一道排列組合試題的釋疑與啟示

福建省龍海第一中學(xué)新校區(qū)(363100) 蘇藝偉

一道排列組合試題的釋疑與啟示

福建省龍海第一中學(xué)新校區(qū)(363100) 蘇藝偉

試題從6雙不同顏色的手套中任取4只,其中恰好有一雙同色的取法有幾種?

解法1假設(shè)6雙不同顏色的手套分別為A1A2,B1B2,C1C2,D1D2,E1E2,F1F2.依題意有取出的4只手套中2只同色,2只不同色.

解法2假設(shè)6雙不同顏色的手套分別為A1A2,B1B2,C1C2,D1D2,E1E2,F1F2.依題意有取出的4只手套中2只同色,2只不同色.

第三步:由于2只要不同色,故與上述顏色相同的手套不能再取,即從剩下的8只手套中任取一只,有種.

比較上述兩種解法,相同點(diǎn)在于第一步,從6雙中選取1雙,都是種.不同點(diǎn)在于對(duì)另2只不同色的選取方法上,解法1有種,解法2有種.這兩種解法似乎都是對(duì)的,難辨是非.可是兩者答案不一致,第二種是錯(cuò)誤的.那到底錯(cuò)誤的原因在哪里呢?筆者認(rèn)為,要弄清楚本道試題,就要解決以下兩個(gè)疑問(wèn):

疑問(wèn)1解法2是否可以保證取出的另外2只不同色?

疑問(wèn)2解法2為什么會(huì)導(dǎo)致重復(fù)計(jì)算?

帶著以上疑問(wèn),筆者進(jìn)行如下思考.

1.將問(wèn)題簡(jiǎn)單化

題目中涉及到6雙不同顏色的手套,且從中取出4只,似乎過(guò)于復(fù)雜,我們不妨將問(wèn)題簡(jiǎn)單化,這樣方便說(shuō)明問(wèn)題.

改題從2雙不同顏色的手套中任取2只,這2只不同色的取法有幾種?

分析假設(shè)這2雙不同顏色的手套分別為A1A2,B1B2.按照解法1的思路,有按照解法2的思路有那么這兩個(gè)答案哪個(gè)是對(duì)的呢?

下面,我們用列舉法的思路來(lái)考慮問(wèn)題.

共8種情況.由此可見(jiàn),這兩種解法的區(qū)別在于第一種不用考慮順序,第二種要考慮順序.那么哪一種才符合題意呢?由于題目要求從2雙不同顏色的手套中任取2只,這2只不同色.根據(jù)實(shí)際意義可知,取出的這2只只要不同色即可,并不需要考慮順序.也就是說(shuō)(A1,B1)和(B1,A1)只能算一種,(A1,B2)和(B2,A1)只能算一種,(A2,B1)和(B1,A2)只能算一種,(A2,B2)和(B2,A2)只能算一種.

綜合以上分析,對(duì)于改題,兩種解題思路都可以保證取出的這2只不同色,但是解法1沒(méi)有順序之分,而解法2有順序之分,故解法1的答案是正確的.

2.回歸原題

原題中的解法第一步都相同,比如都選出A1A2.解法1對(duì)另2只不同色的選取,是先從剩下的五雙中取出兩雙,如選出B1B2,C1C2,再?gòu)倪@兩雙中各取1只,如選出B1,C2.這樣當(dāng)然可以保證取出的2只不同色.解法2對(duì)另2只不同色的選取,是從剩下的10只手套中任取一只,如選出B1,再?gòu)呐cB1不同色的8只手套中任取一只,如C2,這樣的取法同樣可以保證2只不同色.因此兩種取法都可以保證另2只不同色,故問(wèn)題的本質(zhì)不在于能否保證取到的另2只不同色.

對(duì)于本題,另2只不同色的選取,是不需要考慮順序的,這是解決本題的關(guān)鍵之所在.解法1先從剩下的五雙中取出兩雙,再?gòu)倪@兩雙中各取1只,這樣的取法不僅保證了另2只不同色,而且沒(méi)有順序之分,所以得到的結(jié)果是正確的.解法2從剩下的10只手套中任取一只,再?gòu)呐c上述手套不同色的8只手套中任取一只,盡管可以保證取出的另2只不同色,但是會(huì)導(dǎo)致重復(fù)計(jì)算.比如第一次選B1,第二次選C2;也可能第一次選C2,第二次選B1.這就是為什么解法2的答案是解法1的兩倍的原因了.

綜合以上分析,對(duì)于原題,兩種解題思路都可以保證取出的另2只不同色,但是解法1沒(méi)有順序之分,而解法2有順序之分,故解法1的答案是正確的.由此可見(jiàn),兩種解法的本質(zhì)區(qū)別在于是否考慮順序.

3.變換思維,正難則反

對(duì)于原題,既然容易產(chǎn)生多解,那我們不妨換另外一個(gè)角度來(lái)分析,正難則反.第一步同樣是從6雙中選取1雙,有C16種.第二步,對(duì)于另外2只不同色的選取,可以從剩下的10只中選2只,再扣去選出的這2只是同色的情況,共有?5種.因此,總共有種.

4.教學(xué)啟示

在排列組合的試題中,經(jīng)常會(huì)由于各種各樣的原因?qū)е洛e(cuò)誤的結(jié)果比實(shí)際多出很多(不一定是倍數(shù)).這就需要我們不僅要弄清楚排列和組合的區(qū)別與聯(lián)系,更要根據(jù)實(shí)際意義作出判斷與分析.請(qǐng)看以下例題.

例1 4個(gè)不同的字母分成兩組,每組兩個(gè),有幾種不同的方法?

分析假設(shè)4個(gè)不同的字母分別為a,b,c,d.要將它們分成兩組,可以有以下情況:

a b c d a c b d b c a d

共有3種.

錯(cuò)解中,實(shí)際上是以下情況:

a b c d a c b d b c a d c d a b b d a c a d b c

共有6種.也就是說(shuō),a b一組,c d一組和c d一組,a b一組是同樣的情況,不能重復(fù)計(jì)算.因此本題的正確解法是

例2某校安排5個(gè)班到4個(gè)社區(qū)進(jìn)行社會(huì)實(shí)踐,每個(gè)班去一個(gè)社區(qū),每個(gè)社區(qū)至少要安排一個(gè)班.則不同的方法有幾種?

分析為了弄清楚上述解法錯(cuò)誤的原因,先將題目簡(jiǎn)單化.

改題某校安排3個(gè)班到2個(gè)社區(qū)進(jìn)行社會(huì)實(shí)踐,每個(gè)班去一個(gè)社區(qū),每個(gè)社區(qū)至少要安排一個(gè)班.則不同的方法有幾種?

假設(shè)這3個(gè)班級(jí)分別為a,b,c這兩個(gè)社區(qū)分別為甲,乙.按照上述思路,從3個(gè)班級(jí)選出兩個(gè),有三種情況:ab,bc,ac.

對(duì)于ab這一類,將他們分配到甲,乙兩個(gè)社區(qū),再將c安排進(jìn)去,有如下情況:(a,bc),(ac,b),(bc,a),(b,ac).

對(duì)于bc這一類,將他們分配到甲,乙兩個(gè)社區(qū),再將a安排進(jìn)去,有如下情況:(b,ac),(ab,c),(ac,b),(c,ba).

對(duì)于ac這一類,將他們分配到甲,乙兩個(gè)社區(qū),再將b安排進(jìn)去,有如下情況:(a,bc),(ab,c),(bc,a),(c,ba).

可以發(fā)現(xiàn),按照上述分析,出現(xiàn)了重復(fù),將重復(fù)的扣去,共有6種.因此不難理解原題的解法是錯(cuò)誤的,會(huì)導(dǎo)致重復(fù)計(jì)算.故原題正確的解法是種.

例3(13年重慶高考理科第13題)從3名骨科,4名腦外科和5名內(nèi)科醫(yī)生中選派5人組成一個(gè)抗震救災(zāi)醫(yī)療小組,則骨科,腦外科和內(nèi)科醫(yī)生都至少有1人的選派方法種數(shù)是____.

分析不妨設(shè)3名骨科醫(yī)生分別為a,b,c,4名腦外科醫(yī)生分別為d,e,f,g,5名內(nèi)科醫(yī)生分別為h,i,j,k,l.按照上述解法,

第一步:從3名骨科醫(yī)生中選出1名,如選a;

第二步:從4名腦外科醫(yī)生中選出1名,如選d;

第三步:從5名內(nèi)科醫(yī)生選出1名,如選h;

第四步:從剩下的9名中再選出2名,如選b,c.

此時(shí),選出的5名為a,d,h,b,c.

實(shí)際上,按照上述解法,還可以這么選取:

第一步:從3名骨科醫(yī)生中選出1名,如選b;

第二步:從4名腦外科醫(yī)生中選出1名,如選d;

第三步:從5名內(nèi)科醫(yī)生選出1名,如選h;

第四步:從剩下的9個(gè)中再選出2名,如選a,c.

此時(shí),選出的5名同樣為a,d,h,b,c.

因此,按照上述解法,得到的答案比正確答案要多.正確的解法應(yīng)該是:

故共有590種.

通過(guò)上述題目可以發(fā)現(xiàn),求解排列組合試題,沒(méi)有一成不變的結(jié)論,沒(méi)有一勞永逸的公式,而要根據(jù)題目的條件靈活求解,考慮方方面面的因素最終得到正確答案.因此在學(xué)習(xí)過(guò)程中我們要摒棄那些僵硬的解題思路,學(xué)會(huì)變通,這才是求學(xué)的正確之道.