基于高斯混合PHD濾波的多目標(biāo)狀態(tài)提取方法

劉 益 王 平 高穎慧

(國(guó)防科學(xué)技術(shù)大學(xué)電子科學(xué)與工程學(xué)院 湖南 長(zhǎng)沙 410073)

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基于高斯混合PHD濾波的多目標(biāo)狀態(tài)提取方法

劉 益 王 平 高穎慧

(國(guó)防科學(xué)技術(shù)大學(xué)電子科學(xué)與工程學(xué)院 湖南 長(zhǎng)沙 410073)

高斯混合概率假設(shè)密度濾波(GM-PHD)方法可有效解決線性高斯模型下的多目標(biāo)跟蹤問(wèn)題，在估計(jì)目標(biāo)個(gè)數(shù)的同時(shí)提取多目標(biāo)狀態(tài)。但當(dāng)雜波濃度過(guò)高、目標(biāo)過(guò)于密集時(shí)，GM-PHD的狀態(tài)提取精度有所下降。針對(duì)GM-PHD濾波算法在復(fù)雜環(huán)境下性能下降的問(wèn)題，提出一種改進(jìn)的GM-PHD濾波多目標(biāo)狀態(tài)提取方法，通過(guò)修正高斯分量更新權(quán)值，強(qiáng)化合并規(guī)則，降低密集目標(biāo)和雜波造成的干擾。仿真實(shí)驗(yàn)表明該方法能在不同雜波環(huán)境下提高多目標(biāo)狀態(tài)估計(jì)的準(zhǔn)確度。

概率假設(shè)密度 高斯混合 多目標(biāo)跟蹤 狀態(tài)提取

0 引 言

多目標(biāo)跟蹤旨在分析量測(cè)以獲取個(gè)數(shù)時(shí)變的目標(biāo)位置和速度等狀態(tài)信息，量測(cè)包含真實(shí)目標(biāo)量測(cè)和由于雜波、噪聲引起的虛警量測(cè)。由于無(wú)法預(yù)先獲知目標(biāo)個(gè)數(shù)，傳統(tǒng)的基于數(shù)據(jù)關(guān)聯(lián)的多目標(biāo)跟蹤方法在跟蹤多目標(biāo)時(shí)適應(yīng)性不強(qiáng)[1-4]。Mahler基于嚴(yán)格的隨機(jī)有限集數(shù)學(xué)理論[5]，提出概率假設(shè)密度[6](PHD)濾波方法，通過(guò)遞推多目標(biāo)PHD，估計(jì)目標(biāo)個(gè)數(shù)和位置，避免了數(shù)據(jù)關(guān)聯(lián)問(wèn)題。但PHD方法中存在高維積分，難以得到解析解。高斯混合概率假設(shè)密度濾波(GM-PHD)可對(duì)PHD濾波具體實(shí)現(xiàn)[7]。多目標(biāo)PHD由一組高斯序列和，即所謂混合高斯近似表示。通過(guò)預(yù)測(cè)、更新步驟遞推高斯混合函數(shù)中每一高斯分量的權(quán)值、均值和協(xié)方差，間接遞推多目標(biāo)的后驗(yàn)PHD。根據(jù)高斯分量信息估計(jì)多目標(biāo)狀態(tài)，當(dāng)目標(biāo)過(guò)于密集，噪聲、雜波等干擾較嚴(yán)重時(shí)，估計(jì)精度會(huì)降低。為解決此問(wèn)題，提出一種改進(jìn)的基于高斯混合概率假設(shè)密度濾波的多目標(biāo)狀態(tài)提取方法，以滿足較為復(fù)雜場(chǎng)景下的多目標(biāo)狀態(tài)提取要求。

1 高斯混合概率假設(shè)密度濾波

1.1 隨機(jī)有限集與PHD濾波

隨機(jī)集即為一個(gè)隨機(jī)變量的集合，是指取值為集合的隨機(jī)元，是概率論中隨機(jī)向量的推廣。當(dāng)隨機(jī)集的取值是有限值時(shí)就成為隨機(jī)有限集(RFS)。多目標(biāo)跟蹤系統(tǒng)中，目標(biāo)個(gè)數(shù)是一隨時(shí)間變化的離散隨機(jī)變量，因而將多目標(biāo)集表示為隨機(jī)有限集時(shí)，集合中隨機(jī)變量的個(gè)數(shù)本身就是一個(gè)隨機(jī)變量，導(dǎo)致多目標(biāo)的狀態(tài)空間和量測(cè)空間的維數(shù)也會(huì)隨著時(shí)間變化。多目標(biāo)的狀態(tài)空間和量測(cè)空間分別以Es、Eo表示，則k時(shí)刻多目標(biāo)狀態(tài)集Xk和量測(cè)集Zk為：

Xk={xk,1,…,xk,Mk}?Es

Zk={zk,1,…,zk,Nk}?Eo

(1)

其中Mk、Nk分別表示k時(shí)刻的目標(biāo)個(gè)數(shù)和量測(cè)個(gè)數(shù)，其中量測(cè)來(lái)自于真實(shí)目標(biāo)和虛警。

以隨機(jī)有限集Ξk和Σk分別對(duì)多目標(biāo)的狀態(tài)和量測(cè)建模。假設(shè)Xk-1是RFSΞk-1在k-1時(shí)刻的具體實(shí)現(xiàn)，則k時(shí)刻多目標(biāo)的狀態(tài)以隨機(jī)集表示為：

Ξk=Sk(Xk-1)∪Bk(Xk-1)∪Γk

(2)

其中，Sk(Xk-1)表示k時(shí)刻繼續(xù)存活目標(biāo)的RFS，Bk(Xk-1)代表由k-1時(shí)刻的目標(biāo)狀態(tài)Xk-1衍生出的目標(biāo)的RFS，Γk代表在k時(shí)刻自然產(chǎn)生的目標(biāo)的RFS。多目標(biāo)的量測(cè)以隨機(jī)有限集可表示為：

Σk=Ek(Xk)∪Ck(Xk)

(3)

其中Ek(Xk)表示產(chǎn)生于Xk的觀測(cè)值的RFS，Ck(Xk)代表雜波或誤警生成的RFS。

根據(jù)多目標(biāo)Bayes濾波理論，可得：

(4)

其中，pk|k-1(Xk|Z1:k-1)和pk|k(Xk|Z1:k)分別表示多目標(biāo)聯(lián)合先驗(yàn)概率密度函數(shù)和后驗(yàn)概率密度函數(shù)。

隨機(jī)有限集的PHD D(x)與隨機(jī)變量的期望類似，即PHD D(xk|Z1:k)即為多目標(biāo)后驗(yàn)概率密度pk|k(Xk|Z1:k)的一階矩。在多目標(biāo)跟蹤系統(tǒng)中，∫sD(x)dx是出現(xiàn)在S內(nèi)的期望的目標(biāo)數(shù)，而D(x)的極值給出目標(biāo)的狀態(tài)估計(jì)。以PHD代替后驗(yàn)概率密度以貝葉斯濾波方式遞推，便得到PHD的預(yù)測(cè)和更新方程如式(5)、式(6)所示[6]:

Dk|k-1(x)=∫pS,k(ζ)fk|k-1(x|ζ)Dk-1(ζ)dζ+∫βk|k-1(x|ζ)Dk-1(ζ)dζ+γk(x)=∫φk|k-1(x,ζ)Dk-1(ζ)μsdζ+γk(x)

(5)

(6)

其中γk(x)表示隨機(jī)集Γk的PHD，βk|k-1(x|ζ)表示由k-1時(shí)刻狀態(tài)為ζ的目標(biāo)衍生的隨機(jī)集βk|k-1(ζ)的PHD；pS,k(ζ)表示k-1時(shí)刻狀態(tài)為ζ的目標(biāo)在k時(shí)刻仍然存活的概率；fk|k-1(x|ζ)表示單個(gè)目標(biāo)的轉(zhuǎn)移概率密度,κk(z)=λkck(z)，λk表示Poisson雜波的平均數(shù)，ck表示雜波概率密度；pD表示檢測(cè)概率，gk(z|ξ)表示單個(gè)目標(biāo)的似然函數(shù)。

PHD濾波仍然包含多重高維積分，得不到閉合形式的解析解。高斯混合PHD濾波是PHD濾波的一種簡(jiǎn)單近似，解決了難以具體實(shí)現(xiàn)的問(wèn)題。

1.2 GM-PHD濾波

(7)

其中Jk-1表示k-1時(shí)刻高斯分量的個(gè)數(shù)。N代表正態(tài)分布。假設(shè)目標(biāo)的運(yùn)動(dòng)觀測(cè)均為線性模型。其轉(zhuǎn)移概率密度與觀測(cè)似然函數(shù)為

fk|k-1(x|ξ)=N(x;Fk-1ξ,Qk-1)gk(z|x)=N(z;Hkx,Rk)

(8)

其中Fk-1、Hk分別為線性狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣和線性觀測(cè)矩陣，Qk-1、Rk為過(guò)程噪聲和量測(cè)噪聲協(xié)方差。

將高斯混合形式的PHDDk(x)代入PHD預(yù)測(cè)、更新方程，可得到高斯混合形式的PHD遞推形式。k時(shí)刻的預(yù)測(cè)、更新PHD以高斯混合可分別表示為：

(9)

(10)

其中：

(11)

2 改進(jìn)的高斯混合PHD濾波

2.1 權(quán)值修正

(12)

代入式(11)，則第m個(gè)高斯分量由第n個(gè)量測(cè)zn更新后的權(quán)值為:

(13)

(14)

對(duì)于量測(cè)zn會(huì)出現(xiàn)以下兩種情形:

(15)

第一種情形對(duì)應(yīng)第n個(gè)量測(cè)zn由某一真實(shí)目標(biāo)生成的情況。當(dāng)觀測(cè)空間沒(méi)有虛警雜波量測(cè)時(shí)等號(hào)成立。第二種情形對(duì)應(yīng)第n個(gè)量測(cè)zn為虛警雜波的情況，根據(jù)其與各個(gè)高斯分量均值的似然關(guān)系，其對(duì)應(yīng)更新權(quán)值極小，表明該量測(cè)與當(dāng)前預(yù)測(cè)高斯分量相關(guān)性極低。

以上兩種情形體現(xiàn)在更新矩陣W中即為第n列的權(quán)值和不大于1。其現(xiàn)實(shí)意義是一個(gè)量測(cè)至多只由一個(gè)目標(biāo)生成(考慮虛警情形)。每時(shí)刻完成高斯分量權(quán)值更新后，每一列的權(quán)值和必定滿足上述性質(zhì)，這是由GM-PHD濾波的遞推特性決定的。

(16)

體現(xiàn)在更新矩陣W中即為第m行的權(quán)值和大于1，表示第m個(gè)高斯分量(隱指一個(gè)目標(biāo))生成了多個(gè)量測(cè)。在現(xiàn)實(shí)中，考慮漏檢的影響，一個(gè)目標(biāo)至多生成一個(gè)量測(cè)。因此這種更新方式會(huì)錯(cuò)誤地把多個(gè)量測(cè)分配給一個(gè)目標(biāo)并以較高權(quán)值進(jìn)行更新，導(dǎo)致?tīng)顟B(tài)估計(jì)結(jié)果錯(cuò)誤或冗余。

為此對(duì)矩陣W的行權(quán)值修正，使其行權(quán)值和不大于1，即滿足一個(gè)目標(biāo)至多生成一個(gè)量測(cè)的實(shí)際條件。

(17)

行權(quán)值修正操作會(huì)改變?cè)辛袡?quán)值的“歸一化”秩序。對(duì)于第一種情形，即第n個(gè)量測(cè)zn由某一真實(shí)目標(biāo)生成的情況,W矩陣中第m*行n列的權(quán)值由于行權(quán)值修正操作而減小。為使第n列的權(quán)值和滿足式(14)的條件，也即使該列符合真實(shí)量測(cè)必定源于某一目標(biāo)的實(shí)際條件，需要對(duì)第n(n≠n*)列進(jìn)行列權(quán)值修正：

(18)

第n(n≠n*)列列權(quán)值修正過(guò)程保留因第m*行行權(quán)值修正而減小的(m*,n)處的權(quán)值，使得該列其他權(quán)值按各自比重相應(yīng)增加，提高第n個(gè)量測(cè)相對(duì)其他高斯分量(不包含第m*個(gè)分量)的似然度。因?yàn)橛尚袡?quán)值修正過(guò)程已得知，僅第n*個(gè)量測(cè)最有可能源于第m*個(gè)高斯分量或目標(biāo)。

對(duì)于第二種情形，由于量測(cè)zn本身為雜波虛警，由其更新的各個(gè)高斯分量的權(quán)值極小，可視為零。故對(duì)第m*行行權(quán)值修正時(shí)不會(huì)改變(m*,n)處零權(quán)值的性質(zhì)，對(duì)應(yīng)第n列的權(quán)值和仍然滿足式(14)，不需要進(jìn)行列權(quán)值修正。故在進(jìn)行列權(quán)值修正前，應(yīng)先大致判別該量測(cè)是否為虛警雜波，再?zèng)Q定是否修正列權(quán)值。當(dāng)權(quán)值更新矩陣W中第n列的權(quán)值和高于某一閾值wth時(shí)可施行列權(quán)值修正操作。文獻(xiàn)[8,9]中對(duì)所有的量測(cè)均進(jìn)行重歸一化處理會(huì)會(huì)導(dǎo)致資源的浪費(fèi)，增加運(yùn)算時(shí)間。權(quán)值修正方法流程如圖1所示。

圖1 權(quán)值修正流程圖

進(jìn)行行權(quán)值與列權(quán)值修正的目的在于使更新權(quán)值滿足以下條件：一個(gè)量測(cè)至多源自一個(gè)目標(biāo)，一個(gè)目標(biāo)生成至多一個(gè)量測(cè)。從而提高狀態(tài)估計(jì)的精度。

2.2 高斯分量選擇性合并

每時(shí)刻更新后的高斯分量個(gè)數(shù)會(huì)爆炸式增長(zhǎng)，因此Vo提出在高斯分量權(quán)值更新后引入剪枝操作[7]，將低于閾值T的高斯分量刪除，僅保留高權(quán)值高斯分量，用以控制高斯分量個(gè)數(shù)，減小運(yùn)算量。

對(duì)于剪枝后的高斯分量采取合并的方式，將多個(gè)相互靠近即滿足如下條件的高斯分量合而為一[10]：

(19)

但當(dāng)目標(biāo)較為密集時(shí)，按照原有的合并規(guī)則會(huì)導(dǎo)致代表相近不同目標(biāo)的多個(gè)高斯分量合并，即原本代表多個(gè)不同目標(biāo)的高斯分量被合并后的一個(gè)高斯分量所代替，則由合并后的高斯分量估計(jì)出的目標(biāo)狀態(tài)會(huì)丟失部分真實(shí)信息。

(20)

選擇性合并后的高斯分量的均值、權(quán)值和協(xié)方差矩陣的計(jì)算與文獻(xiàn)[7]一致。對(duì)合并后的高斯分量集合進(jìn)行狀態(tài)提取，將權(quán)值較高的高斯分量的均值視為估計(jì)狀態(tài)，至此完成該時(shí)刻的狀態(tài)估計(jì)。將合并后的混合高斯PHD傳入下一時(shí)刻。

假設(shè)新生目標(biāo)和衍生目標(biāo)的概率密度均可用如下高斯混合的形式表示:

(21)

(22)

k-1時(shí)刻的PHD如式(7)所示,與式(21)、式(22)一并代入式(5)，得到如式(9)所示的預(yù)測(cè)后高斯混合形式。對(duì)于更新步驟，在原有更新權(quán)值的基礎(chǔ)上[7]采用本文提出的權(quán)值修正策略，對(duì)權(quán)值調(diào)整，使其符合現(xiàn)實(shí)情況。針對(duì)更新后的高斯分量，加強(qiáng)合并條件，防止錯(cuò)誤合并，權(quán)值高于設(shè)定閾值(通常取0.5)的高斯分量的均值即為k時(shí)刻多目標(biāo)的狀態(tài)估計(jì)。

3 仿真結(jié)果及分析

設(shè)定目標(biāo)在某一二維雜波區(qū)域[-1000,1000] m×[-1000,1000] m內(nèi)運(yùn)動(dòng)，目標(biāo)的運(yùn)動(dòng)服從高斯線性模型為:

(23)

(24)

系統(tǒng)的觀測(cè)模型為:

(25)

表1 目標(biāo)初始狀態(tài)與生存時(shí)間

圖2 目標(biāo)真實(shí)狀態(tài)

圖3 量測(cè)

圖4和圖5分別給出了GM-PHD濾波算法和本文提出的改進(jìn)算法的多目標(biāo)狀態(tài)提取結(jié)果，實(shí)線代表目標(biāo)的真實(shí)軌跡，“·”代表估計(jì)出的目標(biāo)位置。從圖中可以看出，改進(jìn)算法的狀態(tài)提取結(jié)果相對(duì)于原有算法的結(jié)果更為準(zhǔn)確，估計(jì)出的目標(biāo)位置要更加集中，與目標(biāo)的真實(shí)軌跡貼合更加緊密。

圖4 GM-PHD狀態(tài)估計(jì)

圖5 改進(jìn)算法狀態(tài)估計(jì)

為進(jìn)一步分析狀態(tài)提取的精度，采用OSPA準(zhǔn)則[11]評(píng)估算法性能。OSPA評(píng)價(jià)指標(biāo)引入了截?cái)喑?shù)c，能夠處理兩個(gè)隨機(jī)集之間目標(biāo)個(gè)數(shù)不一致時(shí)的性能評(píng)價(jià)。在本文中截?cái)喑?shù)c為100。圖6給出了兩種算法在20次MC仿真條件下的OSPA均值距離。距離越小表示估計(jì)結(jié)果越精確。由圖可知，改進(jìn)算法的OSPA曲線大體低于GM-PHD濾波狀態(tài)提取算法，表明本文改進(jìn)算法具有良好的估計(jì)精度。

圖6 OSPA距離

當(dāng)每時(shí)刻的雜波虛警個(gè)數(shù)的均值為100時(shí)，由真實(shí)目標(biāo)生成的量測(cè)會(huì)被大量不相干噪聲點(diǎn)湮沒(méi)。即在不進(jìn)行權(quán)值修正的情況下，會(huì)經(jīng)常出現(xiàn)一個(gè)目標(biāo)與多個(gè)量測(cè)相對(duì)應(yīng)的情況，導(dǎo)致多目標(biāo)狀態(tài)估計(jì)的錯(cuò)誤，為說(shuō)明此問(wèn)題，圖7給出了兩種算法在高濃度虛警條件下的平均OSPA距離。相比于低雜波濃度的情形(圖6)，兩種算法的OSPA距離均有明顯增大，這是由大量虛警量測(cè)導(dǎo)致的必然結(jié)果。但總體而言，改進(jìn)算法的OSPA距離依然要低于GM-PHD濾波狀態(tài)提取算法，說(shuō)明了在目標(biāo)、虛警密集等嚴(yán)苛條件下，改進(jìn)算法的性能有所提升。

圖7 OSPA距離

4 結(jié) 語(yǔ)

本文在原有GM-PHD濾波方法的基礎(chǔ)上，修正更新高斯分量的權(quán)值，并加強(qiáng)高斯分量合并規(guī)則，以減輕目標(biāo)密集和虛警雜波對(duì)算法造成的影響。下一步可針對(duì)非線性非高斯模型進(jìn)一步改進(jìn)高斯混合PHD濾波狀態(tài)提取算法，擴(kuò)展其應(yīng)用范圍。

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MULTI-TARGET STATE EXTRACTION BASED ON GAUSSIAN MIXTURE PHD FILTER

Liu Yi Wang Ping Gao Yinghui

(CollegeofElectronicScienceandEngineering,NationalUniversityofDefenseTechnology,Changsha410073,Hunan,China)

Gaussian mixture probability hypothesis density (GM-PHD) filter can effectively solve the problem of multi-target tracking under the condition of linear Gaussian model, while estimating the number of targets it also extracts the states of multi-target. The state extraction precision of GM-PHD filter will drop down when it comes to the situation of closely spaced targets and too high clutter rate. In light of the performance degradation of GM-PHD in complex environments, we proposed an improved multi-target state extraction method of GM-PHD filter. By modifying the update weight of Gaussian component and enhancing the merging criterion it reduces the interference caused by intensive targets and clutters. Simulation experimental results showed that the propose method is able to raise the precision of multi-target state estimation in different clutter environments.

Probability hypothesis density Gaussian mixture Multi-target tracking State extraction

2015-09-19。國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(61103082)。劉益，碩士生，主研領(lǐng)域：目標(biāo)跟蹤與自動(dòng)目標(biāo)識(shí)別。王平，研究員，高穎慧，副研究員。

TP391.4

A

10.3969/j.issn.1000-386x.2016.11.041