王 蒙，趙建平，張炳婷

(曲阜師范大學(xué) 物理工程學(xué)院，山東 曲阜 273165)

一種基于雙曲正割函數(shù)的變步長LMS算法*

王 蒙，趙建平，張炳婷

(曲阜師范大學(xué) 物理工程學(xué)院，山東 曲阜 273165)

在變步長自適應(yīng)算法的基礎(chǔ)上，結(jié)合雙曲正割函數(shù)，建立了步長因子μ和誤差信號(hào)e(n)之間一種新的非線性函數(shù)關(guān)系，從而提出一種新的變步長最小均方誤差（LMS）算法，解決了固定步長算法收斂速度與穩(wěn)態(tài)誤差間的矛盾。詳盡闡述新算法的基本原理，并對(duì)算法中關(guān)鍵參數(shù)的選取對(duì)濾波性能的影響進(jìn)行分析，從而給出算法中關(guān)鍵參數(shù)的確定方法。通過在系統(tǒng)辨識(shí)的仿真實(shí)驗(yàn)證實(shí)，該算法擁有良好的性能。

LMS算法；雙曲正割；收斂速度；穩(wěn)態(tài)誤差

0 引 言

自適應(yīng)濾波器理論是信號(hào)處理領(lǐng)域的重要內(nèi)容。因?yàn)樽赃m應(yīng)濾波算法是自適應(yīng)濾波器設(shè)計(jì)過程中的重要環(huán)節(jié),所以自適應(yīng)濾波算法的研究是當(dāng)今自適應(yīng)信號(hào)處理中最為活躍的研究課題之一。最小均方誤差（LMS）算法由Widrow和Holf于1960年提出，建立在維納濾波理論的基礎(chǔ)上，借助最速下降法通過迭代來逼近維納解[1]。由于該算法具有計(jì)算量小、易于實(shí)現(xiàn)等優(yōu)點(diǎn)，得到了廣泛關(guān)注和大量應(yīng)用。初始收斂速度、穩(wěn)態(tài)誤差、對(duì)時(shí)變系統(tǒng)跟蹤能力以及抗噪聲干擾能力，是評(píng)估LMS算法優(yōu)劣的重要性能指標(biāo)。在傳統(tǒng)的LMS算法中，固定步長的取值不同會(huì)影響算法的性能：減少步長的取值可以得到較小的穩(wěn)態(tài)誤差，但同時(shí)會(huì)降低收斂速度和跟蹤能力；而選取較大的步長雖然能夠快速達(dá)到收斂，卻有著較大的穩(wěn)態(tài)誤差。這就意味著傳統(tǒng)LMS算法在收斂速度與穩(wěn)態(tài)誤差之間存在不可調(diào)和的矛盾[2]：無法同時(shí)擁有較快的收斂速度和較小的穩(wěn)態(tài)誤差。為此，人們提出了多種變步長LMS自適應(yīng)濾波算法。

本文在文獻(xiàn)[3]所提出的基于雙曲正割函數(shù)的變步長LMS算法的基礎(chǔ)上，進(jìn)行數(shù)學(xué)變換和引入調(diào)節(jié)參數(shù)，建立起步長μ與誤差的新的非線性函數(shù)關(guān)系，并提出新的變步長LMS算法。通過計(jì)算機(jī)仿真實(shí)驗(yàn)證實(shí)，該算法擁有理想的性能。

1 LMS算法的介紹

1.1 傳統(tǒng)LMS算法

LMS算法是基于最小均方誤差準(zhǔn)則和最速下降法提出的，采用接收信號(hào)和期望信號(hào)之間的最小均方誤差作為代價(jià)函數(shù)沿著代價(jià)函數(shù)梯度的負(fù)方向搜索，最終收斂于令代價(jià)函數(shù)最小的解。

自適應(yīng)濾波器結(jié)構(gòu)示意圖如圖1所示。

圖1 自適應(yīng)濾波算法結(jié)構(gòu)示意

具體的自適應(yīng)濾波算法流程如下：

根據(jù)文獻(xiàn)[4]對(duì)傳統(tǒng)LMS算法的理論分析，得出如下結(jié)論：

②在滿足收斂的情況下，引入時(shí)間常數(shù)來衡量收斂速度。對(duì)于LMS算法來講，在μ很小的情況下，LMS算法收斂速度是由最大的時(shí)間常數(shù)所決定。因?yàn)棣谭幢扔跁r(shí)間常數(shù)，所以當(dāng)μ越大時(shí)，時(shí)間常數(shù)越小，收斂速度越快。

這樣在步長的選取上就存在一定的矛盾：在保證代價(jià)函數(shù)正常收斂的范圍內(nèi)，無法兼顧較快的收斂速度和較小的穩(wěn)態(tài)誤差。所以，人們提出了多種變步長算法。

1.2 已提出的幾種常見變步長算法

文獻(xiàn)[5]中，覃景繁等人根據(jù)sigmoid函數(shù)提出S函數(shù)算法，其步長更新函數(shù)為：

該算法很大程度上優(yōu)于傳統(tǒng)LMS算法，但是其在靠近0時(shí)變化較快，仍有較大的穩(wěn)態(tài)誤差。

文獻(xiàn)[6]中，高鷹等人提出了G-SVSLMS算法，其步長更新公式為：

該算法克服了S函數(shù)LMS算法存在的問題，但是外界噪聲對(duì)該算法具有很強(qiáng)的影響。在此基礎(chǔ)上，有人提出了NG-SVSLMS算法[7]。NG-SVSLMS算法中，步長的更新公式變?yōu)椋?/p>

文獻(xiàn)[3]中提出了基于雙曲正割函數(shù)的變步長LMS算法，此處稱其為sech-LMS算法，其步長更新公式如下：

通過各文獻(xiàn)所提出的變步長算法，總結(jié)出變步長LMS算法的基本原則：在初始收斂階段時(shí)選取較大步長，以擁有較快的收斂速度；,在算法收斂后，選取較小的步長，且希望在誤差接近0時(shí)盡量保持平穩(wěn)，用以減小穩(wěn)態(tài)誤差。

2 一種新的變步長LMS算法

根據(jù)上文提到的變步長LMS算法的基本原則。本文提出了一種基于雙曲正割函數(shù)的變步長LMS算法。

雙曲正割函數(shù)的公式如式（5）所示，其圖像如圖2所示。

圖2 雙曲正割函數(shù)圖像

根據(jù)雙曲正割函數(shù)，可以得到本文即將用到的一個(gè)雙曲正割函數(shù)。經(jīng)過變化的函數(shù)公式如式（6）所示，其圖像如圖3所示。

圖3 經(jīng)過變化后的函數(shù)的圖像

從該函數(shù)的圖形可以發(fā)現(xiàn)，它的變化規(guī)律符合步長因子的變化規(guī)律。因此，可以把用來描述z函數(shù)，則得到如下的推導(dǎo)公式：

下面對(duì)步長因子中的參數(shù)進(jìn)行分析。

①μ(n)為算法的步長，應(yīng)滿足收斂的條件，

②對(duì)于參數(shù)α，當(dāng)固定β和h的取值時(shí)，α分別取1、2、3時(shí)的圖像如圖4所示。

圖4 僅α取不同值時(shí)的步長收斂情況

由圖4得出結(jié)論：在同一誤差情況下，α越大，步長越大，收斂速度較快，但是較大的α在靠近原點(diǎn)時(shí)，步長變化太快，會(huì)帶來較大的穩(wěn)態(tài)誤差。

③針對(duì)α取值的矛盾現(xiàn)象，函數(shù)引入一個(gè)調(diào)節(jié)參數(shù)h，來調(diào)節(jié)底部的收斂狀況，使步長在靠近0時(shí)不會(huì)有劇烈的變化而帶來較大的穩(wěn)態(tài)誤差。

如圖5所示，當(dāng)其他參數(shù)固定，h的值從1到10再到100時(shí)，圖像在靠近原點(diǎn)底部的變化越緩慢，所帶來的穩(wěn)態(tài)誤差就越小。

圖5 僅h取不同值時(shí)步長的收斂曲線

3 算法在系統(tǒng)辨識(shí)系統(tǒng)中的應(yīng)用分析

為了驗(yàn)證本文提出算法與其他算法相比的性能，現(xiàn)在系統(tǒng)辨識(shí)的應(yīng)用中將本文提出算法同傳統(tǒng)LMS算法、NG-SVSLMS算法、文獻(xiàn)[3]提出算法進(jìn)行比較。定義系統(tǒng)辨識(shí)的未知系統(tǒng)是8階橫向?yàn)V波器，抽頭系數(shù)Hn=[0.878 5，-0.580 1，0.653 2，-0.322 4，0.657 1，-0.058 0，0.289 0，-0.271 5]。測量的輸入信號(hào)與噪聲信號(hào)的信噪比設(shè)置為20 dB。傳統(tǒng)固定步長LMS算法β=0.002；sech-LMS算法取文獻(xiàn)[3]中的β=0.008，α=3，γ=1；NG-SVSLMS算法中β=0.008，α=2；本文提出算法β=0.008，α=100，h=100。每種算法獨(dú)立做200次仿真，然后對(duì)其求均值，得到的仿真結(jié)果如圖6所示。

圖6 四種算法收斂曲線比較

從圖6可以清楚地看到，變步長算法相對(duì)于固定步長算法在收斂速度上有極大的提升。與其他類型變步長LMS算法相比，本文算法在穩(wěn)態(tài)誤差和收斂速度上有較大改進(jìn)。本文提出的算法相對(duì)于文獻(xiàn)[3]提出的sech-LMS算法，在穩(wěn)態(tài)誤差不增大的情況下，收斂速度上有較大提升。

4 結(jié) 語

根據(jù)變步長算法的步長因子調(diào)整原則，在原有基于雙曲正割函數(shù)LMS算法的基礎(chǔ)上，通過函數(shù)變形和引入調(diào)節(jié)參數(shù)，提出一種新的變步長LMS算法。通過理論分析和實(shí)驗(yàn)仿真，闡述了參數(shù)選取的方法，并將本文算法與其他算法一同應(yīng)用在系統(tǒng)辨識(shí)中。經(jīng)過實(shí)驗(yàn)仿真，證明本文所提出的算法確實(shí)能取得較快的收斂速度和較小穩(wěn)態(tài)誤差。但是，該算法在時(shí)變系統(tǒng)中的跟蹤能力有待進(jìn)一步的研究，以提出同時(shí)擁有較快收斂速度、較小穩(wěn)態(tài)誤差和較強(qiáng)跟蹤能力的算法。

[1] Widrow B,Mccool J M,Arimoer M G. Stationary and NonStationary Learning Characteristics of the LMS Adaptive Filter [J]. Proceedings of the IEEE,1976, 64(08):1151-1162.

[2] 張炳婷,趙建平,馬淑麗.新的變步長LMS算法在系統(tǒng)辨識(shí)中的應(yīng)用[J].通信技術(shù),2015,48(06):653-656. ZHANG Bing-ting,ZHAO JIAN-ping,MA Shuli. Application of Novel Variable Step Size LMS Algorithm in System Identification [J]. Communication Technology,2015,48(06):653-656.

[3] 呂春英,敖偉,張洪順.一種新的變步長LMS算法[J].通信技術(shù),2011,44(03):11-14. LV Chun-ying,AO Wei,ZHANG Hong-shun. A New Variable Step-Size LMS Algorithm [J]. Communication Technology,2011,44(03):11-14.

[4] 孟小猛.自適應(yīng)濾波算法研究及應(yīng)用[D].北京:北京郵電大學(xué),2010. MENG Xiao-meng. The Research And Application Of Adaptive Filtering Algorithm [D].Beijing:Beijing University Of Posts And Telecommunications,2010.

[5] 覃景繁,歐陽景正.一種新的變步長LMS自適應(yīng)濾波算法[J].數(shù)據(jù)采集與處理,1997,12(03):171-174. TAN Jing-fan,OUYANG Jing-zheng. A New Variable Step-Size LMS Adaptive Filtering Algorithm [J].Journal of Data Acquisition & Processing,1997, 12(03):171-174.

[6] 高鷹,謝勝利.一種變步長LMS自適應(yīng)濾波算法及分析[J].電子學(xué)報(bào),2001,29(08):1094-1097. GAO Ying,XIE Sheng-Li. A Variable Step Size LMS Adaptive Filtering Algorithm and Its Analysis [J]. ACTC Electronica Sinica,2011,29(08): 1094-1097.

[7] 呂強(qiáng),馮馳.一種變步長LMS算法及其Matlab仿真[J].應(yīng)用科技,2006,33(06):80-82. LV Qiang,FENG Chi. A Variable Step Size LMS Algorithm and Its Matlab Simulation [J]. Apllied Science and Technology,2006,33(06):80-82.

王 蒙（1990—），男，碩士研究生，主要研究方向?yàn)闊o線通信技術(shù)；

趙建平（1964—），男，學(xué)士，教授，主要研究方向?yàn)闊o線通信技術(shù)；

張炳婷（1990—），女，碩士研究生，主要研究方向?yàn)闊o線通信技術(shù)。

A variable step size LMS algorithm based on hyperbolic secant function

WANG Meng,ZHAO Jian-ping,ZHANG Bing-ting
（College of Physics Engineering,Qufu Normal University,Qufu Shandong 273165,China）

On the basis of variable step size adaptive algorithm, combined with the hyperbolic secant function, it establishes a new nonlinear function relationship between the step size μ and the error signale(n), and then put forward a new variable step size minimum mean square error (LMS) algorithm, to solve the contradiction between the convergence speed and the steady-state error of the fixed step size algorithm .In this paper, the basic principle of the new algorithm is described in detail, and the key parameters of the algorithm are selected to analyze the impact of filtering performance, and give the method of determining the key parameters of the algorithm. By the experimental simulation in system identification, the algorithm has good performance.

LMS algorithm;Hyperbolic secant;Convergence speed;Steady-state error

TN911.7

：A

：1002-0802(2016)-06-0668-05

10.3969/j.issn.1002-0802.2016.06.004

2016-02-10;

：2016-05-06 Received date:2016-02-10;Revised date:2016-05-06

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（No.11404185）；山東省高等學(xué)校科技計(jì)劃項(xiàng)目資助（No.J12LN08）；曲阜師范大學(xué)技術(shù)開發(fā)項(xiàng)目（No.hxkj2015017）

Foundation Item: National Natural Science Foundation of China(No.11404185); Supported by the Science and Technology Project of Higher Education of Shandong Province(No.J12LN08); Qufu Normal University Technology Development Project（No.hxkj2015017）