利用分形理論的3T1R混聯(lián)機構(gòu)型綜合

葛姝翌,曹毅,丁澤華,劉凱,丁銳

(1.江南大學機械工程學院,214122,江蘇無錫;2.上海交通大學系統(tǒng)控制與信息處理教育部重點實驗室,200240,上海;3.上海交通大學機械系統(tǒng)與振動國家重點實驗室,200240,上海;4.江南大學江蘇省食品先進制造裝備技術(shù)重點實驗室,214122,江蘇無錫)

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利用分形理論的3T1R混聯(lián)機構(gòu)型綜合

葛姝翌1,4,曹毅1,2,3,4,丁澤華1,4,劉凱1,4,丁銳1,4

(1.江南大學機械工程學院,214122,江蘇無錫;2.上海交通大學系統(tǒng)控制與信息處理教育部重點實驗室,200240,上海;3.上海交通大學機械系統(tǒng)與振動國家重點實驗室,200240,上海;4.江南大學江蘇省食品先進制造裝備技術(shù)重點實驗室,214122,江蘇無錫)

為綜合得到三移動一轉(zhuǎn)動(3T1R)混聯(lián)機構(gòu),利用分形理論和機構(gòu)拓撲圖,提出了一種全新有效的混聯(lián)機構(gòu)型綜合方法,主要思想是將混聯(lián)構(gòu)型轉(zhuǎn)化為連桿機構(gòu),機構(gòu)拓撲圖作為連桿機構(gòu)的主體,運動副作為桿件的組成元素。根據(jù)分形理論,對機構(gòu)拓撲圖進行有序分形,并通過輸出位移子集的排列組合和適配運動副,實現(xiàn)了混聯(lián)機構(gòu)構(gòu)型的多樣化。提出了可用于求解復雜機構(gòu)拓撲圖的多路徑輸出的路徑法則,并且規(guī)定了用于推導運動副位移子集的串并聯(lián)計算方法。根據(jù)機構(gòu)拓撲圖和分形方式,將混聯(lián)機構(gòu)按有、無橫向支鏈分為2種類型。建立了分形與混聯(lián)機構(gòu)的關(guān)系模型,在數(shù)理邏輯關(guān)系上使機構(gòu)設(shè)計與分形理論得到了統(tǒng)一。采用Matlab編程的形式綜合出了3T1R四自由度混聯(lián)機構(gòu),實現(xiàn)了其中一個混聯(lián)機構(gòu)的構(gòu)型設(shè)計,并驗證了構(gòu)型設(shè)計方法的正確性。

混聯(lián)機構(gòu);構(gòu)型綜合;分形理論;三移動一轉(zhuǎn)動

混聯(lián)機器人由于其兼具串聯(lián)機器人工作空間大、易于控制和并聯(lián)機器人結(jié)構(gòu)穩(wěn)定、剛性好、累積誤差小、動態(tài)性能好、精度高的優(yōu)點,并能避免單純串、并聯(lián)機器人所帶來的問題,從而得到了國內(nèi)外的廣泛關(guān)注,成為機構(gòu)學研究的一個重要方向。目前主要有4種機構(gòu)型綜合研究方法,即:基于螺旋理論的約束綜合法[1-3];基于李代數(shù)的型綜合方法[4-5];基于自由度的列舉綜合方法[6];運動綜合方法[7]。許多學者在混聯(lián)機構(gòu)的構(gòu)型理論方面做了大量有意義的工作[8-15],得到了許多新型混聯(lián)機構(gòu)。不難發(fā)現(xiàn),以上混聯(lián)機構(gòu)的型綜合主要關(guān)注于支鏈的設(shè)計方法,但支鏈的布局較為單一,比較適用于縱向多支鏈開環(huán)機構(gòu)。

然而,上述理論一般不適用于具有多路徑橫向非典型性的混聯(lián)機構(gòu)的構(gòu)型設(shè)計和型綜合。機構(gòu)拓撲創(chuàng)新是機械發(fā)明最具挑戰(zhàn)性和發(fā)明性的核心內(nèi)容,因此對于混聯(lián)機構(gòu),尤其是具有多路徑橫向非典型性的混聯(lián)機構(gòu)構(gòu)型設(shè)計和綜合方法的研究,不僅具有重要的理論意義,還具有廣泛的應用前景。

本文基于分形理論和機構(gòu)拓撲圖,提出了一種系統(tǒng)、簡潔的混聯(lián)機器人構(gòu)型綜合理論和設(shè)計方法,通過建立混聯(lián)機構(gòu)與分形的關(guān)系模型并歸納出混聯(lián)機構(gòu)構(gòu)型綜合的具體步驟,綜合出了具有三移動一轉(zhuǎn)動(3T1R)運動特征的混聯(lián)機構(gòu),最后通過實例驗證了其可行性。

1 分形理論和機構(gòu)拓撲圖

1.1 分形理論的基本概念

美國數(shù)學家Mandelbrot首次提出了分形幾何理論[16]。分形有2個定義:①如果一個集合在歐式空間中的豪斯多夫分形維數(shù)D嚴格大于其拓撲維數(shù)DT,則該集合為分形集,簡稱為分形;②組成部分以某種方式與整體相似的形體稱為分形。

分形理論定義中的2個變量D和DT的含義是:它們都對歐氏空間中的每一個集合R賦予一個實數(shù),且將此實數(shù)定義為該集合的維數(shù),其中DT是較為直觀的拓撲維數(shù)。2個維數(shù)無需相等,其中DT必須是整數(shù),它們需要滿足Szpilrajn不等式

D≥DT

(1)

將分形理論應用于機械領(lǐng)域,可發(fā)揮其簡單客觀分析事物的優(yōu)勢,不僅能夠直觀地表示機構(gòu)性能,同時也可以簡化工程問題,減少工作量。

1.2 機構(gòu)拓撲圖

機構(gòu)拓撲圖由靜平臺、動平臺和支鏈構(gòu)成。靜平臺即為機架,動平臺為機構(gòu)末端輸出平臺,支鏈由運動副組建而成。

機構(gòu)拓撲圖是混聯(lián)機構(gòu)的主體構(gòu)造,其中心思想是:①將混聯(lián)機構(gòu)簡化為連桿機構(gòu);②確定機構(gòu)的拓撲布局;③進行路徑與支鏈的結(jié)構(gòu)設(shè)計,從而實現(xiàn)混聯(lián)機構(gòu)的整體構(gòu)型設(shè)計。

為快速有效地生成不同的機構(gòu)拓撲圖,將分形理論引入到機構(gòu)拓撲圖中,衍生出鏈分形、平臺分形、鏈臺分形3種分形方式[17],如圖1所示。

Ⅰ:鏈分形;Ⅱ:平臺分形;Ⅲ:鏈臺分形圖1 機構(gòu)拓撲圖分形途徑

1.3 分形方式的具體分析

1.3.1 鏈分形的定義 如果通過1個或多個運動副連接2個平臺,則稱該運動副的組合為支鏈。鏈分形是對支鏈進行的分形(如圖1中Ⅰ所示),可以細分為縱向鏈分形和橫向鏈分形。

1.3.2 平臺分形的定義 平臺分形(如圖1中Ⅱ所示)是在已有支鏈的基礎(chǔ)上添加過渡平臺。需注意,拓撲機構(gòu)必須在已有支鏈的位置進行平臺分形。

1.3.3 鏈臺分形的定義 鏈臺分形(如圖1中Ⅲ所示)是指在任意平臺上同時分形出1個支鏈和1個輸出動平臺的分形方式,新生成的輸出動平臺不與機構(gòu)的輸出動平臺有任何聯(lián)動關(guān)系,即該拓撲機構(gòu)具有多輸出動平臺。

必須指出,鏈分形和平臺分形輸出的拓撲結(jié)構(gòu)是閉環(huán)輸出結(jié)構(gòu),即輸出平臺有且僅有1個,而鏈臺分形輸出的拓撲結(jié)構(gòu)是開環(huán)輸出結(jié)構(gòu),即輸出動平臺數(shù)量大于1,適合多點協(xié)同工作環(huán)境。本文主要考慮前者,因此,鏈臺分形未在文中進行詳細描述。

2 機構(gòu)的運動特征和運算法則的描述

從機構(gòu)拓撲圖轉(zhuǎn)化為混聯(lián)機構(gòu)構(gòu)型的過程是:第一步,由機構(gòu)拓撲圖分析得到拓撲路徑;第二步,由拓撲路徑分解得到機構(gòu)支鏈;最后,通過已知支鏈末端輸出特征適配運動副。

2.1 路徑及路徑法則

2.1.1 路徑的概念 由上述3個步驟可知,路徑是混聯(lián)機構(gòu)構(gòu)型設(shè)計的核心元件,故而路徑的設(shè)計及運算法則具有重要意義。

按照一定的排列方式,路徑由連接各個平臺的支鏈組合而成,其中路徑始于靜平臺,終于動平臺。每條路徑所含支鏈間的關(guān)系定義為串聯(lián)關(guān)系,各路徑之間定義為并聯(lián)關(guān)系。通過此番定義,即可將動平臺的輸出位移子集轉(zhuǎn)化為各個支鏈來進行交集和并集的計算

(2)

式中:Bij為第j條路徑中第i個支鏈末端的輸出位移子集;Rj為路徑的輸出位移子集;P為機構(gòu)末端動平臺的輸出位移子集;I為第j條路徑的支鏈總數(shù);J為路徑總數(shù);#為串聯(lián)運算符,&為并聯(lián)運算符,其具體運算將在第2.2.2小節(jié)中進一步描述。需要補充的是,當機構(gòu)拓撲圖中存在公用平臺或橫向支鏈時,同一支鏈可以作為不同路徑的組成元素。

2.1.2 路徑法則 在機構(gòu)動平臺末端輸出位移子集已知的情況下,基于機構(gòu)拓撲圖得到全部符合要求的路徑及其支鏈配置的過程稱為路徑法則。由于情況復雜,故細分為以下2種情況進行說明。

(1)一般機構(gòu)拓撲圖。如果機構(gòu)拓撲圖中存在公用平臺,則支鏈可以被重復利用從而組建不同的路徑,如圖2所示。

圖2 一般機構(gòu)拓撲圖

通用路徑總數(shù)的計算公式為

(3)

式中:n為公共平臺數(shù)量;ai1為在第i公共平臺中位于下位的支鏈的數(shù)量;ai2為在第i公共平臺中位于上位的支鏈的數(shù)量。

(2)存在橫向支鏈的機構(gòu)拓撲圖。對于圖3所示的機構(gòu)拓撲圖,不難發(fā)現(xiàn)各路徑中存在公用支鏈的狀況,其復雜程度遠遠高于第一種情況。

圖3 存在橫向支鏈的拓撲圖

由圖3可知,從靜平臺到動平臺共有4條路徑,分別是B1B2、B1B5B3、B3B4、B4B5B2,則路徑的數(shù)量為

J=(a11a12)+(a11a22)+(a12a21)+(a12a22)

(4)

圖3是存在橫向支鏈的機構(gòu)拓撲圖中最簡單的一種形式,即只存在一個橫向鏈分形,且機構(gòu)滿足設(shè)計要求。若進行多次橫向鏈分形,且每2個過渡平臺都能相互連接,將是橫向鏈分形最復雜的情況,同時也是運用路徑法則判斷的最復雜的情況。逐一分析每個機構(gòu)拓撲圖,形成表1,并可從表1中歸納出路徑數(shù)量。

由于機構(gòu)拓撲圖路徑情況復雜,因此添加2個變量用于推導路徑。

(1)點到點的路徑數(shù)量an,是指由某一過渡平臺出發(fā)到達另一過渡平臺所經(jīng)過的路徑的數(shù)量。由表1可以得出an的關(guān)系式

(5)

(2)累計增加路徑數(shù)量cn,是指與將機構(gòu)拓撲中的橫向支鏈去除后的機構(gòu)拓撲圖的路徑數(shù)量相對比所增加的路徑數(shù)量?？梢酝茖С?/p>

cn=n(n+1)an

(6)

通過分析可知,復雜機構(gòu)拓撲圖的路徑求解過程可以分為2部分:①求解去除橫向支鏈剩下的一般機構(gòu)拓撲圖的路徑數(shù)量;②求解與一般拓撲圖相對比所增加的路徑數(shù)量,即累計增加路徑數(shù)量cn。兩者相加即可得到帶橫向支鏈的機構(gòu)拓撲圖的路徑數(shù)量。

表1 橫向支鏈路徑法則歸納

2.2 支鏈及串并聯(lián)計算法則

2.2.1 支鏈與分形的關(guān)聯(lián) 平臺分形和支鏈間存在密不可分的關(guān)系,主要體現(xiàn)在:機構(gòu)拓撲圖的重要組成部分之一就是支鏈;鏈分形也是分形過程中的基礎(chǔ)分形方式之一。具體關(guān)系如圖4所示。

圖4 平臺分形與支鏈的關(guān)系

圖4中的鏈分形情況較復雜,由橫向鏈分形和縱向鏈分形構(gòu)成。支鏈及路徑與鏈分形的關(guān)系如圖5所示。

圖5 鏈分形與支鏈的關(guān)系

2.2.2 串并聯(lián)計算法則 從構(gòu)型的角度,機構(gòu)由路徑并聯(lián)而成,路徑由支鏈串聯(lián)而成;從數(shù)理邏輯的角度,各路徑輸出位移子集求交集生成機構(gòu)末端輸出位移子集,各支鏈的輸出位移子集求并集生成對應支鏈的輸出位移子集。為定義串并聯(lián)計算法則,引入2個新的運算符號——串聯(lián)運算符號#和并聯(lián)運算符號&,并給出運算規(guī)則式(7)。由于運動副方位關(guān)系中存在非正則關(guān)系,故在計算中不引入方位關(guān)系。

(7)

式中:A、B為輸出位移子集;∪為求并運算符;∩為求交運算符。

2.3 運動副的表達

運動副是組成支鏈的基本元素,因此運動副的描述對于混聯(lián)機構(gòu)設(shè)計具有重要意義。本文提出8位二進制碼的表達方式,不僅可使運動副的表達方式簡單明了,并且能清楚地描述運動副的種類及其與基坐標軸的位置關(guān)系、相鄰運動副軸線的方位關(guān)系以及平臺和支鏈間的連接關(guān)系。同時,由于采用二進制代碼的表達方式,所以后續(xù)可以進行數(shù)字化設(shè)計。

2.3.1 運動副的表達形式 依據(jù)運動副的類別和位置關(guān)系,單一運動副選用8位有效二進制代碼中的5位進行表達,具體如表2所示。

表2 單一運動副的二進制表示方法

單一運動副劃分為6種情況,如圖6所示。

圖6 運動副的描述

表2可劃分為前、后2部分,表征不同的含義。

(1)P0.4和P0.3為運動副類別位,若P0.3=1,表示運動副為移動副,若P0.4=1,則表示運動副為轉(zhuǎn)動副,但二者不能同時為1。

(2)P0.2、P0.1和P0.0分別為運動副軸線的方向位,方向位的矢量方向與基坐標軸方向一致。例如,若P0.0=1,則表示運動副的軸線與基坐標的z軸平行。P0.1、P0.2可依此類推,且方向位最多只能有1位為1。

2.3.2 相鄰運動副間軸線的方位關(guān)系 單一運動副中的方向位只能表示相鄰運動副間軸線的部分方位關(guān)系。為全面表征各運動副之間的方位關(guān)系,本文補充3位二進制碼以進一步描述相鄰運動副間的方位關(guān)系,見表3。

表3 運動副方位關(guān)系的表達方法

因此,代表單一運動副的5位二進制代碼和代表相鄰運動副方位關(guān)系的3位二進制代碼,合成了運動副8位二進制代碼的表達方式。需要指出的是,大多數(shù)方位關(guān)系均具有傳遞性,例如平行、同軸等。具有傳遞性的方位關(guān)系為正則方位關(guān)系,其余為非正則方位關(guān)系[18]。

3 3T1R混聯(lián)機構(gòu)的構(gòu)型綜合

3.1 混聯(lián)機構(gòu)構(gòu)型綜合依據(jù)

基于機構(gòu)的拓撲結(jié)構(gòu)來適配運動副并判定適配運動副的布局是否符合設(shè)計要求的過程,稱為混聯(lián)機構(gòu)的構(gòu)型設(shè)計。根據(jù)機構(gòu)拓撲圖和分形類別,混聯(lián)機構(gòu)可劃分成2類:第一類混聯(lián)機構(gòu)的機構(gòu)拓撲圖中存在橫向支鏈,如圖7所示;第二類混聯(lián)機構(gòu)的機構(gòu)拓撲圖無橫向支鏈,如圖8所示。

圖7 第一類混聯(lián)機構(gòu) 圖8 第二類混聯(lián)機構(gòu)

從集合的角度來分析,混聯(lián)機構(gòu)是通過路徑按照一定的準則并聯(lián)而成的,路徑的組成元素是支鏈;支鏈是由運動副通過自由度分配合成的,其組成關(guān)系依據(jù)式(2),運算法則依據(jù)式(7)。

式(2)表明:混聯(lián)機構(gòu)的構(gòu)型綜合是對于選定的拓撲機構(gòu)依據(jù)串并聯(lián)計算法則,首先確定路徑,其次確定支鏈,最后選取運動副,并判定其正確性的過程。

由上述分析可知,混聯(lián)機構(gòu)以機構(gòu)拓撲圖為基礎(chǔ),而機構(gòu)拓撲圖的構(gòu)造以分形理論為核心。當機構(gòu)拓撲圖確定之后,路徑、支鏈亦隨之確定,再根據(jù)機構(gòu)輸出位移子集確定運動副的自由度分配。根據(jù)上述關(guān)聯(lián)內(nèi)容,建立如下分形與混聯(lián)機構(gòu)的關(guān)系模型

(8)

式中:Fdof為機構(gòu)自由度數(shù);Bi為第i個支鏈上的驅(qū)動運動副數(shù)(i=1,2,…,aa);N為分形次數(shù);ap為被動支鏈數(shù);aa為主動支鏈數(shù);L為鏈分形次數(shù);P為平臺分形次數(shù);Pmin為最短支鏈的平臺分形次數(shù)。

基于分形理論的混聯(lián)機構(gòu)構(gòu)型方法的特點是:

(1)以最短路徑為中心對機構(gòu)拓撲圖進行展開,其他路徑是最短路徑輸出位移子集的父集,因此不存在瞬時性;

(2)由于機構(gòu)拓撲圖是混聯(lián)機構(gòu)構(gòu)型設(shè)計的基礎(chǔ),而拓撲圖可以通過分形理論實現(xiàn)其多樣性,因此該構(gòu)型設(shè)計方法可以實現(xiàn)混聯(lián)機構(gòu)設(shè)計的多樣化;

(3)可實現(xiàn)支鏈的替代化設(shè)計,通過單元代換原理,將滿足條件的機構(gòu)代入到支鏈中,完成支鏈所要求的期望動作,但需注意所代入的機構(gòu)中包含的支鏈數(shù)小于所設(shè)計的混聯(lián)機構(gòu)的支鏈數(shù)。

3.2 混聯(lián)機構(gòu)構(gòu)型綜合步驟

根據(jù)上述設(shè)計方法,得到如下混聯(lián)機構(gòu)構(gòu)型綜合步驟:

(1)根據(jù)給定的機構(gòu)末端輸出位移子集,確定最簡拓撲圖的鏈分形、平臺分形的次數(shù),并繪制機構(gòu)拓撲圖;

(2)運用路徑法則分析該機構(gòu)拓撲圖的輸出位移子集計算公式和路徑數(shù)量,并確定最短路徑所在的位置;

(3)根據(jù)步驟(2)中的計算公式,并參考各支鏈的串并聯(lián)關(guān)系,采用Matlab編程或者列舉的方式獲得滿足條件的路徑自由度和支鏈的輸出位移子集,完成適配運動副的過程;

(4)通過式(7)計算上述支鏈、路徑的輸出位移子集,得出機構(gòu)末端的輸出位移子集,并與預計輸出位移子集進行對比,如果一致,則證明該設(shè)計方法可行;

(5)獲得混聯(lián)機構(gòu)構(gòu)型,繪制三維圖像。

為了更加清晰直觀地表現(xiàn)具體的構(gòu)型綜合設(shè)計步驟,繪制了流程圖,見圖9。

圖9 混聯(lián)機構(gòu)構(gòu)型綜合流程圖

3.3 3T1R混聯(lián)機構(gòu)的構(gòu)型綜合

由于分形可以得到大量機構(gòu)拓撲圖,因此本文的構(gòu)型綜合針對的是以已選定的拓撲機構(gòu)圖為基礎(chǔ)的混聯(lián)機構(gòu)的構(gòu)型綜合,如圖10所示。

圖10 選定機構(gòu)拓撲圖

基于3.1和3.2節(jié)中的綜合方法和步驟,對3T1R混聯(lián)機構(gòu)進行構(gòu)型綜合。通過路徑法則式(2)的分析,可知路徑共有4條

{B1B2,B1B3,B3B4,B2B4}

(9)

取B1B2為最短路徑,定義B1支鏈的輸出位移子集為T(U)T(V)T(W),B2支鏈的輸出位移子集為R(U)。對其他路徑的自由度進行分析,可知除最短路徑以外的路徑的特征集合為具有3T1R特征或者3T1R父集特征的集合

{3T1R,3T2R,3T3R}

(10)

對式(10)進行排列組合,并挑選符合構(gòu)型條件的組合,可得到除最短路徑之外所有路徑的組成形式。由于路徑可以共用同一支鏈且支鏈B1B2的各自輸出已知,因此只需研究支鏈B3B4的輸出即可。

一般選取最短路徑上的支鏈作為安裝驅(qū)動的位置,即B1B2為主動支鏈,剩余支鏈為被動支鏈。為簡化表達,令路徑B1B2為E、B1B3為F、B3B4為G、B2B4為H,要求各支鏈滿足

(11)

依據(jù)式(11)求解支鏈B3、B4的輸出位移子集工作量較大,故采取Matlab編程的方法獲得較全面的結(jié)果。設(shè)計的程序如下:

1.clc;

2.clear all;

3.B1=[TxTyTz];

4.B2=[Rx];

5.A2=setdiff(E,B1);

6.A4=setdiff(F,B2);

7.a=length(Bi);

8.fori=0:a

9.S=nchoosek(B1,i);

10. [m1,n1]=size(S);

11. forj=1:m1

12.A1=S(j,:);

13.B3=union(A1,A2)

14.b=length(B2);

15. fork=0:b

16.S1=nchoosek(B2,k);

17. [m2,n2]=size(S1);

18. forl=1:m2

19.A5=S1(l,:);

20.B4=union(A5,A4)

21. end

22. end

23. end

24. end

從運算結(jié)果中隨機選取一組數(shù)據(jù),即可得到所有支鏈的輸出位移子集,再按照圖11的機構(gòu)拓撲簡圖構(gòu)造出輸出為3T1R的混聯(lián)機構(gòu)構(gòu)型。

值得注意的是,雖然上述構(gòu)型綜合方法針對的是圖10中的機構(gòu)拓撲圖,但是本文提出的混聯(lián)機構(gòu)構(gòu)型綜合方法同樣適用于其他自由度的混聯(lián)機構(gòu)構(gòu)型綜合。

4 機構(gòu)構(gòu)型驗證及分析

4.1 混聯(lián)機構(gòu)末端運動輸出分析方法

為驗證上述綜合出的3T1R四自由度混聯(lián)機構(gòu)的正確性,在此提出一種混聯(lián)機構(gòu)末端運動輸出分析方法,其基本步驟是:

(1)分析混聯(lián)機構(gòu)的構(gòu)型,將其抽象為機構(gòu)拓撲圖和支鏈的疊加體;

(2)將支鏈拆分為運動副,并基于2.3節(jié)中的內(nèi)容,將運動副轉(zhuǎn)換為二進制代碼的表現(xiàn)形式;

(3)運用式(7)對支鏈中的運動副以串聯(lián)運算方式推導出各支鏈的輸出位移子集;

(4)運用路徑法則分析步驟(2)中所得的機構(gòu)拓撲圖,得到各路徑分支,并在此基礎(chǔ)上通過數(shù)理邏輯關(guān)系得到各路徑的輸出位移子集;

(5)通過路徑的并聯(lián)運算方式得到混聯(lián)機構(gòu)動平臺的輸出位移子集,即整個混聯(lián)機構(gòu)的末端運動特征。

4.2 機構(gòu)自由度分析

從式(11)所得的結(jié)果中選取一組數(shù)據(jù)做進一步設(shè)計,從而得到該混聯(lián)機構(gòu)各支鏈的輸出位移子集,如表4所示。

表4 支鏈的輸出位移子集

根據(jù)選擇的機構(gòu)拓撲圖和適配的運動副繪制混聯(lián)機構(gòu),如圖11所示。

圖11 輸出3T1R的混聯(lián)機構(gòu)

為確保圖11所示混聯(lián)機構(gòu)輸出結(jié)果的正確性,需進行驗證,即核算各支鏈的輸出位移子集,并求取機構(gòu)末端輸出位移子集與預期結(jié)果進行對比。計算過程如下

B1=B4=T(U)T(Y)T(W)=

(12)

(13)

由式(7)和式(12)、式(13),可推導出各路徑的輸出位移子集

B1#B2=B1#B3=B4#B2=B4#B3=

R(V)T(U)T(W)#R(U)=

(14)

由式(14)可得機構(gòu)末端動平臺的輸出位移子集

P=(B1#B2)&(B1#B3)&(B2#B4)&

R(U)T(U)T(V)T(W)

綜上所述,動平臺的輸出位移子集與B1B2路徑的輸出位移子集相同,并與已知輸出相同,表明設(shè)計所得機構(gòu)的輸出結(jié)果正確,從而驗證了上述混聯(lián)機構(gòu)構(gòu)型設(shè)計方法的正確性。

5 結(jié) 論

為綜合得到3T1R混聯(lián)機構(gòu),基于分形理論和機構(gòu)拓撲圖,提出了一種混聯(lián)機構(gòu)構(gòu)型綜合方法,主要思想是:將混聯(lián)構(gòu)型轉(zhuǎn)化為連桿機構(gòu),將機構(gòu)拓撲圖作為連桿機構(gòu)的主體,并將運動副作為桿件的組成元素。

(1)根據(jù)分形理論對機構(gòu)拓撲圖進行有序分形,并通過輸出位移子集的排列組合和適配運動副,從而實現(xiàn)了混聯(lián)機構(gòu)構(gòu)型的多樣化。

(2)提出了可用于求解復雜機構(gòu)拓撲圖的多路徑輸出的路徑法則,并給出了用于推導運動副位移子集的串并聯(lián)計算方法。

(3)根據(jù)機構(gòu)拓撲圖和分形方式,將混聯(lián)機構(gòu)分為2類。建立分形與混聯(lián)機構(gòu)的關(guān)系模型,在數(shù)理邏輯關(guān)系上使機構(gòu)設(shè)計與分形理論得到了統(tǒng)一。

(4)采用Matlab編程的形式綜合出了3T1R四自由度混聯(lián)機構(gòu),實現(xiàn)了其中一種混聯(lián)機構(gòu)的構(gòu)型設(shè)計,并驗證了構(gòu)型設(shè)計方法的正確性。

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(編輯 葛趙青)

Type Synthesis of 3T1R Hybrid Mechanisms Based on Fractal Theory

GE Shuyi1,4,CAO Yi1,2,3,4,DING Zehua1,4,LIU Kai1,4,DING Rui1,4

(1. School of Mechanical Engineering, Jiangnan University, Wuxi, Jiangsu 214122, China; 2. Key Laboratory of System Control and Information Processing, Shanghai Jiaotong University, Shanghai 200240, China; 3. State Key Laboratory of Mechanical System and Vibration, Shanghai Jiaotong University, Shanghai 200240, China; 4. Jiangsu Key Laboratory of Advanced Food Manufacturing Equipment and Technology, Jiangnan University, Wuxi, Jiangsu 214122, China)

To obtain the type synthesis of three-translational and one-rotational (3T1R) hybrid mechanisms, an efficient synthesis methodology is proposed based on fractal theory and topological graph. The major concept of this method is to transform the hybrid mechanism into linkage mechanism, whose main frame is determined by topological graph and whose links are composed of the assignment of kinematic pairs. Fractal theory is applied to the topological graph, and the permutation and combination of output displacement set and selecting suitable kinematic pairs are conducted to achieve the configuration diversity of hybrid mechanisms. The route rule for dealing with the topological graph is proposed, and the calculation rule of union-intersection-preserving for deriving the kinematic pair’s output is presented. According to fractal theory and topological graph, the hybrid mechanism is classified into two types. Thereafter, a relationship model of hybrid mechanism and fractal theory is established, so the mechanical design and fractal theory are unified in mathematics and logic. Matlab is utilized in type synthesis of 3T1R hybrid mechanism, and one of the configurations is achieved, demonstrating the validity of the proposed methodology.

hybrid mechanism; type synthesis; fractal theory; 3T1R

2016-03-25。 作者簡介:葛姝翌(1992—),女,碩士生;曹毅(通信作者),男,副教授。 基金項目:國家自然科學基金資助項目(50905075,51505190);江蘇省“六大人才高峰”行動計劃資助項目(ZBZZ-012);系統(tǒng)控制與信息處理教育部重點實驗室開放課題資助項目(scip201506);機械系統(tǒng)與振動國家重點實驗室開放課題資助項目(MSV201407)。

時間:2016-09-23

10.7652/xjtuxb201611012

TH112

A

0253-987X(2016)11-0075-08

網(wǎng)絡(luò)出版地址:http:∥www.cnki.net/kcms/detail/61.1069.T.20160923.1549.004.html