蓋爾范德在整值整函數(shù)理論上的工作

王全來(lái)

(天津師范大學(xué)計(jì)算機(jī)與信息工程學(xué)院，天津 300387)

蓋爾范德在整值整函數(shù)理論上的工作

王全來(lái)

(天津師范大學(xué)計(jì)算機(jī)與信息工程學(xué)院，天津 300387)

本文基于原始文獻(xiàn)，利用歷史分析和比較的方法，首次研究了蓋爾范德在整值整函數(shù)理論方面的工作及影響.他的工作奠定了該理論發(fā)展的重要方向.文章分析了其工作背景；研究了他的有關(guān)工作，揭示了其思想的演變過(guò)程；探討了其工作的重要影響.

蓋爾范德；整值整函數(shù)；插值級(jí)數(shù)；超越數(shù)理論；多項(xiàng)式理論

1 引言

整值整函數(shù)理論自1915年由波利亞(G.Pólya)首次提出，直到今日仍不斷被研究和發(fā)展.函數(shù)論大師博阿斯(P.Boas)對(duì)此評(píng)價(jià)到，“這是分析學(xué)中最深刻的結(jié)果之一”.

整值整函數(shù)理論從1915到2010年的研究論文較多，但有關(guān)其歷史的論文只有兩篇.一篇是古冉門(F.Gramain)的“算術(shù)整函數(shù)：歷史一瞥”[1](1984)，另一篇是古冉門和施尼策爾(F.J.Schnitzer)的“整值整函數(shù)：歷史注記”[2](1989).這兩篇論文，從其內(nèi)容看，作者選取了一些文獻(xiàn)和研究成果，對(duì)其中的一些重要定理給出新證明和適當(dāng)?shù)淖⒂洠瑳](méi)有從整值整函數(shù)的發(fā)展史來(lái)寫，正因如此，除文獻(xiàn)資料引述不全外，沒(méi)有對(duì)該理論的發(fā)展過(guò)程進(jìn)行詳細(xì)梳理和研究.比伯巴赫(L.Bieberbach)在“解析開拓”(1955)一書中專設(shè)一章介紹整值整函數(shù)理論[3]，其寫作風(fēng)格和前兩篇論文方式相同.除此之外，國(guó)內(nèi)外未有見到專門研究文獻(xiàn).

從歷史上看，波利亞的整值整函數(shù)定理是整值整函數(shù)理論研究的起點(diǎn).在波利亞工作的影響下，許多數(shù)學(xué)家在該理論上做了大量工作.蓋爾范德(A.O.Gelfond)不僅涉及該理論較早，且影響很大，其工作成為該理論發(fā)展的一個(gè)重要方向.蓋爾范德為前蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家，涉及數(shù)學(xué)領(lǐng)域較多，但以在超越數(shù)和解析函數(shù)理論的工作著稱.與超越數(shù)理論有關(guān)的研究為整值整函數(shù)研究.兩篇有關(guān)該理論歷史的文章只涉及他的1929年的兩篇文章，比伯巴赫的著作只涉及他的1929及1933年的3篇文章，其余的工作沒(méi)有涉及.由于整值整函數(shù)理論內(nèi)容龐雜，理論思想深?yuàn)W，因此很難通過(guò)一篇論文說(shuō)清該理論的發(fā)展歷程.本文在深入分析該理論在1915到2010年間的研究文獻(xiàn)基礎(chǔ)上，研究蓋爾范德的有關(guān)工作，分析其思想背景、思想方法和影響，梳理出以他的工作為發(fā)展方向的整值整函數(shù)理論的發(fā)展歷程.

2 整值整函數(shù)理論起源

在19世紀(jì)末，埃爾米特和林德曼分別證明了eα對(duì)于非零代數(shù)數(shù)的超越性之后，產(chǎn)生了一個(gè)超越解析函數(shù)在非零代數(shù)點(diǎn)處是否取超越值的問(wèn)題.自此之后，超越函數(shù)在復(fù)數(shù)點(diǎn)處的算術(shù)行為的研究吸引了眾多數(shù)學(xué)家的注意.一些人曾猜想，一個(gè)這樣的超越函數(shù)在有理點(diǎn)處應(yīng)取超越值.很快這個(gè)猜想被指出是錯(cuò)誤的.魏爾斯特拉斯在1886年寫給斯特勞斯(E.Strauss)的信中指出，對(duì)上述問(wèn)題的正確性只對(duì)嚴(yán)格的函數(shù)類成立.在信的末尾處，他指出，可以通過(guò)各種可能的方法構(gòu)造一個(gè)系數(shù)全是有理的超越整函數(shù)，對(duì)任意代數(shù)點(diǎn)總?cè)〈鷶?shù)值是可能的.其工作引出一個(gè)影響其后發(fā)展的深刻問(wèn)題，即在這個(gè)范圍內(nèi)的函數(shù)可否通過(guò)簡(jiǎn)單的算術(shù)性質(zhì)進(jìn)行刻畫.斯特勞斯試圖闡明這個(gè)問(wèn)題，但未能圓滿解釋，且留下一個(gè)問(wèn)題，即是否可通過(guò)具有有理系數(shù)的一致收斂?jī)缂?jí)數(shù)表示的超越函數(shù)，在有限個(gè)代數(shù)點(diǎn)處取代數(shù)值.

斯塔克(P.St?ckel)在得知斯特勞斯的工作后，在1895年指出，其遺留的問(wèn)題可以填補(bǔ).他的工作得益于希爾伯特.希爾伯特指出，一個(gè)代數(shù)函數(shù)若對(duì)一個(gè)任意小區(qū)間內(nèi)的一切有理點(diǎn)取有理值，則它一定是有理函數(shù)[4].他只是在實(shí)有理點(diǎn)討論該定理，但易推廣到復(fù)數(shù)域上.斯塔克證明，對(duì)每個(gè)可數(shù)子集Σ?C和一個(gè)稠密子集T?C，C為復(fù)數(shù)域.古冉門在文獻(xiàn)[1]中指出，當(dāng)C為實(shí)數(shù)集R時(shí)結(jié)論也成立，并給出嚴(yán)格證明.其實(shí)，斯塔克在該定理后已有暗示.

希爾伯特在“數(shù)學(xué)問(wèn)題”(1900)中把魏爾斯特拉斯的問(wèn)題抽象化為其中的第七個(gè)問(wèn)題“αβ的超越性，α是不為0和1的代數(shù)數(shù)，β為無(wú)理性代數(shù)數(shù)”.他補(bǔ)充到，“實(shí)際上，某個(gè)超越函數(shù)在代數(shù)點(diǎn)處取代數(shù)值，似乎奇怪，并值得注意和進(jìn)一步研究”.因此，希爾伯特從一定程度上講設(shè)計(jì)了單或多變量的“算術(shù)整函數(shù)”的研究課題.

斯塔克在1902年構(gòu)造超越整函數(shù)f及其導(dǎo)數(shù)f(t)(Q)?Q，t=0，1，2，3，···.兩年后，法伯爾(G.Faber)加強(qiáng)了這個(gè)結(jié)果，證明存在超越整函數(shù)f(t)(R)?Q(i)，t=0，1，2，3，···，R為C中Q的代數(shù)閉集.該結(jié)果直到1968年才有進(jìn)一步發(fā)展.普騰(Van der Poorten)證明存在超越整函數(shù)f使f(s)(α)∈Q(α)，α為一切代數(shù)數(shù).黃閣(J.Huang)，馬克斯(D.Marques)等人解決了任意一個(gè)代數(shù)數(shù)集合是某個(gè)超越整函數(shù)例外集問(wèn)題，并得到在超越數(shù)背景下一些重要結(jié)果[5].

通過(guò)函數(shù)和其導(dǎo)數(shù)在代數(shù)點(diǎn)處取值情況不能判斷函數(shù)超越性，這一點(diǎn)由維基(A.Wilkie)在1995年就實(shí)代數(shù)數(shù)的情況進(jìn)行了說(shuō)明.他的工作后由聞藪(R.Wencel)繼續(xù)研究和發(fā)展.

若由有理整數(shù)代替代數(shù)數(shù)，則可得到研究超越整函數(shù)的另一途徑，即整值整函數(shù)研究.波利亞在“論整值整函數(shù)”[6](1915)中開創(chuàng)了算術(shù)整函數(shù)研究先河.蓋爾范德在此方面做了奠基性工作，成為后來(lái)該理論發(fā)展的一個(gè)重要研究方向.

3 蓋爾范德之前一些數(shù)學(xué)家的相關(guān)工作

4 蓋爾范德的重要工作

5 蓋爾范德工作的重要影響

伯川德(F.Bertrandias)受卡爾松“整值整函數(shù)”思想的影響，在“算術(shù)函數(shù)”(1958)中討論了阿貝爾意義下的算術(shù)整函數(shù)定理.對(duì)于n∈N，f(n)(n)∈Z的整函數(shù)現(xiàn)被稱為阿貝爾意義下的算術(shù)整函數(shù).同年，他基于拉普拉斯―波萊爾變換進(jìn)一步深入探討了阿貝爾意義下的算術(shù)整函數(shù)問(wèn)題.弗里德曼(A.Fridman)受伯川德和蓋爾范德工作的影響，在1969年利用插值法把蓋爾范德1929年定理中的導(dǎo)數(shù)有限次推廣到無(wú)限次，并得到常數(shù)ln(1+e-1)[24].外爾特在2005年證明 ln(1+e-1)可以由 ln2代替.同時(shí)，他考慮了在Z上的整值整函數(shù)，則ln(1+e-1)可由ln[(3+51/2)/2]代替.瓦利斯(R.Wallisser)在1985和1990年利用q-相似拉普拉斯變換得到了整函數(shù)在幾何序列點(diǎn)處的增長(zhǎng)率和形式的一些結(jié)果，使蓋爾范德1933年的結(jié)果為其特殊情況.古冉門通過(guò)超越數(shù)方法證明了蓋爾范德1933年的結(jié)果，并提到了用這種方法可以研究具有導(dǎo)數(shù)的情況，但他未研究[25].

皮拉通過(guò)引入函數(shù)一致階的概念，在2002和2003年利用插值法得到了一個(gè)整值整函數(shù)定理，蓋爾范德1933年結(jié)果為其特例.外爾特引入集合基數(shù)，在整數(shù)集的一般子集上把蓋爾范德1933年，畢茲聞的結(jié)果一般化.

設(shè)un為Z的序列，un+m=un(mod m)，m≥1的問(wèn)題由茹薩(I.Z.Rusza)在1971年提出，皮瑞里(A.Perelli)，扎尼爾(U.Zannier)等人進(jìn)行深入研究.皮瑞里和扎尼爾在1981年研究了整值整函數(shù)f的增長(zhǎng)，與波利亞的整值條件相比補(bǔ)充了一個(gè)算術(shù)條件，對(duì)充分大的素?cái)?shù)p和一切n∈N，滿足f(n+p)≡f(n)(mod p).他們證明一個(gè)指數(shù)類型小于ln(e+1)的整函數(shù)若在正整數(shù)集上具有這個(gè)性質(zhì)，一定為一個(gè)多項(xiàng)式.但他們不能構(gòu)造指數(shù)類型為ln(e+1)的超越整函數(shù)在正整數(shù)集上具有此性質(zhì).畢茲聞?dòng)闷と鹄锖驮釥柕难芯砍晒?，補(bǔ)充條件

隨著p-進(jìn)制數(shù)的理論發(fā)展，使整值整函數(shù)理論又有新進(jìn)展.斯特勞(E.G.Straus)、洛克斯頓(J.H.Loxton)等人研究了p-進(jìn)制形式下的波利亞整值整函數(shù)定理.外特爾在“在復(fù)域和p-進(jìn)制域內(nèi)的整值性”(1999)和“在幾何序列上其導(dǎo)數(shù)為整值的整函數(shù)”(2000)中采用蓋爾范德超越數(shù)方法和利用Siegel命題構(gòu)造輔助函數(shù)證明了在幾何序列qn，n=1，2，3，···上取整值的類似于弗里德曼的定理.這個(gè)定理中所給常數(shù)是錯(cuò)誤的，該錯(cuò)誤由他在2003年關(guān)于該文的更正中糾正[29].

另一個(gè)活躍的主題是有限特征域的涉及.卡爾 (M.Car)在 1997年對(duì)有限域的多項(xiàng)式環(huán) Fq[T]，利用整函數(shù)的 q-階理論證明了波利亞定理的類似定理，其結(jié)果由德拉麥特(L.Delamette)利用沃世特在1993年引入的插值行列式進(jìn)一步改進(jìn)[30].插值行列式法首次出現(xiàn)于萊默(H.Lehmer)1933年的論文中，后經(jīng)多位數(shù)學(xué)家發(fā)展，并應(yīng)用于與數(shù)論有關(guān)的領(lǐng)域.沃世特利用此法在1993年證明波利亞定理，在1997年證明復(fù)數(shù)乘積集合上的波利亞定理.

古冉門在文獻(xiàn)[12]中把蓋爾范德1929年的定理推廣到虛二次域的整環(huán)上.阿伯利在2011年在更大數(shù)域內(nèi)又把古冉門的上述結(jié)果一般化.卡爾在 2001年把虛二次域推廣到有限域中，但不能得到定理的最佳常數(shù)值.亞當(dāng)(D.Adam)在2004年證明了兩個(gè)結(jié)果，第一個(gè)結(jié)果表明對(duì)于整函數(shù)，卡爾在上述定理中的上界是正確的，卡爾給出了一個(gè)例子說(shuō)明此界是最佳的.第二個(gè)結(jié)果是蓋爾范德1933年的定理在Fq[T]中的一個(gè)類似定理[31].亞當(dāng)在2010年通過(guò)引入卡里茨模，采用函數(shù)的q-進(jìn)制插值法證明了類似于蓋爾范德1933年的定理.亞當(dāng)在2011年證明了在正特征p域上的蓋爾范德定理.他證明指數(shù)類型小于p/elnq的整函數(shù)，滿足f(σ)(Fq[T])?(Fq[T])，0≤σ＜p，則它為一個(gè)多項(xiàng)式.在該文最后證明了類似于蓋爾范德1967年的結(jié)果[32].茹徹夫(P.Rochev)在2011年利用插值法把蓋爾范德1929年的兩個(gè)結(jié)果在更一般的數(shù)域上推廣，并有更深入的研究.亞當(dāng)和外爾特在有限特征域上，基于保留經(jīng)典導(dǎo)數(shù)解析性和算術(shù)性的基礎(chǔ)上引入完全整函數(shù)的概念，一般化了弗里德曼、外爾特等人結(jié)果，通過(guò)引入多項(xiàng)式序列和卡里茨模進(jìn)一步加強(qiáng)了蓋爾范德1967年的結(jié)果.

多變量函數(shù)算術(shù)性質(zhì)的研究始于1941年施耐德的論文“阿貝爾函數(shù)和積分理論”.但是這篇文章中關(guān)于多變量算術(shù)性質(zhì)的論述一直到朗(S.Lang)在1965年注意和進(jìn)一步研究.斯特勞在1950年的文章中證明了一個(gè)在有限代數(shù)點(diǎn)集上整值整函數(shù)的類型和階的一般性結(jié)果，并在最后提出了把這個(gè)結(jié)果推廣到亞純函數(shù)或多個(gè)變量的復(fù)函數(shù)問(wèn)題[33].應(yīng)該指出的是，施耐德在1948年采用完全不同的方法證明了一個(gè)類似結(jié)果，對(duì)于單變量亞純函數(shù)的斯特勞的結(jié)果為其推論，并注釋到，把他的定理推廣到多個(gè)復(fù)變量的函數(shù)沒(méi)有任何困難[34].這種擴(kuò)展確實(shí)由朗在1965年完成.斯特勞看到了施耐德的論文，對(duì)其評(píng)價(jià)到，他的方法更強(qiáng)大，結(jié)果更完整.斯特勞的方法只能用于在代數(shù)點(diǎn)處的超越函數(shù)，而施耐德的方法可用于更一般的兩個(gè)函數(shù)的值代數(shù)獨(dú)立情況.施耐德的結(jié)果盡管對(duì)超越數(shù)理論發(fā)展有深遠(yuǎn)影響，但不含蓋爾范德和斯特勞的準(zhǔn)確結(jié)果.施耐德從代數(shù)獨(dú)立角度闡述蓋爾范德1929年工作，但沒(méi)給出確切形式.萬(wàn)恩在2010年對(duì)蓋爾范德1933，1967年結(jié)果也從此角度進(jìn)行深入討論.

斯特勞的結(jié)果推廣到多個(gè)變量的情況首先出現(xiàn)在1967年貝克(A.Baker)的文章中.他用n維空間中的拉普拉斯―波萊爾變換證明了n維的波利亞定理的類似定理，并把蓋爾范德1929年結(jié)果一般化.但其法不能用到更一般的如亞純函數(shù)情況[35].自從他的工作開始，蓋伊(R.Gay)等人對(duì)多變量整值函數(shù)的研究獲得一些重要結(jié)果.沃世特在1976年把斯特勞的結(jié)果推廣到亞純函數(shù)上.阿米蒂琦(D.H.Armitage)由Zm代替Nm推廣貝克及蓋爾范德1929年結(jié)果.

布恩舒受蓋爾范德1933年定理的影響，在1970年證明了一個(gè)類似于該定理的無(wú)理性判別準(zhǔn)則.利用該準(zhǔn)則和多變量插值法在1980年證明了多變量整值整函數(shù)定理，把蓋爾范德1967年的結(jié)果一般化.這個(gè)定理的下列推論使蓋爾范德1933年結(jié)果為其特殊情況[36].

受布恩舒工作影響，不同于他，畢茲聞在另一方向上利用線性循環(huán)序列把蓋爾范德1933年結(jié)果一般化.古冉門在文獻(xiàn)[25]中利用施耐德的超越數(shù)法把布恩舒和畢茲聞的結(jié)果一般化.吉野(K.Yoshino)利用解析函數(shù)的傅里葉-波萊爾變換和阿凡尼薩-蓋伊變換，對(duì)于多變量的非整函數(shù)給出了類似的波利亞定理，可以看做是蓋爾范德1952年工作的推廣.瑞沃和外爾特在文獻(xiàn)[21]中進(jìn)一步研究，糾正了吉野定理中一個(gè)錯(cuò)誤條件，得到更為一般性的定理.

6 結(jié)語(yǔ)

在波利亞工作的影響下，許多數(shù)學(xué)家在該領(lǐng)域做了大量工作，蓋爾范德的工作即是其中之一，并成為整值整函數(shù)發(fā)展的重要方向，足見他的影響.他的工作從一個(gè)側(cè)面說(shuō)明，現(xiàn)代數(shù)學(xué)各分支發(fā)展融合的特點(diǎn)[37].對(duì)于證明整值整函數(shù)的各種結(jié)果的方法基本有三種，插值級(jí)數(shù)、拉普拉斯變換、蓋爾范德和施耐德的超越數(shù)法.插值級(jí)數(shù)理論在20世紀(jì)初的丟番圖逼近中起著重要角色.整值整函數(shù)與超越數(shù)理論有緊密聯(lián)系.來(lái)自于超越數(shù)理論解決希爾伯特第七問(wèn)題的解決方法，后來(lái)被進(jìn)一步成功應(yīng)用于整值性問(wèn)題的研究.這些方法不斷改進(jìn)也促進(jìn)了整值整函數(shù)理論的進(jìn)一步發(fā)展.波利亞定理不能直接推廣到實(shí)解析函數(shù)情況.瓊斯(O.Jones)，托馬斯(M.Thomas)等在2012年對(duì)此有類似結(jié)果的情況進(jìn)行研究，奠定在實(shí)數(shù)域內(nèi)研究整值整函數(shù)理論的基礎(chǔ).

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Gelfond′s work in theory of integer valued entire functions

Wang Quanlai
(The College of Computer and Information Engineering，Tianjin Normal University，tianjin 300387，China)

This paper first studies A.O.Gelfond′s work and influence on theory of integer valued entire functions based on the original material by historical analysis and comparative method.In 1915，G.P ó lya initiated the study of this theory.Further refinements are due to a number of authors including A.O.Gelfond.His work laid an important direction for the development of this theory.This article analyzes the background of his work；It studies his related work and reveals the evolution of his thought；It investigates some important influence on others.

A.O.Gelfond，integer valued entir functions，interpolation series，transcendental number theory，polynomial

O11

A

1008-5513(2016)03-0252-11

10.3969/j.issn.1008-5513.2016.03.004

2016-04-08.

國(guó)家自然科學(xué)基金(11571276).

王全來(lái)(1974-)，副教授，研究方向：近現(xiàn)代數(shù)學(xué)史.

2010 MSC:01A05