潘旦光，丁民濤,陳 釩,2

(1.北京科技大學(xué) 土木工程系，北京 100083，2. 中電建路橋集團(tuán)有限公司，北京 100048)

?

簡(jiǎn)支薄壁箱梁自由振動(dòng)的攝動(dòng)法解析解

潘旦光1，丁民濤1,陳 釩1,2

(1.北京科技大學(xué) 土木工程系，北京 100083，2. 中電建路橋集團(tuán)有限公司，北京 100048)

為研究簡(jiǎn)支薄壁箱梁中剪力滯效應(yīng)對(duì)結(jié)構(gòu)動(dòng)力特性的影響，基于模態(tài)攝動(dòng)法提出了一種求解薄壁箱梁自由振動(dòng)的新方法.該方法以相同跨度等截面歐拉梁的頻率和模態(tài)為Ritz基函數(shù)，將箱梁自由振動(dòng)的微分方程組轉(zhuǎn)化為一組非線性代數(shù)方程進(jìn)行求解.對(duì)于簡(jiǎn)支箱梁，可進(jìn)一步將代數(shù)方程組簡(jiǎn)化為一元二次方程，從而得到精確的特征值和特征向量.在此基礎(chǔ)上，利用所得箱梁振動(dòng)模態(tài)的解析表達(dá)式，提出了模態(tài)剪力滯系數(shù)的概念，從而建立了箱梁固有頻率和剪力滯效應(yīng)之間的關(guān)系.隨后研究了模態(tài)剪力滯系數(shù)隨跨寬比、翼板抗彎剛度和截面抗彎剛度之比的變化規(guī)律.計(jì)算結(jié)果表明：簡(jiǎn)支梁腹板處剪力滯系數(shù)最大且大于1，為正剪力滯效應(yīng)；隨著模態(tài)階數(shù)的增加、跨寬比的減小和翼板抗彎剛度和截面抗彎剛度之比的增大，剪力滯效應(yīng)呈現(xiàn)增大的趨勢(shì).關(guān)鍵詞: 箱梁；剪力滯；模態(tài)攝動(dòng)法；動(dòng)力特性；解析解

薄壁箱梁具有良好的抗彎和抗扭性能在現(xiàn)代橋梁中得到廣泛應(yīng)用.當(dāng)箱梁發(fā)生豎向位移時(shí)，由于翼板中剪力滯后的影響引起翼板縱向應(yīng)力沿橫向分布不均勻，而存在剪力滯效應(yīng)[1-5].

對(duì)于箱梁自由振動(dòng)而言，剪力滯效應(yīng)引起箱梁的動(dòng)力特性發(fā)生顯著變化.對(duì)于不同的跨高比，可忽略箱梁部分影響因素而建立相應(yīng)的自由振動(dòng)方程.當(dāng)跨高比較大時(shí)，甘亞南等[6]、吳有俊等[7]以歐拉梁為基礎(chǔ)，忽略了剪力滯引起縱向位移的慣性影響，分別研究了剪力滯引起的彈性勢(shì)能對(duì)梁動(dòng)力特性的影響.對(duì)于跨高比小的箱梁，此時(shí)截面的剪切變形和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量影響不可忽略.張永健等[8]分析了剪切變形和剪力滯效應(yīng)對(duì)簡(jiǎn)支箱梁自振頻率的影響.甘亞南等[9-10]基于Timoshenko梁理論討論了剪力滯效應(yīng)對(duì)等截面箱梁自振頻率的影響.周旺保等[11]研究了剪力滯、剪切變形、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量、滑移效應(yīng)對(duì)鋼-混凝土組合箱型梁動(dòng)力特性的影響.

在上述箱梁自由振動(dòng)的求解過程中，大部分是基于分離變量法得到箱梁自由振動(dòng)的解析解.由于箱梁的自由振動(dòng)控制方程是一個(gè)微分方程組，因此自振頻率超越方程及模態(tài)函數(shù)很復(fù)雜.從梁的振動(dòng)方程角度看，剪力滯效應(yīng)對(duì)梁振動(dòng)的影響可看作是歐拉梁振動(dòng)方程修正后形成的系統(tǒng)，則可以利用攝動(dòng)法求解箱梁自由振動(dòng).樓夢(mèng)麟[12]首先利用模態(tài)攝動(dòng)法，將變系數(shù)微分方程的求解問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程組進(jìn)行求解，從而簡(jiǎn)化了特征方程的求解.隨后，樓夢(mèng)麟等[13]、潘旦光等[14]將模態(tài)攝動(dòng)法應(yīng)用于變截面梁的振動(dòng).潘旦光等[15-16]進(jìn)一步將模態(tài)攝動(dòng)法推廣到變截面Timoshenko梁振動(dòng)方程的求解.本文將利用模態(tài)攝動(dòng)法的基本思想，研究箱梁的自振頻率和振型的簡(jiǎn)化分析方法.在此基礎(chǔ)上，根據(jù)箱梁位移和彎矩的關(guān)系，推導(dǎo)了箱梁自由振動(dòng)的模態(tài)剪力滯系數(shù)，并分析跨寬比和翼緣板的剛度占梁總剛度百分比等對(duì)梁模態(tài)剪力滯系數(shù)的影響.

1 箱梁的自由振動(dòng)方程

圖1所示的矩形薄壁箱型梁，若梁的豎向位移為w(x,t)，上下翼緣板的縱向位移函數(shù)為vi(x,y,t)，且假定vi(x,y,t)可表示為

(1)

式中：u(x,t)為翼緣板剪切轉(zhuǎn)角的最大差值，x、y和z分別表示順梁方向、垂直于梁方向和豎向，b為箱室凈寬的一半，hi截面形心到頂、底板的距離，i分別取頂、底板.

圖1 箱形梁截面

基于歐拉梁理論，梁的動(dòng)能T為

(2)

梁的勢(shì)能V為

(3)

式中：ρ、E、G、A分別為箱梁的密度、彈性模量、剪切模量和截面面積.I為截面的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，Is為頂板和底板的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量.根據(jù)Hamilton原理可得梁的自由振動(dòng)方程為：

(4a)

(4b)

2 簡(jiǎn)支箱梁動(dòng)力特性的模態(tài)攝動(dòng)解

(5a)

(5b)

忽略剪力滯效應(yīng)后，具有相同跨度歐拉梁第j階模態(tài)的控制方程為

(6)

當(dāng)梁為簡(jiǎn)支梁時(shí)，與式(6)特征方程相對(duì)應(yīng)的特征值和模態(tài)為

(7)

直接模態(tài)攝動(dòng)法的基本思想是把式(5)考慮剪力滯效應(yīng)薄壁箱梁的特征方程看成式(6)所表示的等截面歐拉梁經(jīng)過參數(shù)修改所得到的新系統(tǒng)，這個(gè)新系統(tǒng)的主模態(tài)函數(shù)以及特征值可以用等截面歐拉梁的模態(tài)特征經(jīng)過簡(jiǎn)單的攝動(dòng)分析求解.則可以假設(shè)：

(8a)

(8b)

(8c)

從理論上來說，式(6)中梁有無窮多個(gè)主模態(tài)函數(shù)，即式(8)中n應(yīng)該趨向于無窮.但是在實(shí)際計(jì)算時(shí)，通常只需要考慮有限個(gè)低階模態(tài)進(jìn)行近似的計(jì)算就可以滿足要求.當(dāng)解出Δλj，pkj，qkj這2n個(gè)未知數(shù)，即可計(jì)算箱梁的第j階特征值及其對(duì)應(yīng)的主模態(tài)函數(shù).將(8)式代入(5)式可得：

(9a)

(9b)

(10a)

(10b)

式(10)中：

式中δij為Kronecker符號(hào).

依次取i為1, 2, …，n，重復(fù)利用式(10)可得2n個(gè)代數(shù)方程.將2n個(gè)代數(shù)方程寫成矩陣形式：

(11)

式中：C11、C12、C21、C22、D11、D22都為n階方陣，p、q、M、N為n階向量.各個(gè)方陣和向量的元素分別為：

顯然C11、C12、C21、C22、D11、D22都為對(duì)角矩陣，Mi=0，Ni=0(i≠j)，因此，p、q只有第j個(gè)元素不為零，則式(11)只剩下兩個(gè)方程.由此可得：

(12a)

(12b)

將式(12b)代入式(12a)可得

(13)

(14)

將式(14)代入式(12b)可得qjj的解為

(15)

由式(14)可知，采用直接模態(tài)攝動(dòng)法計(jì)算等截面箱梁振動(dòng)特性式的計(jì)算結(jié)果與式(8)中n的選取無關(guān).當(dāng)n趨近于無窮時(shí)，式(8)中代表了全模態(tài)的展開，是精確的坐標(biāo)變換.所以式(14)和式(15)所得的特征值和特征向量是簡(jiǎn)支箱梁動(dòng)力特性的精確解.

3 模態(tài)的剪力滯系數(shù)

由式(8)和(15)可知，箱形簡(jiǎn)支梁的模態(tài)為

(16)

則第j階模態(tài)翼板中的正應(yīng)力為

(17)

式(16)模態(tài)位移下，箱梁任意截面的彎矩為

(18)

在式(18)彎矩作用下，按歐拉梁理論所得翼板的正應(yīng)力為

(19)

(20)

由式(20)可知，對(duì)簡(jiǎn)支梁而言，剪力滯系數(shù)和x無關(guān)，即縱向各截面的剪力系數(shù)相同.箱梁翼板和腹板交角處的剪力滯系數(shù)為

(21)

箱梁翼板和腹板交角處的剪力滯系數(shù)為最大剪力滯系數(shù).最大剪力滯系數(shù)用于度量箱梁剪力滯影響的大小.式(21)表明單箱單室截面翼板和腹板交角處的剪力滯系數(shù)等于歐拉梁特征值和剪力滯影響下箱梁特征值的比.這表明對(duì)于箱梁自由振動(dòng)而言，最大剪力滯系數(shù)既反映了箱梁剪力滯的大小，又反映了由于剪力滯引起梁自振頻率的變化.最大剪力滯系數(shù)越大，梁的自振頻率降低越多.

4 計(jì)算精度分析

式(14)所得的特征值和特征向量是在忽略剪切變形和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量影響后所得的精確解.為驗(yàn)證本文方法計(jì)算結(jié)果的精度，下面對(duì)箱型截面梁分別進(jìn)行歐拉梁理論，本文方法和有限元方法的自由振動(dòng)計(jì)算.其中有限元方法是采用殼單元的分析結(jié)果.箱梁截面的材料參數(shù)為：E=35 GPa，G=15 GPa.箱梁截面形式和坐標(biāo)如圖(1)所示，各部位的尺寸為：t=0.25 m，b=3.55 m，h=2 m.當(dāng)Is/I=0.88時(shí)，腹板寬度為tw=0.4 m；當(dāng)Is/I=0.94時(shí)，腹板寬度為tw=0.2 m，同時(shí)選取梁的跨度為40、30和20 m.不同方法所得箱梁的前三階的自振頻率見表1.

由計(jì)算結(jié)果可知本文的方法由于忽略了轉(zhuǎn)動(dòng)慣量、剪切變形以及翼緣板振動(dòng)的影響而與有限元結(jié)果有一定差別，但是誤差并不大，可滿足工程需要.同時(shí)，本文方法所得各階模態(tài)的頻率都小于歐拉梁的頻率，且模態(tài)階數(shù)越高，兩者的頻率相差越大，這表明剪力滯對(duì)梁的自由振動(dòng)有顯著影響.

表1 簡(jiǎn)支薄壁箱梁的固有頻率

Tab.1 Natural frequencies of simply-supported thin-walled box girder

Is/Il/2b計(jì)算方法各階固有頻率/Hz一階二階三階0.885.634.232.82歐拉梁3.0112.0327.06本文方法2.9311.0222.81有限元3.1211.0422.06歐拉梁5.3421.3848.10本文方法5.1318.5537.05有限元5.3417.7933.93歐拉梁12.0348.10108.23本文方法11.0237.0570.02有限元10.9733.0259.360.945.634.232.82歐拉梁3.1012.4127.93本文方法3.0211.3123.24有限元3.1510.7220.47歐拉梁5.5222.0749.65本文方法5.2818.9637.43有限元5.3316.8430.53歐拉梁12.4149.65111.72本文方法11.3137.4369.24有限元10.6529.9551.25

5 參數(shù)分析

以跨寬比(l/2b)和翼板相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量(Is/I)為參數(shù)討論箱梁自由振動(dòng)時(shí)，模態(tài)剪力滯系數(shù)和梁自振頻率的變化規(guī)律.參數(shù)分析時(shí)箱梁截面的跨度和腹板厚度為變量，其余參數(shù)同前.

5.1 模態(tài)剪力滯系數(shù)的橫向分布

箱梁頂板的剪力滯分布沿箱梁中軸線左右對(duì)稱，因此只畫出一半的剪力滯系數(shù).取梁的跨度為40 m，前4階模態(tài)箱梁上翼板的剪力滯系數(shù)見圖2.

圖2 上翼板剪力滯系數(shù)

5.2 不同參數(shù)對(duì)最大剪力滯系數(shù)的影響

簡(jiǎn)支梁的最大剪力滯系數(shù)隨l/2b和Is/I的變化曲線見圖3、4.

圖3 最大剪力滯系數(shù)γe與跨寬比(l/2b)的關(guān)系

圖4 最大剪力滯系數(shù)γe與(Is/I)的關(guān)系(l=40 m)

由圖可知:1)l/2b越大，γe越小.因此相同截面情況下，梁跨度越大，剪力滯影響越小.對(duì)于第一階模態(tài)，當(dāng)l/2b>4時(shí)，γe<1.05.因此，對(duì)于僅需考慮第一階模態(tài)振動(dòng)的箱梁可忽略剪力滯效應(yīng)的影響；2)Is/I反映翼緣板剛度占總剛度的百分比.Is/I顯著地影響箱梁的剪力滯后效應(yīng)，由此也顯著影響箱梁自振頻率.Is/I越大，γe越大.這說明Is/I比值越大，頻率降低越多.但是，對(duì)于第一階模態(tài)而言，Is/I<0.9時(shí)，γe<1.05，此時(shí)剪力滯影響很小，可以忽略不計(jì).但是對(duì)于2階以上模態(tài)，當(dāng)Is/I>0.4時(shí)，則γe>1.05，此時(shí)，剪力滯影響不可忽略.

6 結(jié) 論

本文基于歐拉梁的特征值和模態(tài)，利用模態(tài)攝動(dòng)法將箱梁的自由振動(dòng)方程組轉(zhuǎn)化為非線性代數(shù)方程組來求解，從而簡(jiǎn)化計(jì)算.應(yīng)用于等截面簡(jiǎn)支梁時(shí)，可得到箱梁主頻率和模態(tài)的精確解.基于箱型梁的模態(tài)，進(jìn)一步推導(dǎo)了模態(tài)剪力滯系數(shù).由理論分析和數(shù)值計(jì)算可得如下結(jié)論：

1)對(duì)于簡(jiǎn)支梁而言，模態(tài)剪力滯系數(shù)沿梁軸線方向不變.且單箱單室截面翼板和腹板交角處的剪力滯系數(shù)等于歐拉梁特征值和剪力滯影響下箱梁特征值的比.

3)隨著模態(tài)階數(shù)的增加，剪力滯效應(yīng)越來越大，由此導(dǎo)致箱梁高階模態(tài)的自振頻率顯著降低.

4)l/2b越小，Is/I越大，γe越大.當(dāng)l/2b>4或Is/I<0.9時(shí)，γe<1.05.此時(shí)，對(duì)于僅需考慮第一階模態(tài)振動(dòng)的箱梁可忽略剪力滯效應(yīng)的影響.除此以外，剪力滯效應(yīng)對(duì)結(jié)構(gòu)動(dòng)力反應(yīng)的影響不可忽略，因此，一旦激振荷載能激起箱梁高階模態(tài)的振動(dòng)，剪力滯效應(yīng)將顯著地影響結(jié)構(gòu)的動(dòng)力反應(yīng).

[1] CHEN Jun, SHEN Shuilong, YIN Zhenyu, et al. Closed-form solution for shear lag with derived flange deformation function [J]. Journal of Constructional Steel Research, 2014, 102(11):104-110.

[2] GARA F, LEONI G, DEZI L. A beam finite element including shear lag effect for the time-dependent analysis of steel-concrete composite decks [J]. Engineering Structures, 2009, 31(8):1888-1902.

[3] 郭健，孫炳楠. 型鋼-混凝土箱形橋塔的剪力滯后效應(yīng)分析[J]. 哈爾濱工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào), 2003, 35(增刊):269-271,275. GUO Jian, SUN Bingnan. Analysis of shear lag effect of steel-concrete composite box tower in cable-stayed bridge[J]. Journal of Harbin Institute of Technology, 2003, 35(s): 269-271,275.

[4] 王浩, 李愛群, 趙大亮, 等. 潤揚(yáng)懸索橋鋼箱梁受力分析及實(shí)驗(yàn)研究[J]. 哈爾濱工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào), 2006, 38(7):1062-1064. WANG Hao, LI Aiqun, ZHAO Daliang, et al. FE analysis and experimental study on local stress of steel box girder of runyang suspension bridge [J]. Journal of Harbin Institute of Technology, 2006, 38(7):1062-1064.

[5] ZHANG Yuanhai, LIN Lixia. Shear lag analysis of thin-walled box girders based on a new generalized displacement [J]. Engineering Structures, 2014, 61(1):73-83.

[6] 甘亞南, 吳亞平, 王根會(huì), 等. 剪力滯效應(yīng)對(duì)簡(jiǎn)支箱梁自振特性的影響研究[J]. 蘭州鐵道學(xué)院學(xué)報(bào)，2002, 21(3): 23-25. GAN Y N, WU Y P, WANG G H, et al. Influence of shear lag on the characteristic of free vibration to box girder under simply supported[J]. Journal of Lanzhou Railway Institute, 2002，21(3):23-25 [7] 吳有俊, 羅旗幟, 陳玉驥. 考慮剪力滯效應(yīng)簡(jiǎn)支箱梁自振方程的求解[J]. 佛山科學(xué)技術(shù)學(xué)院學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版), 2010, 28(2):12-17. WU Youjun, LUO Qizhi, CHEN Yuji. The Solution of free vibration equation to simply-supported box girder considering shear lag effect[J]. Journal of Foshan University (Natural Science Edition), 2010, 28(2): 12-17.

[8] 張永健, 黃平明. 一種計(jì)入剪力滯及剪切變形效應(yīng)的箱梁自振頻率計(jì)算方法[J]. 鄭州大學(xué)學(xué)報(bào)(工學(xué)版), 2007, 28(1): 51-55. ZHANG Yongjian, HUANG Pingming. A new method to calculate the natural frequencies of simply supported box girder including the effect of shear lag and shear deformation[J]. Journal of Zhengzhou University (Engineering Science), 2007, 28(1): 51-55.

[9] 甘亞南, 周廣春, 赫中營. 大懸臂板矩形截面箱梁動(dòng)力反應(yīng)的分析[J]. 振動(dòng)與沖擊, 2010, 29(11): 61-65. GAN Y N, ZHOU G C, HE Zhongying. Dynamic response analysis for a large cantilever rectangular box girder in consideration of shear lag effect[J]. Journal of Vibration & Shock, 2010, 29(11):61-65.

[10]甘亞南, 周廣春. 基于能量變分原理的薄壁箱梁自振特性分析[J]. 中國公路學(xué)報(bào), 2007, 20(1):73-78. GAN Yanan, ZHOU Guangchun. Analysis of free vibration characteristics of thin-walled box girder based on energy variation principle[J]. China Journal of Highway & Transport, 2007, 20(1):73-78.

[11]ZHOU Wangbao, JIANG Lizhong, YU Zhiwu. Analysis of free vibration characteristic of steel-concrete composite box-girder considering shear lag and slip [J]. Journal of Central South University, 2013, 20: 2570-2577.

[12]樓夢(mèng)麟. 變參數(shù)土層的動(dòng)力特性和地震反應(yīng)分析[J]. 同濟(jì)大學(xué)學(xué)報(bào), 1997, 25(2)：155-160. LOU Menglin. Dynamic analysis for modal characteristics and seismic response of soil layer with variable properties[J]. Journal of Tongji University, 1997, 25(2)：155-160.

[13]樓夢(mèng)麟, 吳京寧. 復(fù)雜梁動(dòng)力問題的近似分析方法[J]. 上海力學(xué), 1997, 18(3)：234-240. LOU Menglin, WU Jingning. An approach to approximate analysis of dynamic problems of complicated beams [J]. Shanghai Journal of Mechanics, 1997, 18(3): 234～240.

[14]張懷靜, 潘旦光. 變截面連續(xù)梁動(dòng)力特性的半解析解法[J]. 北京科技大學(xué)學(xué)報(bào), 2008，30(6)：590-593. ZHANG Huaijing, PAN Danguang. Semi-analytic solution to dynamic characteristics of non-uniform continuous beams[J]. Journal of University of Science and Technology Beijing, 2008, 30(6): 590-593.

[15]潘旦光, 樓夢(mèng)麟. 變截面Timoshenko簡(jiǎn)支梁動(dòng)力特性的半解析解[J]. 工程力學(xué),2009, 26(8): 6-9. PAN D G, LOU M L. Semi-analytic solution of dynamic characteristics of non-prismatic timoshenko simply supported beams[J]. Engineering Mechanics, 2009, 26(8):6-9.

[16]PAN Danguang, CHEN Genda, LOU Menglin. A modified modal perturbation method for vibration characteristics of non-prismatic Timoshenko beams [J]. Structural Engineering and Mechanics An international Journal, 2011, 40(5): 689-703.

(編輯 趙麗瑩)

Analytic solution of free vibration of simply-supported thin-walled box girder by perturbation method

PAN Danguang1, DING Mintao1, CHEN Fan1,2

(1.Department of Civil Engineering, University of Science and Technology Beijing, Beijing 100083, China;2.Power China Road Bridge Group Co., Ltd., Beijing 100048, China)

To investigate the shear lag effect of thin-walled box girder on the dynamic characteristics, a new approach was developed to analyze the free vibration of box girders based on the modal perturbation method. The natural modes of vibration of the corresponding prismatic Euler beam with the same length and boundary conditions were used as Ritz base functions. Then, the new method can transform the set of partial differential equations governing the transverse vibration of the box girder into a set of nonlinear algebraic equations. For the simply-supported beams, the algebraic equations were further simplified as quadratic equation with one unknown, so that the exact eigenvalues and eigenvectors could be obtained. The analytical vibration modes of the box girder were used to propose the shear lag coefficients of modes, which illustrates the relationship between the natural frequency and shear lag effect. Numerical examples were used to analyze the shear lag coefficients of modes varying with the ratio between span and width, the second moment of area ratio between flange slab and the full section. The numerical results show that the maximum shear lag coefficients of modes located at the web of the box girder are greater than 1, which are positive shear lag effect. As the increase of modes order, the reduction of the ratio between span and width and the increase of the second moment of area ratio between flange slab and the full section, the shear lag coefficients and shear lag effect would be more remarkable.

box girder; shear lag; modal perturbation; dynamic characteristics; analytic solution

10.11918/j.issn.0367-6234.2016.12.007

2015-09-12

北京市自然科學(xué)基金(8143037)

潘旦光(1974—)，男，研究員，博士生導(dǎo)師

潘旦光，pdg@ustb.edu.cn

TU311.3,U448.21

A

0367-6234(2016)12-0056-06