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      小網(wǎng)格大奧秘
      ——2016年天津市中考試題第18題第(Ⅱ)小題的思考

      2016-12-28 12:19:35天津市實驗中學(xué)
      中學(xué)數(shù)學(xué)雜志 2016年24期
      關(guān)鍵詞:格點考試題小題

      ☉天津市實驗中學(xué) 劉 濤

      小網(wǎng)格大奧秘
      ——2016年天津市中考試題第18題第(Ⅱ)小題的思考

      ☉天津市實驗中學(xué) 劉 濤

      2016年天津市中考試題第18題第(Ⅱ)小題,以網(wǎng)格為載體,借助無刻度的直尺,在《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準(2011年版)》中對作圖的要求統(tǒng)領(lǐng)下,既考查了學(xué)生利用網(wǎng)格,綜合運用數(shù)學(xué)知識解決問題的能力,又鍛煉了學(xué)生理解數(shù)學(xué)語言并有效運用數(shù)學(xué)語言進行精準表述的能力,具有較高的思維含量,對提升學(xué)生的思維能力和表達能力大有裨益.

      一、試題呈現(xiàn)

      題目如圖1,在每個小正方形的邊長為1的網(wǎng)格中,A,E為格點,B,F(xiàn)為小正方形邊的中點,C為AE,BF的延長線的交點.

      圖1

      (Ⅰ)AE的長等于_____;

      (Ⅱ)若點P在線段AC上,點Q在線段BC上,且滿足AP=PQ=QB,請在如圖1所示的網(wǎng)格中,用無刻度的直尺,畫出線段PQ,并簡要說明點P,Q的位置是如何找到的(不要求證明).

      二、思路探究

      關(guān)于第(Ⅱ)問的畫法是從何而來的呢?

      如圖2,以A為坐標原點,點A所在的橫網(wǎng)格線為x軸和y軸,建立平面直角坐標系,可得點A(0,0)、B

      圖2

      由條件“點P在線段AC上,點Q在線段BC上”,可設(shè)點P(m,2m),Q

      由條件“滿足AP=PQ=QB”,可得:

      所以,很容易確定線段AC與橫網(wǎng)格線的交點即為點P.

      對于點Q位置可以從以下兩個角度進行分析:

      圖3

      本題通過建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼?,根?jù)要求作出的點所滿足的等量關(guān)系建立方程,先求出點的坐標再進行網(wǎng)格中定位.這種解析法的求解過程清晰流暢,求解方法自然生成!

      三、思路再探

      參考答案是從“數(shù)”的角度求解的,能否從“形”的角度探究P、Q兩點的位置呢?

      探究:首先,我們假設(shè)P、Q兩點的位置已經(jīng)在線段AC、BC上確定下來了,由條件AP=PQ=QB,可構(gòu)造如圖4所示的全等的直角三角形.

      圖4

      具體做法如下:假設(shè)P、Q兩點已作出,過P、Q兩點分別作PG⊥AL于點G,QH⊥AL于點H,過點P作PN⊥QH于點N,再過點B作BT⊥QH于點H.

      由AP=PQ=QB,得EP=FQ.

      由tan∠CAG=tan∠CBT=2,則AG=BT=1+t,PG=QT= 2+2t,從而得PN=GH=6-2(1+t)=4-2t,QN=HT=.

      在Rt△PQN中,由勾股定理PN2+QN2=PQ2,得(4-2t)2+,整理得4t2+104t-53=0,因式分解得(2t-1)(2t+53)=0,解得t1=,t2=-(舍).

      下面是P、Q兩點位置的確定方法:

      先考慮點P的確定方法:

      ①線段AC與網(wǎng)格線相交,得點P;(如參考答案做法)

      ②取格點M、N,連接MN與AC相交,得點P;(或者是以要求的點P為矩形對角線交點的做法均可,但是要注意在作法中一定要寫“與AC相交,得點P”)(如圖5)

      ③取格點H、I,連接HI與網(wǎng)格線相交,得點D,取格點J、K,連接JK與網(wǎng)格線相交,得點G,連接DG與AC相交,得點P;(如圖5)

      圖5

      圖6

      ④取格點M、N,連接MN與網(wǎng)格線交于點G,連接BG并延長,交AC于點P.(如圖6)

      再考慮點Q的確定方法:

      ①取格點M(3,3)或其他格點M(t,t),作直線AM與BC相交,得點Q;(如參考答案做法)

      ②取格點M、N,連接MN與BC相交,得點Q;(或者是以上述MN為對角線的小正方形所在的奇數(shù)個矩形的對角線與BC相交,均可得點Q);(如圖7)

      圖7

      圖8

      ③取格點H、I,連接HI與網(wǎng)格線相交,得點D,取格點J、K,連接JK與網(wǎng)格線相交,得點G,連接DG與BC相交,得點Q(下面兩種做法均采用這種敘述過程).(如圖8)繼續(xù)深入分析圖形的性質(zhì),如圖9,可得PN=PG=QT=3.

      圖9

      又AP=PQ=QB,∠AGP=∠PNQ=∠BTQ=90°,所以△AGP≌△PNQ≌△BTQ.所以∠1=∠2.

      進而得到∠PQB=90°,即PQ⊥BC.

      這樣一來,點Q便有了新的確定方法:

      ①取格點G、H,連接GH與網(wǎng)格線交于點D,連接PD交BC于點Q;(如圖10)

      (Ⅱ)由t=

      圖10

      圖11

      ②取格點G、H,連接GH并延長交BC于點Q(如圖11).(這里若連接PG、BG,則四邊形BGPQ是正方形)

      結(jié)合前面的解析法和構(gòu)造法,我們可以一次性地確定P、Q兩點的位置.

      ①取格點G、H、M、N,連接GH與網(wǎng)格線交于點D,連接MN與網(wǎng)格線交于點O,連接DO并延長分別交BC于點Q,交AC于點P,線段PQ即為所求;(如圖12)

      圖12

      圖13

      ②取格點G、H、S、T,連接GH與網(wǎng)格線交于點D,連接ST與網(wǎng)格線交于點K,連接DO分別交BC于點Q,交AC于點P,線段PQ即為所求.(如圖13)

      四、數(shù)學(xué)語言的準確理解和表述

      本題在審題環(huán)節(jié)特別要注意對“如何找到”四個字的理解,這將直接影響我們的數(shù)學(xué)語言是否到位,是否精準的問題,因此這一點很是關(guān)鍵.本題要尋求的是“點”,那我們就要清楚這一事實:點,不是單擺浮擱的,它必須以線作為載體來呈現(xiàn),所以本題中的“如何找到”的意思應(yīng)該理解為“哪兩條直線相交得點P,哪兩條直線相交得點Q”,又已知點P在線段AC上,點Q在線段BC上,那么在表述中一定要有“與AC相交”、“與BC相交”的說法.

      以下就是學(xué)生在中考中出現(xiàn)的作法寫得不規(guī)范,或者有科學(xué)性錯誤的地方:

      ①取格點P(點P不是格點);

      ②點P的找法中的第二種方法錯誤地說成“取格點M、N,連接MN與網(wǎng)格線相交于點P”,出現(xiàn)了沒有在AC上交出點P的錯誤作法,也就是說,即使這個點確實在AC上,也要直接進行說明;

      ③連接線段并延長要看清楚方向,最好就說成“作直線”,避免產(chǎn)生科學(xué)性錯誤;

      ④選取點時盡量不要用平移來敘述,若是從格點平移至格點還可以,若不是格點就有問題了,因為這樣的平移不具有可操作性,再有平移點是不能說“與直線交于某點”的,因為點平移后還是點,它與直線只有“在直線上”或者“在直線外”兩種位置關(guān)系,不能用“相交”來描述.

      五、回顧反思

      以網(wǎng)格為背景的探究性問題,使得圖形問題充滿趣味又不失數(shù)學(xué)味道,簡簡單單的“小”網(wǎng)格,在數(shù)學(xué)知識的統(tǒng)領(lǐng)下,指引著我們不斷地去探尋其中的“大”奧秘.解析法——網(wǎng)格建系,先算后畫,生成自然;構(gòu)造法——幾何直觀,方法眾多,精彩紛呈.若能將兩種方法綜合運用,必定珠聯(lián)璧合,相得益彰,煥發(fā)出更為絢爛奪目的光彩.希望我們能在面對網(wǎng)格的問題中都能做到“四精”(即作圖精致;語言精準;技法精湛;思維精密),不斷前行,探尋“小”網(wǎng)格中更“大”的奧秘.

      1.中華人民共和國教育部制定.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準(2011年版)[M].北京:北京師范大學(xué)出版社,2012.

      2.沈德輝,顧洪敏.知其源得其法:2014年天津市中考數(shù)學(xué)第18題第(2)小題的思考[J].中國數(shù)學(xué)教育(初中版),2015(3).

      3.白麗娜,劉金英,顧洪敏.探索網(wǎng)格作圖問題提升數(shù)學(xué)思維能力:2015年天津市中考試題第18題第(2)小題的思考[J].中國數(shù)學(xué)教育(初中版),2016(7/8).H

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