卜 璞，李朝奎，廖孟光

(1. 湖南科技大學(xué)地理空間信息技術(shù)國家地方聯(lián)合工程實驗室，湖南 湘潭 411201； 2. 湖南科技大學(xué)地理空間信息湖南省工程實驗室，湖南 湘潭 411201)

改進GM(1,1)模型在建筑沉降變形觀測中的應(yīng)用

卜 璞1，2，李朝奎1，2，廖孟光1，2

(1. 湖南科技大學(xué)地理空間信息技術(shù)國家地方聯(lián)合工程實驗室，湖南 湘潭 411201； 2. 湖南科技大學(xué)地理空間信息湖南省工程實驗室，湖南 湘潭 411201)

灰色預(yù)測模型GM(1,1)的建模思想是：原始序列(非負序列)經(jīng)過一次累加生成后，形成一個單調(diào)遞增數(shù)列，新序列中各數(shù)據(jù)點的連線可以用指數(shù)函數(shù)y=aebx進行擬合。根據(jù)這個指數(shù)函數(shù)可以推導(dǎo)出下一個累加值的預(yù)測值(即第一個預(yù)測期)，最后通過累減生成將累加序列預(yù)測值還原為原始序列預(yù)測值。本文通過對原始序列進行指數(shù)—冪函數(shù)變換，增加了原始序列的光滑度；并在灰參數(shù)求取過程中對原始序列賦以權(quán)重，利用迭代計算的方法推導(dǎo)出了模型精確背景值；最后通過使預(yù)測序列殘差平方和最小的方法計算出最優(yōu)初始條件，進而提出了一個改進后的GM(1，1)模型。利用改進后GM(1,1)模型對某大廈沉降監(jiān)測數(shù)據(jù)進行模擬與分析，并對改進前后的模型進行對比與分析，結(jié)果表明，改進后模型的各項精度因子相比于傳統(tǒng)模型均有所提高，且時間序列越往后的預(yù)測值，精度越高。

變形監(jiān)測；灰色系統(tǒng)理論；預(yù)測模型；灰色改進模型

近年來我國經(jīng)濟騰飛，高大建筑物如雨后春筍般不斷增加。為了保證建筑物可以正常使用及其安全性，對其建設(shè)及使用、維護過程進行系統(tǒng)的監(jiān)測是十分必要的。20世紀80年代初，我國著名學(xué)者鄧聚龍教授提出了灰色系統(tǒng)理論[1]?；疑到y(tǒng)理論的研究對象是灰色系統(tǒng)中分析、建模、預(yù)測、決策和控制的理論問題，經(jīng)過多年的發(fā)展，這一理論已應(yīng)用到社會科學(xué)與自然科學(xué)的眾多領(lǐng)域中。

對灰色系統(tǒng)理論進行各種優(yōu)化，建立新的算法模型解決問題有許多途徑。邵紅梅等通過研究初值選取對預(yù)測精度的影響構(gòu)建了初值修正模型，文中雖然討論了幾種優(yōu)化模型，但均基于初始值的選取，而沒有考慮其他參數(shù)對模型精度的影響，優(yōu)化效果提高不明顯[2-3]。徐寧等根據(jù)背景值構(gòu)造應(yīng)滿足無偏性和最小性的要求，針對滿足指數(shù)增長規(guī)律的原始序列提出了新的模型算法[4]。蔣詩泉等利用函數(shù)逼近思想結(jié)合復(fù)化梯形公式提出了新的模型[5]。這兩種方法均基于對背景值進行合理選擇，但沒有考慮到初始值的優(yōu)化方案，如果初值選取不當會影響優(yōu)化效果。

本文結(jié)合初值選取和背景值構(gòu)造思想，通過對模型的初始條件增加附加因子、對背景值最小誤差進行優(yōu)化，建立綜合模型，以提高GM(1,1)模型的預(yù)測精度。

一、傳統(tǒng)GM(1,1)模型在建模過程中存在的問題

1. 傳統(tǒng)模型中原始序列光滑度的問題

定理：一階累加生成序列x(1)滿足指數(shù)函數(shù)規(guī)律Aeak+B的充要條件是原始序列x(0)服從指數(shù)函數(shù)Mea(k-1)，x(0)(1)可以例外。

這個定理表明，在建立GM(1,1)模型時，就已經(jīng)默認一階累加序列服從指數(shù)分布規(guī)律，也即假設(shè)了原始序列服從指數(shù)分布規(guī)律[6]。

2. 傳統(tǒng)模型中背景值有偏的問題

(1)

(2)

綜上所述，灰色模型微分方程的離散形式可以表示為

(3)

式(3)變形后得到

(4)

根據(jù)微分方程的特解

(5)

可以解得λk的表達式為

(6)

可以看出，λk是與發(fā)展系數(shù)a有關(guān)的常數(shù)。

并且有

3. 傳統(tǒng)模型中初始值選取的問題

傳統(tǒng)GM(1,1)模型最終的響應(yīng)函數(shù)為

(7)

二、改進后GM(1,1)模型的建模過程

根據(jù)前文中提到的傳統(tǒng)灰色建模方法中出現(xiàn)的問題，結(jié)合筆者的研究，提出一種改進后的灰色預(yù)測模型的建模方法。

1. 數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換

之前已經(jīng)證明，只有當原始序列中的數(shù)據(jù)服從指數(shù)函數(shù)分布規(guī)律時，累加生成才能達到弱化隨機性、強化規(guī)律性的目的，但在實際的變形監(jiān)測數(shù)據(jù)中，數(shù)據(jù)點往往是離散分布，因此必須對原始序列進行轉(zhuǎn)換之后再進行建模。比較常見的變換方法有加權(quán)變換、指數(shù)變換、對數(shù)變換、t次方根變換、對數(shù)—冪函數(shù)變換、動態(tài)擺動指數(shù)變換、黃金分割變換等[7]。

(1) 定義

本文選擇對數(shù)—冪函數(shù)變換作為建模前數(shù)據(jù)變換的方法。

(2) 定理

(8)

上述定理表明，經(jīng)過對數(shù)—冪函數(shù)變換的序列的光滑度要高于原始序列的光滑度。

2. 求取最優(yōu)背景值

(9)

式中

(10)

利用新算出的發(fā)展系數(shù)a可以繼續(xù)計算背景值系數(shù)λ，如此循環(huán)計算，直到λ收斂至要求的精度為止。

3. 求取最優(yōu)初始條件

對于模型最優(yōu)初值條件的選取，采用徐濤[9]推導(dǎo)的過程，改進模型的時間相應(yīng)函數(shù)設(shè)為

(11)

令

(12)

則時間相應(yīng)函數(shù)可寫為

(13)

用S來表示預(yù)測模型的殘差平方和

(14)

解上述方程可得

(15)

4. 建立最終模型

(16)

最后，根據(jù)灰色預(yù)測模型精度判定的原理，計算出模型的精度判定因子C、P，計算結(jié)束。

三、應(yīng)用實例

某大廈項目是2004年7月在香港經(jīng)貿(mào)洽談會上簽訂的昆明市重點開發(fā)項目之一，總建筑面積71 886 m2，地上9層，地下2層。該建筑物總高度為50.3 m，地下室埋置深度為11.9 m。根據(jù)現(xiàn)場情況確認某大廈與周邊5棟主要建筑鄰接。大廈基坑距周圍5棟主要建筑物距離偏小(10 m以內(nèi))，都處于影響范圍內(nèi)，而基坑開挖深度又較大(12 m)。因此，大廈的施工勢必對其周邊造成較大影響，必須對某大廈周邊主要建筑物及地表的沉降變形進行嚴格監(jiān)控，確保大廈周邊建筑物及地表各類管線的穩(wěn)定和安全。

該沉降觀測從2005年3月開始，到2006年4月結(jié)束，歷時一年多，累積沉降觀測數(shù)據(jù)32期。鑒于與預(yù)測時間越近的數(shù)據(jù)對研究未來趨勢的影響越大，并且灰色模型為少數(shù)據(jù)建模，選用某一觀測點2005年7月8日—2006年4月22日的17期數(shù)據(jù)為數(shù)據(jù)背景，對灰色改進模型進行研究。

本文分別用傳統(tǒng)灰色模型與改進后灰色模型對沉降數(shù)據(jù)進行模擬，兩種模型得到的模擬結(jié)果與精度見表1。原始序列與模擬序列比較如圖1所示。

對于一般精度要求的工程,絕對沉降的觀測中誤差可按低、中、高壓縮性地基土的類別,分別選±0.5、±1.0、±2.5 mm。根據(jù)該大廈沉降觀測實際情況,取絕對沉降觀測中誤差為±1.0 mm,容許誤差為±2.0 mm。從表1及圖1中可以看出，原始GM(1,1)模型與改進后GM(1,1)模型的模擬精度都可達到要求，改進后模型的各項精度指標明顯高于傳統(tǒng)模型，模擬值的殘差隨時間推移不斷減小，說明模型的精度在逐漸提高。

四、結(jié) 論

本文對傳統(tǒng)GM(1，1)模型的建模機理進行了分析，通過對原始序列進行指數(shù)—冪函數(shù)變換，增加了原始序列的光滑度，使累加序列更加服從指數(shù)分布規(guī)律；從分析背景值有偏的原因入手，在灰參數(shù)求取過程中對原始序列賦以權(quán)重，利用迭代計算的方法推導(dǎo)出模型精確背景值；通過使預(yù)測序列殘差平方和最小的方法，根據(jù)最小二乘原理，計算出最優(yōu)初始條件，進而提出了一個改進后的GM(1，1)模型。利用新舊模型對同一組數(shù)據(jù)的模擬結(jié)果進行對比分析，結(jié)果表明改進模型在精度上有明顯提高。這對于完善和拓展GM(1，1)模型具有積極的意義。

表1 原始GM(1,1)模型與改進后GM(1,1)模型模擬效果對比 mm

圖1 原始序列與模擬序列比較

[1] 鄧聚龍.灰色系統(tǒng)理論教程[M].武漢:華中科技大學(xué)出版社,1990.

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[5] 蔣詩泉,劉思峰,周興才.基于復(fù)化梯形公式的 GM(1,1)模型背景值的優(yōu)化[J].控制與決策, 2014, 29(12): 2221-2225.

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The Application of the Improved Grey Prediction Model on Buildings Deformation Monitoring

BU Pu,LI Chaokui,LIAO Mengguang

2016-01-23

國家自然科學(xué)基金(41271390；41571374)；空間信息智能感知與服務(wù)深圳市重點實驗室(深圳大學(xué))開放基金

卜 璞(1988—)，男，博士生，主要研究方向為測量數(shù)據(jù)處理與三維地理建模。E-mail：pup1988@126.com

卜璞，李朝奎，廖孟光.改進GM(1,1)模型在建筑沉降變形觀測中的應(yīng)用[J].測繪通報，2016(12)：60-63.

10.13474/j.cnki.11-2246.2016.0402.

P258

B

0494-0911(2016)12-0060-04