分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)的局部Strassen重對數(shù)律

劉永宏，李東升，李豐兵，姜淼

(桂林電子科技大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院，廣西 桂林，541004；廣西高校數(shù)據(jù)分析與計(jì)算重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，廣西 桂林，541004)

分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)的局部Strassen重對數(shù)律

劉永宏，李東升，李豐兵，姜淼

(桂林電子科技大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院，廣西 桂林，541004；廣西高校數(shù)據(jù)分析與計(jì)算重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，廣西 桂林，541004)

應(yīng)用[1]中方法，研究了分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)局部Strassen重對數(shù)律，將[1]的結(jié)果推廣到了分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)情形，也將[2]的結(jié)果推廣到了局部情形。

分?jǐn)?shù);布朗運(yùn)動(dòng)；平穩(wěn)增量；局部Strassen重對數(shù)律

1 引言與主要結(jié)果

布朗運(yùn)動(dòng)的Strassen重對數(shù)律是一個(gè)經(jīng)典結(jié)果，這一結(jié)果被人們推廣到各種情形，高付清和王清華研究了布朗運(yùn)動(dòng)增量的極限定理[3],后來人們又把布朗運(yùn)動(dòng)的結(jié)果推廣到分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)， Monrad 和 Rootzen研究了分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)的鐘重對數(shù)律[6]，王文勝[2]得到了分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)增量的極限定理， 林正炎等研究了分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)增量在Holder范數(shù)下的極限定理[4]。將這些結(jié)果推廣到局部情形也是人們研究的課題。Gantert研究了布朗運(yùn)動(dòng)的局部Strassen重對數(shù)律，本文研究分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)的局部Strassen重對數(shù)律,我們的研究結(jié)果將Gantert的結(jié)果[1]推廣到分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)情形,也將王文勝[2]的結(jié)果推廣到了局部情形。

設(shè){X(t):t≥0}是一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的α階分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)具有X(0)=0和平穩(wěn)增量，且0<α<1,那么{X(t):t≥0}有方差函數(shù)

其中{B(s):-∞

設(shè)C[0,1]={f:f為從[0,1]到R的連續(xù)函數(shù)},賦予上確界范數(shù), 記

下面的定理是本文主要結(jié)果:

定理1 對u≥3,定義

(2)對每個(gè)f∈K,存在的子列{ξ1/un:n≥1}，使得ξ1/un→f(n→∞)。

2 定理的證明

為證定理，需要下面引理:

引理1 對u≥3， 定義

那么，對P-a.s.,有下面的性質(zhì):

(1){ηu:u≥3} 在C[0,1]中相對緊，且每個(gè)極限點(diǎn)在K中。

(2)對每個(gè)f∈K,存在的子列{ηun:n≥1}，使得ηun→f(n→∞)。

證明 參看[2]的推論3.1。

下面是定理1的證明

設(shè)T:W→W, 定義如下:

注意到T:W→W是等距映射，TH1:H1→H1是等距映射， 而且,P在T下是不變的。 容易計(jì)算證明‖Tw‖W=‖w‖W且‖Tf‖H1=‖f‖H1。 我們有

由引理1知{ηu(w)|u≥3}滿足引理1中結(jié)論(1),(2)， 其中 {ηu(w)|u≥3}定義如下:

我們應(yīng)用T的不變性質(zhì),故ξ1/u(w)=Tηu(w)滿足定理1中的結(jié)論(1),(2), 至此定理1得證。

[1]N.Gantert.An inversion of Strassen’s law of the iterated logarithm for small time[J].The annals of Probability,1993,21(2):1045-1049.

[2]W Wang.On a functional limit result for increments of a fractional Brownian motion[J].Acta math.Hungar,2001,93(1-2):153-170.

[3]F Gao,Q Wang.The rate of convergence in the functional limit Theorem for increments of a Brownian motion[J].Statistics & probability letters.2005,73:165-177.

[4]Z Y Lin,W S Wang,K S Hwang.Functional limit theorems for d-dimensional FBM in Holder norm[J].Acta mathematica sinica,English series.2006,22(6):1767-1780.

[5]J Ortega.On the size of the increments of nonstationary Gaussian processes[J].Stochastic Processes and their Applications.1984,18;47-56.

[6]D Monrad,H Rootzen.Small values of Gaussian processes and functional laws of the iterated logarithm[J].Probability theory and related fields.1995,101;173-192.

Local Strassen’s law of the iterated logarithm for fractional Brownian motion

LIU Yonghong,LI Dongsheng,LI Fengbing,JIANG Miao

(School of Mathematics and Computing Science,Guilin University of Electronic Technology,Guilin 541004, China；Guangxi Colleges and Universities Key Laboratory of Data Analysis and Computation, Guilin University of Electronic Technology,Guilin 541004,China)

Using the method in [1],local Strassen’s law of the iterated logarithm for fractional Brownian motion is investigated.The result in [1]is extended to the case of fractional Brownian motion,the result in [2]is also extended to local case.

fractional;brownian motion;stationary increments;local Strassen’s law of the iterated logarithm

1672-7010(2016)04-0019-03

2016-09-20

廣西教育廳高?？蒲谢鹳Y助項(xiàng)目(YB2014117)；國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11661025)；大學(xué)生創(chuàng)新項(xiàng)目資助(201510595198)；國家社科基金資助項(xiàng)目(16XTJ002)

劉永宏(1964- )，男，湖北松滋人，教授，博士，從事概率論極限理論研究

O211.4

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