汪可馨

(蘭州理工大學(xué)生命科學(xué)與工程學(xué)院，甘肅 蘭州 730050)

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基于Matlab的矩形載流線框磁場分布特征的仿真分析

汪可馨

(蘭州理工大學(xué)生命科學(xué)與工程學(xué)院，甘肅 蘭州 730050)

為了研究矩形載流線框的空間磁場分布特征，本文運(yùn)用畢奧-薩伐爾定律和磁場疊加原理推導(dǎo)出空間某點(diǎn)處磁感應(yīng)強(qiáng)度的計(jì)算公式，再利用Matlab軟件編制程序，通過循環(huán)求和實(shí)現(xiàn)磁場的數(shù)值計(jì)算.在此基礎(chǔ)上，以單匝矩形載流線框?yàn)閷?duì)象，數(shù)值計(jì)算了其空間磁場分布，繪出了多種條件下磁場的分布圖像，進(jìn)而通過對(duì)比分析得到了磁場的空間分布特征，并進(jìn)一步對(duì)平行放置的兩個(gè)矩形載流線框軸線上的磁場分布特征進(jìn)行了仿真分析.編制的計(jì)算程序及分析所得的結(jié)論可為實(shí)際工程應(yīng)用提供參考.

矩形載流線框；磁感應(yīng)強(qiáng)度；數(shù)值計(jì)算；分布特征；仿真

在工業(yè)生產(chǎn)領(lǐng)域，載流線圈是大量電工設(shè)備中不可缺少的裝置，也是科學(xué)研究中最常用的一種電磁體[1-3].在載流線圈電磁體的設(shè)計(jì)與研制中，常需要計(jì)算線圈的磁場分布[4，5].由于矩形磁系應(yīng)用十分廣泛[6，7]，本文針對(duì)矩形載流線框的特殊結(jié)構(gòu)，以畢奧-薩伐爾定律為基礎(chǔ)，結(jié)合磁場的疊加原理，通過將矩形載流線框分割成無數(shù)電流微元，再將微元磁場疊加求和得到空間任意場點(diǎn)處磁場的計(jì)算公式，并利用Matlab軟件編程實(shí)現(xiàn)磁場的數(shù)值計(jì)算，進(jìn)而繪制出一定條件下的磁場分布圖，從而直觀地獲得矩形線框磁場的空間分布特征.在此基礎(chǔ)上，進(jìn)一步對(duì)兩個(gè)平行放置的矩形載流線框的磁場分布特征進(jìn)行仿真分析.分析所得結(jié)論有利于實(shí)際工程應(yīng)用，所編制的數(shù)值計(jì)算程序也可用于多匝矩形線框磁場數(shù)值計(jì)算，經(jīng)過一定的修改還可用于其他形狀載流線圈磁場的數(shù)值計(jì)算.

1 磁感應(yīng)強(qiáng)度的計(jì)算原理及方法

如圖1所示建立空間直角坐標(biāo)系.為計(jì)算方便，現(xiàn)將一邊長為a、載有電流I的正方形線框放置在xOy平面上.矩形線框分成OA、AB、BC和CO4根通電導(dǎo)線.現(xiàn)將每根通電導(dǎo)線劃分成N段，N很大，則每一小段均可視為一電流微元Idl.假設(shè)電流元位于矩形線框上P0(x0,y0,0)點(diǎn)，則它在空間內(nèi)任意一場點(diǎn)P(x,y,z)處產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度可由畢奧-薩伐爾定律計(jì)算得：

(1)

其中：r=(x-x0)i+(y-y0)j+z k，r=[(x-x0)2+(y-y0)2+z2]3/2.

圖1 單匝矩形載流線框

由此可分別寫出矩形載流線框上4段通電導(dǎo)線上的任一電流元在場點(diǎn)P處產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度如下：

OA段上：

(2)

AB段上：

(3)

BC段上：

(4)

CO段上：

(5)

根據(jù)疊加原理，整個(gè)矩形載流線框在P點(diǎn)產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度為

(6)

得到式(6)后，我們可以利用Matlab編程實(shí)現(xiàn)式中復(fù)雜的疊加求和過程.以AB段為例，計(jì)算BAB的程序流程圖如圖2所示.類似地計(jì)算出4段導(dǎo)線分別產(chǎn)生的磁場后，求和即可得到載流線圈所產(chǎn)生的空間磁場分布.

圖2 磁場數(shù)值計(jì)算流程圖

2 單個(gè)載流線框磁場分布特征的仿真分析

2.1 與線框平面平行的平面上的磁場分布

假設(shè)正方形邊長a=10.0m；電流大小I=1.0A，電流流向?yàn)槟鏁r(shí)針；積分中取電流元的長度微元為dl=0.01m，也就是N=1000.分別計(jì)算z為0、0.2m、2.0m、5.0m的平面上的磁場分布，如圖3(a)、(b)、(c)、(d)所示.場域平面上x和y都在0.1m到9.9m之間每間隔0.1m進(jìn)行取值.計(jì)算程序見附件中Bcal1.m文件.

圖3 與通電線框平行的平面上的磁場分布

由圖可見：

(1) 在平行于線框平面的場域平面上，磁場有明顯的分布特征，而且該特征隨與線框平面的垂直距離的不同而不同.從圖3(a)、(b)、(c)、(d)明顯可見，與線框平面的垂直距離較小時(shí)，四角處磁場的量值大于中央?yún)^(qū)域，且距離越小，四角處磁場量值變化越劇烈；垂直距離較大時(shí)，中央?yún)^(qū)域的磁場量值大于四角處磁場，幾何中心的磁場量值最大，且隨著距離的增加，磁場分布特征基本不再有較大變化.

(2) 隨與線框平面的垂直距離的增加，各場點(diǎn)的磁場量值不斷減小，這一點(diǎn)是符合磁場強(qiáng)度的大小隨場點(diǎn)、源點(diǎn)間距的增加而減少的普遍規(guī)律的.

(3) 在平行于線框平面的場域平面上，磁場有明顯的軸對(duì)稱性，這是由載流線框的對(duì)稱性決定的.

2.2 與線框平面垂直的平面上的磁場分布

固定場點(diǎn)的x值，y在0.1m到9.9m之間每相隔0.1m進(jìn)行取值，z在-10.0m到10.0m之間每相隔1.0m進(jìn)行取值，即得到與線框平面垂直的平面上的磁場分布.現(xiàn)將x分別取0.1m和5.0m，得到平面上的磁場分布如圖4(a)、(b)所示.計(jì)算程序見附件中Bcal2.m文件.

圖4 與線框平面垂直的平面上的磁場分布

由圖可見，

(1) 矩形線圈的空間磁場分布關(guān)于z=0的平面(即線框平面)對(duì)稱，且在一個(gè)垂直平面內(nèi)，磁場分布關(guān)于z=5.0m的平面對(duì)稱，這與載流線框的空間對(duì)稱性相一致.

(2) 結(jié)合圖1可見，z較小時(shí)，y=0m和10m處的磁場(即靠近線框邊緣處的磁場)要強(qiáng)于y=5.0m(即中央?yún)^(qū)域處)的磁場，且x=0.1m的平面(即靠近線框邊緣的垂直平面)上磁場均強(qiáng)于x=5.0m的平面(即中央?yún)^(qū)域的垂直平面)上對(duì)應(yīng)點(diǎn)的磁場，這些特征與圖3體現(xiàn)出來的磁場分布特征是相吻合的.

2.3 磁感線的特征

磁感線是在磁場中畫出而實(shí)際不存在的一些有方向的曲線，用以形象地描繪磁場分布.本文借用Matlab的畫圖工具，引入quiver函數(shù)配合箭頭繪制出磁感線示意圖.取x=5.0m的平面，y在-15.0m到25.0m之間每相隔1m進(jìn)行取值，z在-10.0m到10.0m之間每相隔1m進(jìn)行取值，scale值取1.5，畫出該平面上的磁感線分布示意圖，如圖5所示.計(jì)算程序見附件中Bcal3.m文件.

圖5 x=5m平面上的磁感線示意圖

(1) 仿真出來的磁感線關(guān)于y=5m及z=0這條線軸對(duì)稱，且形成了閉合曲線.前者與載流線框的幾何對(duì)稱性相一致，后者則符合磁感線的基本性質(zhì).

(2) x=5.0m的平面是載流線框的中垂面，在該平面上，z=0m且y=0m、y=10m處正是載流導(dǎo)線經(jīng)過的地方，由圖5可見，這兩個(gè)位置正好是閉合磁感線的中心位置，這與磁感線與電流相互環(huán)套的基本規(guī)律是一致的.

(3) 結(jié)合圖1的電流流向，可見圖5所示的載流線框空間中的磁場方向與電流呈右手螺旋關(guān)系，這與磁感線與電流方向呈右手螺旋的基本規(guī)律是一致的.

2.4 磁場分量的分布特征

為了完整描述單個(gè)載流線框空間磁場分布特征，本文又對(duì)磁場在各方向上分量的分布特征進(jìn)行了仿真分析，以對(duì)總體特征進(jìn)行補(bǔ)充.

以在z=3.0m的平面上的磁場分布為例，分別對(duì)該平面上的磁場3個(gè)分量及總磁場進(jìn)行仿真，然后進(jìn)行對(duì)比分析，如圖6(a)、(b)、(c)、(d)所示.計(jì)算程序見附件中Bcal4.m文件.

圖6 z=3平面上的磁場分布

由圖可見：

(1) 3個(gè)方向的磁場分量分別都具有一定的對(duì)稱性，這是與載流線框本身的對(duì)稱性有關(guān)的.

(2) 從圖6各圖不難發(fā)現(xiàn)，Bz的空間分布特征與總磁場幾乎一致，也就是說，x和y方向上的磁感應(yīng)強(qiáng)度分量對(duì)總磁場貢獻(xiàn)不大，總磁場主要由z方向上的分量來決定.

3 兩個(gè)矩形載流線框其軸線上的磁場分布及特征

現(xiàn)在原有基礎(chǔ)上添加一相同的矩形線框，與其相距一定距離平行放置，如圖7所示.設(shè)z1為兩線框間距離.現(xiàn)研究x=5、y=5這條軸線上磁場的分布特征.在程序中引入plot函數(shù)同時(shí)畫出線框一、線框二及合成磁場的磁場分布的二維曲線.計(jì)算程序見附件中Bcal5.m文件.

圖7 雙矩形載流線框

改變兩線框的距離，分別取z1=2m、5m、10m時(shí)，軸線上的磁場分布，如圖8(a)、(b)、(c)所示.

圖8 雙平行矩形載流線框中軸線上的磁場分布

由圖可見：

(1) 當(dāng)兩線框之間的距離z1值較小時(shí)，合成磁場只有一個(gè)峰值，兩線框之間的磁場近似是均勻磁場，如圖8(b)中z在0～5m之間的區(qū)域.隨著兩線框之間距離增大，近似均勻磁場區(qū)域變寬，曲線峰值降低，并逐漸出現(xiàn)兩個(gè)峰值.

(2) 結(jié)合圖3所示的平面上的磁場分布特征，顯然可以利用相隔一定距離的雙平行矩形載流線框，在其中軸線中心附近產(chǎn)生近似勻強(qiáng)磁場區(qū)域.這一點(diǎn)類似于常見的亥姆霍茲線圈，因此也可在某些需要近似勻強(qiáng)磁場的場合獲得應(yīng)用.

4 結(jié)語

本文從畢奧-薩伐爾定律出發(fā)，將矩形載流線框分為4段通電直導(dǎo)線，分別計(jì)算單根通電導(dǎo)線的磁場后根據(jù)疊加原理進(jìn)行疊加.先推導(dǎo)了具體計(jì)算公式，后編制了Matlab程序并對(duì)各種條件下的磁場分布圖進(jìn)行了仿真.為了能更直觀地了解到矩形載流線框的磁場分布特征，本文大多采用三維曲面圖來著重體現(xiàn).出于工程應(yīng)用的需要，本文還簡單分析了雙矩形線框的特殊情況.

仿真及對(duì)比分析可得到如下重要結(jié)論：

(1) 隨著到載流線框平面的垂直距離(即z值)的變化，磁感應(yīng)強(qiáng)度量值的空間分布有固定的變化趨勢(shì)，即：隨z值增大，四角處磁感應(yīng)強(qiáng)從最大變化到最小，中央處磁感應(yīng)強(qiáng)度從最小變化至最大.隨后保持中央最大這一特點(diǎn)，量值分布特征再無較大改變.當(dāng)然，隨z值增大，由于場點(diǎn)離線框相對(duì)位置越來越遠(yuǎn)，整體磁場量值都在變小，這一點(diǎn)是必然的.

(2) 單匝矩形載流線框所產(chǎn)生的總磁場量值分布特征主要由其z方向分量的分布特征決定，x、y方向上分量的貢獻(xiàn)小.

(3) 雙平行矩形載流線框軸線上的磁感應(yīng)強(qiáng)度分布與常見的亥姆霍茲線圈類似，可以利用相隔一定距離的雙平行矩形載流線框，在其幾何中心產(chǎn)生近似勻強(qiáng)磁場區(qū)域.

上述研究所得結(jié)論可為實(shí)際工程應(yīng)用提供一定的參考；同時(shí)所編制的數(shù)值計(jì)算程序經(jīng)過一定的修改也可用于多匝矩形線框及其他形狀的載流線圈磁場的數(shù)值計(jì)算.

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THE SIMULATION ANALYSIS OF THE MAGNETIC-FIELD PRODUCED BY RECTANGULAR COIL BASED ON MATLAB

Wang Kexin

(School of Life Science and Engineering, Lanzhou University of Technology, Lanzhou, Gansu 730050)

Designed to research the characteristics of the magnetic-field distribution produced by a rectangular coil carrying current, the biot-savart law and superposition principle of the magnetic field have been used to deduce the specific calculation formula of magnetic induction intensity at a certain point in space and the numerical calculation has been realized by programming with Matlab software through cyclic summing. Based on the above works, the magnetic field produced by a single-turn rectangular coil has been calculated and the distribution images of the magnetic field have been presented under various conditions, then the distribution characteristics of magnetic field have been obtained through the comparative analysis. Furthermore, the magnetic field distribution characteristics of the two rectangular coils carrying current placed in parallel have been simulated and analyzed. The written computational program and the research conclusion can provide reference for practical engineering application.

rectangular coil carrying current; intensity of magnetic-field; numerical calculation; characteristic of distribution; simulation

2016-07-12；

2016-08-11

汪可馨,女,本科二年級(jí)學(xué)生.384791656@qq.com

汪可馨. 基于Matlab的矩形載流線框磁場分布特征的仿真分析[J]. 物理與工程，2016，26(6)：106-111,116.