帶非線性阻尼的歐拉方程組正規(guī)解的爆破

朱旭生，傅春燕，趙康鑫，王 莉

（華東交通大學(xué)理學(xué)院,江西 南昌330013）

帶非線性阻尼的歐拉方程組正規(guī)解的爆破

朱旭生，傅春燕，趙康鑫，王 莉

（華東交通大學(xué)理學(xué)院,江西 南昌330013）

研究了n（n≥1）維空間理想可壓縮流中帶有非線性阻尼項(xiàng)的等熵歐拉方程組的初值問題。當(dāng)初始密度有緊支集時(shí)，利用泛函結(jié)合特征線的方法，證明了在真空情形下帶有形如-αρ|u|θu阻尼項(xiàng)的可壓縮等熵歐拉方程組，其阻尼系數(shù)α為正常數(shù)時(shí)的正規(guī)解在初始數(shù)據(jù)一定大時(shí)必定爆破,其中0＜θ＜1。

等熵歐拉方程組；泛函方法；爆破

考慮下列n（n≥1）維空間中帶阻尼項(xiàng)的等熵歐拉方程組：

的Cauchy問題.其初始條件為

其中：ρ，u，p分別表示氣體的密度,速度和壓力;狀態(tài)方程為p=Aργ（A＞0）；γ為絕熱指數(shù)（γ＞1）；其中常數(shù)α＞0；0＜θ＜1。

對(duì)帶阻尼項(xiàng)的歐拉方程組的研究有很多成果，大多是研究ρ＞0的情形，當(dāng)初值是在一個(gè)擴(kuò)散波或者常狀態(tài)的平衡解附近的小擾動(dòng)，經(jīng)典解整體存在詳情參見[1-3]；但關(guān)于歐拉方程組的爆破也有大量的研究，例如[4-11]。文獻(xiàn)[4-6]研究了初值具有緊支集的情形，證明了某些情況下正規(guī)解會(huì)在有限時(shí)間內(nèi)爆破；文獻(xiàn)[7]研究三維空間的可壓縮流的非等熵歐拉方程組的奇性的形成；文獻(xiàn)[8-9]研究等熵歐拉方程組初邊值問題的軸對(duì)稱解的爆破；文獻(xiàn)[10]考察運(yùn)用泛函方法證明一維空間中帶非線性阻尼項(xiàng)的等熵歐拉方程組在初始密度有緊支集時(shí)正規(guī)解的爆破；文獻(xiàn)[11]研究了阻尼系數(shù)為常數(shù)的歐拉方程組和帶退化阻尼的等熵歐拉方程組，得到了在初始密度有緊支集時(shí)，正規(guī)解都將在有限時(shí)間內(nèi)爆破。本文在文獻(xiàn)[4，8，10，11]的基礎(chǔ)上運(yùn)用泛函結(jié)合特征線的方法考察了帶有如阻尼的歐拉方程組的情形,其中0＜θ＜1。而當(dāng)θ＝1時(shí)的情形在文獻(xiàn)[10]已有詳細(xì)證明。

1 主要定理及其證明

參考文獻(xiàn)：

[1]HSIAO L，LIU TP.Convergence to nonlinear diffusion waves for solutions of a system of hyperbolic conservation laws with damping[J].Communications in Mathematical Physics，1992，143（3）：599-605.

[2]SIDERIS，THOMAS C THOMASES BECCA，WANG DEHUD.Long time behavior of solutions to the 3D compressible Euler equations with damping[J].Communications in Partial Differential Equations，2003，28（3）：795-816.

[3]ZHU CHANGJIANG，JIANG MINA.Lp-decay rates to nonlinear diffusion waves for p-system with nonlinear damping[J].Science in China Series A，2006，49（6）：721-739.

[4]LIU T P，YANG T.Compressible Euler equations with vacuum[J].Journal of Differential Equations，1997，140（2）：223-237.

[5]LIU TAIPING.Compressible flow with damping and vacuum[J].Japan Journal of Industrial and Applied Mathematics，1996，13（1）：25-32.

[6]LI TIANHONG，WANG DEHUA.Blowup phenomena of solutions to the Euler equations for compressible fluid flow[J].Journal of Differential Equations，2006，221（1）：91-101.

[7]THOMAS C SIDERIS.Formation of singularities in three-dimensional compressible fluids[J].Communications in Mathematical Physics，1985，101（4）：475-485.

[8]ZHU XUSHENG，TU ARHUA.Blowup of the axis-symmetric solutions for the IBVP of the isentropic Euler equations[J].Nonlinear Analysis：Theory，Methods&Applications，2014，95：99-106.

[9]朱旭生，俞銀晶，李翠.帶阻尼項(xiàng)的三維等熵可壓縮歐拉方程組軸對(duì)稱解的爆破[J].廈門大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2014，53（6）：780-784.

[10]熊顯萍，朱旭生.帶非線性阻尼項(xiàng)的等熵歐拉方程組正規(guī)解的爆破[J].西南大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2014，36（3）：71-76.

[11]ZHU XUSHENG，WANG WEIKE.The regular solutions of the isentropic Euler equations with degenerate linear damping[J]. Chinese Annals of Mathematics，2005，26（4）：583-598.

Blowup of the Regular Solutions of the Euler Equations with Nonlinear Damping

Zhu Xusheng，F(xiàn)u Chunyan，Zhao Kangxin
（School of Science，East China Jiaotong University，Nanchang 330013，China）

The regular solutions of then-dimensional isentropic Euler equations with the nonlinear damping for a perfect gas are investigated in this paper.Utilizing the methods of the functional in combination with characteristics,we prove the compressible isentropic Euler equations in vacuum case with the damp like-αρ|u|θu.If its damping coefficientαis positive constant when the initial data are large enough the regular solutions would blow up in finite time.

isentropic Euler equation；functional methods；blowup

O175.4

A

1005-0523（2016）06-0137-06

（責(zé)任編輯 劉棉玲）

2016－02－28

國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目（11161021，11561024）；江西省自然科學(xué)基金項(xiàng)目（20151BAB201017）

朱旭生（1968—），男，副教授，博士，研究方向?yàn)槠⒎址匠獭?/p>