景 蓓，魏毅強(qiáng)

(太原理工大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院，山西 太原 030024)

?

一類分?jǐn)?shù)階Euler-Bernoulli梁耦合格點(diǎn)系統(tǒng)解的存在唯一性

景 蓓，魏毅強(qiáng)

(太原理工大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院，山西 太原 030024)

在Euler-Bernoulli梁格點(diǎn)系統(tǒng)中，考慮了熱效應(yīng)影響，并且將其推廣到分?jǐn)?shù)階形式，研究了一類分?jǐn)?shù)階Euler-Bernoulli梁耦合格點(diǎn)系統(tǒng)解的存在唯一性. 其中，運(yùn)用連續(xù)緊映射原理和Schauder’s 不動(dòng)點(diǎn)定理，證明了該梁耦合格點(diǎn)系統(tǒng)解的存在性，運(yùn)用壓縮映射原理，證明了該梁耦合格點(diǎn)系統(tǒng)解的唯一性. 該結(jié)果對(duì)工程中一些關(guān)于Euler-Bernoulli梁模型的梁的彈性振動(dòng)問(wèn)題的討論和估算有一定的指導(dǎo)意義.

分?jǐn)?shù)階格點(diǎn)系統(tǒng)； Caputo導(dǎo)數(shù)； 巴拿赫壓縮映射原理； 存在唯一性

0 引 言

格點(diǎn)系統(tǒng)是一類十分重要的動(dòng)力系統(tǒng)，其作為偏微分方程空間變量離散化形式有著廣泛的應(yīng)用，涉及生物學(xué)[1-2]，材料科學(xué)[3]，電子工程[4]，激光理論[5]，圖像處理與模式識(shí)別[6-7]等領(lǐng)域. 迄今為止，已有許多關(guān)于格點(diǎn)動(dòng)力系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)研究，例如文獻(xiàn)[8]研究了一類隨機(jī)格點(diǎn)動(dòng)力系統(tǒng)解的存在唯一性；文獻(xiàn)[9]討論了一類自治耦合格點(diǎn)非線性Schrodinger方程組的解的動(dòng)力學(xué)行為； 文獻(xiàn)[10]研究了分?jǐn)?shù)階部分耗散格點(diǎn)系統(tǒng)解的存在唯一性； 文獻(xiàn)[11]研究了分?jǐn)?shù)階Timoshenko梁格點(diǎn)系統(tǒng)解的存在唯一性； 文獻(xiàn)[12]討論了整數(shù)階Euler-Bernoulli梁方程的穩(wěn)定性； 文獻(xiàn)[13]討論了Euler-Bernoulli類方程初值問(wèn)題解的局部存在性、 整體存在性以及解的長(zhǎng)時(shí)間漸近性； 文獻(xiàn)[14]討論了Euler--Bernoulli梁幾何整數(shù)階非線性方程的變化趨勢(shì)； 文獻(xiàn)[15]研究了彈性梁在熱膨脹狀態(tài)下的橫向非線性振動(dòng)問(wèn)題的整數(shù)階漸近解，等等. 本文將分?jǐn)?shù)階與耦合引入到Euler-Bernoulli梁格點(diǎn)系統(tǒng)中，研究了一類分?jǐn)?shù)階Euler-Bernoulli梁耦合格點(diǎn)系統(tǒng)解的初值問(wèn)題，此結(jié)果在工程結(jié)構(gòu)中有廣泛的應(yīng)用價(jià)值和實(shí)際指導(dǎo)意義.具體問(wèn)題如下

(1)

其初值條件為

(2)

其中,u=(ui)i∈Z，θ=(θi)i∈Z，λ，μ，δ，β，α，ρ是正常數(shù)，(fi(t))i∈Z，(gi(t))i∈Z是滿足某些條件的非線性函數(shù)序列，0

1 預(yù)備知識(shí)

記l2表示平方收斂的實(shí)序列空間

其相應(yīng)的內(nèi)積〈·〉和范數(shù)‖·‖分別定義如下

對(duì)于任意的u=(ui)i∈Z∈l2和v=(vi)i∈Z∈l2，定義l2上的線性算子A,B,B*如下

則可知，運(yùn)算滿足

及〈B*u,v〉=〈u,Bv〉.

事實(shí)上，B*是B的伴隨算子，且易驗(yàn)證

及 ‖Au‖≤4‖u‖, ‖Bu‖≤2‖u‖,

令u=(ui)i∈Z∈l2,θ=(θi)i∈Z∈l2，結(jié)合l2上的線性算子A，B，系統(tǒng)(1)～(2)等價(jià)于

(3)

其初值條件為

(4)

現(xiàn)令z=au+cDpu，則系統(tǒng)(3)～(4)等價(jià)于下面的方程

(5)

初值條件為

(6)

再令

則系統(tǒng)(5)～(6)可以寫成H空間中的抽象矩陣方程

(7)

定義H上的內(nèi)積和范數(shù)如下，對(duì)任意的Φ(j)∈H, j=1,2.

設(shè)T0>0, b>0, 令

定義

2 主要結(jié)果及證明

引理 1對(duì)于任意的Φ∈X，及t∈J成立

其中 P=max{p1,p2,p3}.

事實(shí)上，

引理 2對(duì)于Φ∈X，及t∈J，有

證明由于G(t,Φ)=[0,f(t),g(t)-h(u)]T，則有

那么

(H1) G(t,Φ)+FΦ在J上關(guān)于t是勒貝格可測(cè)的；

(H2) G(t,Φ), FΦ分別在B上關(guān)于Φ是連續(xù)的；

(H3) 假設(shè)存在某正常數(shù)q∈(0,p)，使得實(shí)值函數(shù)

定理 1假設(shè)條件(H1)，(H2)，(H3)均成立，那么對(duì)任意的 p∈(0,1)，存在t0>0，使得初值問(wèn)題(1)～(2)在區(qū)間[0,t0] 上至少存在一個(gè)解，其中

證明由Caputo算子的定義及性質(zhì)可知，系統(tǒng)(1)～(2)解的存在性問(wèn)題等價(jià)于下面積分方程解的存在性問(wèn)題

記

在Ω上定義算子T如下

其中, Φ∈Ω, t∈[0,t0].

首先，我們證明T是自映射.即對(duì)任意的Φ∈Ω，有TΦ∈Ω，t∈[0,t0].

從而

即TΦ(t)∈Ω，T是自映射的.

進(jìn)一步，

故{TΦ|Φ∈Ω}是一致有界的.

設(shè)Φm，Φ∈Ω，m=1，2，…，

即

因此，由條件(H2)得

于是可知

及

另一方面，

因此

故T是連續(xù)的.

對(duì)?t1, t2∈[0,t0], t1≤t2，有

故

即得{TΦ∶Φ∈Ω}是等度連續(xù)的.于是由Arzela-Ascoli即可知TΦ是相對(duì)緊的. 再由Schauder’s不動(dòng)點(diǎn)定理可知存在Φ*∈Ω，使得

即

故初值問(wèn)題(1)～(2)在區(qū)間[0,t0]上至少存在一個(gè)解.用類似的方法可以證明問(wèn)題(1)～(2)在[- t0,0]區(qū)間的解的存在性.

定理 2假設(shè)(H1)，(H2)成立，并假設(shè)

其中:Φ，Ψ∈B,t∈J.

則對(duì)任意的p∈(0,1)，存在t1>0使得初值問(wèn)題(1)～(2)在區(qū)間[0,t1]上存在唯一解. 其中

證明記

在Ω上定義算子T如下

其中t∈[0,t1]. 類似定理1可以證明在[0,t1]上，T是自映射的.

接下來(lái)，證明T是壓縮的.

事實(shí)上，對(duì)?Φ, Ψ∈Ω，有

于是可知

其中

故由Banach壓縮映射原理可知，T在[0,t0]上有唯一不動(dòng)點(diǎn)，即原初值問(wèn)題在區(qū)間[0,t1]上存在唯一解. 證畢.

[1]CarpioA.Patternformation，long-termtransients，andtheturing-HopfBifurcationinaspace-andtime-discretepredator-preysystem[J].BulletinofMathematicalBiology，2011，73(8)：1812-1840.

[2]ChowSN，ParetJM.Patternformationandspatialchaosinlatticedynamicalsystems-PartI[J].IEEETransactionsonCircuitsandSystemsI：FundamentalTheoryandApplications，1995，42(10)：746-751.

[3]AlHajM，F(xiàn)orcadelN，MonneauR.Existenceanduniquenessoftravelingwavesforfullyoverdampedfrenkel-kontorovamodels[J].ArchiveforRationalMechanicsandAnalysis，2013，210(1)：45-99.

[4]ZhouF，LouJJ.Uniformexponentialattractorfornonautonomouspartlydissipativelatticedynamicalsystem[J].ActaMathematicaSinica，2014，19(8)：1381-1394.

[5]CarpioA.Wavetrains，self-oscillationsandsynchronizationindiscretemedia[J].PhysicaD：NonlinearPhenomena, 2005，207(1-2)：117-136.

[6]ChowSN，Mallet-ParetJ，VanVleckES.Patternformationandspatialchaosinspatiallydiscreteevolutionequations[J].RandomandComputationalDynamics，1996，4(2-3)：109-178.

[7]XuK，ZhuL，ZhangDM，etal.Synchronizationapproachfordynamichexagonaltime-frequencylatticeMCMsystem[J].RandomandComputationalDynamics，2014，25(1)：72-83.

[8]路學(xué)強(qiáng)，郭小勇，王蕾. 一類隨機(jī)格點(diǎn)動(dòng)力系統(tǒng)解的存在唯一性[J]. 蘭州交通大學(xué)學(xué)報(bào)，2010，29(1)：157-160． Lu Xueqiang，Guo Xiaoyong，Wang Lei. A class of stochastic lattice system existence and uniqueness of solution[J].Journal of Lanzhou Jiaotong University，2010，29(1)：157-160．(in Chinese)

[9]陳婷. 一類格點(diǎn)系統(tǒng)解的漸近性行為及其分?jǐn)?shù)階格點(diǎn)系統(tǒng)的解的存在唯一性[D]. 湘潭：湘潭大學(xué)，2012.

[10]武旭藝. 兩類分?jǐn)?shù)格點(diǎn)系統(tǒng)解的存在唯一性與FitzHugh-Nagumo格點(diǎn)系統(tǒng)的指數(shù)吸引子[D].湘潭：湘潭大學(xué)，2012.

[11]王靜. 一類分?jǐn)?shù)階非線性微分方程初值問(wèn)題及Timoshenko梁格點(diǎn)系統(tǒng)解的研究[D]. 太原：太原理工大學(xué)，2015．

[12]魯小瑞. 邊界帶有干擾的Euler-Bernoulli梁方程的輸出反饋穩(wěn)定[J]. 中北大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2015，36(2)：103-107. Lu Xiaorui. Output feedback stability for a Euler-Bernoulli beam equation with boundary disturbance[J]. Journal of North University of China(Natural Science Edition)，2015，36(2)：103-107. (in Chinese)

[13]潘挺. Euler-Bernoulli類方程初值問(wèn)題解的漸進(jìn)性質(zhì)[D]. 杭州：浙江大學(xué)，2010.

[14]李世榮，孫云，劉平. 關(guān)于Euler-Bernoulli 梁幾何非線性方程的討論[J]. 力學(xué)與實(shí)踐，2013，35(2)：77-80. Li Shirong，Sun Yun，Liu Ping. Discussion of Euler-Bernoulli beam-geometric nonlinear equations[J]. Mechanics in Engineering，2013，35(2)：77-80. (in Chinese)

[15]佘桂林. 基于Euler-Bernoulli 梁理論研究熱膨脹下梁的非線性振動(dòng)問(wèn)題[J].應(yīng)用力學(xué)學(xué)報(bào)，2015，32(3)：366-371. She Guilin. Large amplitude vibration analysis of Euler-Bernoulli beams in the state of thermal expansion[J].Chinese Journal of Applied Mechanics，2015，32(3)：366-371. (in Chinese)

Existence and Uniqueness of Solutions of a Class of Fractional Order Euler-Bernoulli Beam Coupling Lattice Systems

JING Bei, WEI Yi-qiang

(College of Mathematics, Taiyuan University of Technology, Taiyuan 030024, China)

An exploration was made on existence and uniqueness of the solutions of a class of fractional order Euler-Bernoulli beam coupling lattice systems, which was effected by the thermal effect and generalized to the fractional order form. By using the principle of continuous maps and Schauder ’s fixed point theorem, the existence of solutions of the lattice system was obtained. And by using the contraction mapping theory, uniqueness of solution of the lattice system was proved. In the engineering, the result has guiding significance for the discussion and estimation of elastic vibration of beam about Euler- Bernoulli beam model.

lattice system of fractional order; Caputo derivative; Banach contraction mapping theory; existence and uniquess

2016-03-02 基金項(xiàng)目：國(guó)家自然科學(xué)基金面上項(xiàng)目(11472184)

景 蓓(1991-)，女，碩士生，主要從事分形幾何與動(dòng)力系統(tǒng)的研究.

1673-3193(2016)05-0456-05

O175

A

10.3969/j.issn.1673-3193.2016.05.004