

學(xué)生在探究的過(guò)程中會(huì)發(fā)現(xiàn)，復(fù)雜幾何背景下，例1進(jìn)一步揭示了模型中的直線起對(duì)稱軸的作用，因此這一類題通常以軸對(duì)稱圖形為出題背景。例2是動(dòng)態(tài)問(wèn)題中的最值，綜合用到“兩點(diǎn)之間線段最短”和“垂線段最短”，完整體現(xiàn)了“最短路徑”問(wèn)題的解題模型。通過(guò)變換不同的問(wèn)題背景，引導(dǎo)學(xué)生用模型解釋并解答問(wèn)題，促使他們進(jìn)一步認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)就是對(duì)生活的抽象，模型就是用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言講述現(xiàn)實(shí)世界的故事。

最后，請(qǐng)學(xué)生自主編題。這個(gè)環(huán)節(jié)便是到了入腦融合、明法慧生的“浪漫的自由”階段，它能促使學(xué)生在不同情境中、不同的圖形背景中牢牢抓住模型本質(zhì)，從而實(shí)現(xiàn)知識(shí)的辨識(shí)和應(yīng)用。模型溝通了數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)，于是這一環(huán)節(jié)又從抽象回歸了現(xiàn)實(shí)，從精確走向了新的浪漫?？梢?jiàn)，精確之后的應(yīng)用會(huì)掀起新的浪漫。

其次，通過(guò)展開(kāi)主題研討，進(jìn)一步拓展延伸。

在建立模型、學(xué)會(huì)運(yùn)用后，筆者引導(dǎo)學(xué)生展開(kāi)主題研討：展示圖片（公園里小道為什么修成彎道，上山的公路為什么不修成直的，高速公路為什么每隔一段會(huì)刻意修一個(gè)彎道或是起伏），請(qǐng)學(xué)生思考并舉例，生活中有沒(méi)有不走最短路徑，刻意繞道走的情形？然后發(fā)起一個(gè)研討：結(jié)合生活中這些現(xiàn)象談?wù)勀銓?duì)捷徑與彎路的理解。

如果前面抽象、建模環(huán)節(jié)都是體現(xiàn)知識(shí)的科學(xué)性的話，那么最后一個(gè)環(huán)節(jié)“主題研討”則用來(lái)實(shí)現(xiàn)知識(shí)的人文性，達(dá)成情感、態(tài)度、價(jià)值觀的三維目標(biāo)。這個(gè)環(huán)節(jié)體現(xiàn)了對(duì)本節(jié)課的哲學(xué)思考，自然而又深刻地進(jìn)行了價(jià)值觀的引領(lǐng)。

精確之后的應(yīng)用與思考掀起了新的浪漫，它讓學(xué)生進(jìn)入一個(gè)自由王國(guó)，這里可以有獨(dú)立的思想、批判性的思維，不斷迸發(fā)智慧的火花。學(xué)生們列舉了盤山公路、河流遇阻時(shí)的繞道等等，說(shuō)明彎曲才是人生的常態(tài)，面對(duì)挫折該有怎樣的態(tài)度；有學(xué)生想到物理學(xué)中光的反射，找到知識(shí)間的聯(lián)系……對(duì)這個(gè)話題學(xué)生很有話說(shuō)，他們的認(rèn)識(shí)角度很多，有的生動(dòng)有創(chuàng)意，有的深刻有哲理。還有個(gè)學(xué)生說(shuō)：“地球本是圓的，哪有直線給我們走？”學(xué)生的視角已經(jīng)突破了平面的歐式幾何范疇，進(jìn)入到了宇宙空間。精確后的浪漫，力量是無(wú)窮的，它促使學(xué)生繼續(xù)思考，研究感興趣的方面，不停掀起“浪漫—精確—浪漫”的認(rèn)知漩渦，生成新的智慧。

三、精確、浪漫之后的反思

在浪漫中精確，精確中浪漫是實(shí)現(xiàn)新課程標(biāo)準(zhǔn)的有效途徑。修訂后的《義務(wù)教育階段數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》將過(guò)去的“雙基”擴(kuò)充為“四基”，“雙基”指的是基本知識(shí)和基本技能，新增的“兩基”即基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)、基本數(shù)學(xué)思想，這個(gè)修訂充分表達(dá)了專家組對(duì)知識(shí)獲取過(guò)程和知識(shí)應(yīng)用過(guò)程的重視。

本節(jié)課從浪漫到精確，從精確到浪漫，滲透了從特殊到一般再?gòu)囊话愕教厥獾臄?shù)學(xué)思想，經(jīng)歷了“問(wèn)題情境——建立模型——解釋與應(yīng)用”和“實(shí)驗(yàn)——猜想——證明”的過(guò)程，學(xué)生積累下的是探索的活動(dòng)性經(jīng)驗(yàn)。

在浪漫中精確，精確中浪漫是對(duì)知識(shí)能動(dòng)的掌握。本節(jié)課學(xué)習(xí)的知識(shí)在生活中固然重要，但對(duì)于學(xué)習(xí)者來(lái)說(shuō)也可能終身都不會(huì)用到，然而在知識(shí)獲取過(guò)程中，抽象能力、建模能力、推理能力卻會(huì)相伴一生。知識(shí)是載體，獲取的過(guò)程是重點(diǎn)，學(xué)生能動(dòng)的參與建構(gòu)是關(guān)鍵，獲得的便是受益終身的智慧。

一切學(xué)問(wèn)都是從生活中來(lái)的，是對(duì)自然和社會(huì)的觀察中歸納出來(lái)的，書(shū)本大多呈現(xiàn)的是歸納的結(jié)果，而知識(shí)和原始觀察有著什么聯(lián)系，歸納證明的過(guò)程是怎樣的，這才是學(xué)生最需要的東西。在“浪漫—精確—浪漫”的認(rèn)知漩渦中，知識(shí)在增長(zhǎng)，更重要的是認(rèn)知的過(guò)程在被感知被認(rèn)知，終將有一天，學(xué)生會(huì)走向自主發(fā)展的道路。

（作者單位：武漢經(jīng)濟(jì)技術(shù)開(kāi)發(fā)區(qū)第一初級(jí)中學(xué)）

責(zé)任編輯 嚴(yán)芳