基于微慣導(dǎo)隨機(jī)誤差時(shí)間序列建模的改進(jìn)組合導(dǎo)航方法*

王鼎杰，呂漢峰，吳 杰

(國防科技大學(xué) 航天科學(xué)與工程學(xué)院， 湖南 長沙 410073)

基于微慣導(dǎo)隨機(jī)誤差時(shí)間序列建模的改進(jìn)組合導(dǎo)航方法*

王鼎杰，呂漢峰，吳 杰

(國防科技大學(xué) 航天科學(xué)與工程學(xué)院， 湖南 長沙 410073)

針對(duì)低精度、低成本微機(jī)電慣性測(cè)量單元隨機(jī)誤差建模效果不理想會(huì)極大影響組合導(dǎo)航性能的難題，采用時(shí)間序列分析方法建立了微機(jī)電慣性測(cè)量單元隨機(jī)誤差的自回歸滑動(dòng)平均模型，通過對(duì)卡爾曼濾波器的狀態(tài)變量進(jìn)行增廣，建立系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程和觀測(cè)方程，實(shí)現(xiàn)對(duì)零偏誤差的在線估計(jì)。實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)分析驗(yàn)證了該隨機(jī)誤差建模的有效性。實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)處理結(jié)果表明，該方法能夠顯著提高低成本微慣性解算外推精度，增強(qiáng)微慣性/衛(wèi)星組合導(dǎo)航可靠性。

微機(jī)電系統(tǒng)；慣性測(cè)量單元；隨機(jī)建模；自回歸滑動(dòng)平均；擴(kuò)展卡爾曼濾波

不同于傳統(tǒng)捷聯(lián)慣性導(dǎo)航系統(tǒng)(Strap-down Inertial Navigation System, SINS)，微機(jī)電(Micro-Electro-Mechanical System, MEMS)慣性測(cè)量單元(MEMS-based Inertial Measurement Unit, MIMU)是一種基于微機(jī)電技術(shù)，具有小體積、輕質(zhì)量、粗放制作、快速啟動(dòng)、低成本、大批量、高可靠性等優(yōu)點(diǎn)的航位遞推系統(tǒng)，這些優(yōu)勢(shì)使得MIMU正廣泛應(yīng)用于智能交通、微納衛(wèi)星、小型無人機(jī)、自主機(jī)器人和智能彈藥等領(lǐng)域的導(dǎo)航定位[1-2]。MIMU面臨的主要困難在于其惡劣的輸出穩(wěn)定性、熱敏感性和噪聲特性，這些惡劣的特性嚴(yán)重地限制了MIMU在高精度、高可靠導(dǎo)航領(lǐng)域中的應(yīng)用。然而，MIMU的性價(jià)比和廣泛適用性優(yōu)勢(shì)值得人們思考并設(shè)計(jì)有效的方法來進(jìn)一步提高其導(dǎo)航精度、擴(kuò)展其應(yīng)用領(lǐng)域。

將慣性測(cè)量單元(Inertial Measurement Unit, IMU)敏感載體(如車輛或飛行器)運(yùn)動(dòng)的視速度增量和角度增量積分可獲得其位置、速度、姿態(tài)等實(shí)時(shí)全維導(dǎo)航信息，但I(xiàn)MU測(cè)量值常被諸如傳感器噪聲、標(biāo)度因子、零偏不穩(wěn)定性等不同類型的噪聲所污染。慣性導(dǎo)航解算中的積分運(yùn)算會(huì)將這些誤差累積，導(dǎo)致解算位置和速度顯著偏移，使MIMU難以做到長時(shí)間精確導(dǎo)航[3]。因此，導(dǎo)航狀態(tài)的精確估計(jì)要求對(duì)慣性測(cè)量噪聲進(jìn)行精確建模。

目前，隨機(jī)噪聲的建模方法主要分為頻域方法和時(shí)域方法兩大類[4-5]。頻域法主要是使用功率譜密度(Power Spectral Density, PSD)函數(shù)估計(jì)噪聲在白噪聲激勵(lì)下的傳遞函數(shù)模型，該方法難以實(shí)時(shí)估計(jì)。時(shí)域隨機(jī)噪聲建模方法有自相關(guān)函數(shù)法、自回歸滑動(dòng)平均(Auto-Regressive Moving-Average, ARMA)建模方法和Allan方差分析方法。自相關(guān)函數(shù)與功率譜密度函數(shù)是傅里葉變換對(duì)，故兩種方法完全對(duì)偶[4]。ARMA建模方法將自協(xié)方差與差分方程系數(shù)聯(lián)系起來，將隨機(jī)噪聲表示為ARMA過程。這種模型的優(yōu)點(diǎn)是建模簡單，易于理解，從數(shù)據(jù)本身的相關(guān)性出發(fā)，但是模型對(duì)參數(shù)敏感且不適于處理奇功率譜過程、高階過程或大動(dòng)態(tài)范圍的過程[5]。Allan方差分析方法則是把均方根(Root Mean Square, RMS)隨機(jī)誤差表示為相關(guān)時(shí)間的函數(shù)，該方法能夠確定數(shù)據(jù)噪聲中潛在的隨機(jī)誤差類型和特性，目前已經(jīng)作為標(biāo)準(zhǔn)寫入激光陀螺噪聲分析的IEEE Standard[4,6]，該方法的缺點(diǎn)是噪聲建模維數(shù)過高，不利于后續(xù)處理。

為了提高M(jìn)IMU自主導(dǎo)航精度，國內(nèi)外學(xué)者在MIMU誤差在線標(biāo)定、隨機(jī)誤差建模、補(bǔ)償和濾波等領(lǐng)域展開了大量研究工作。Xing[2]指出，低成本MEMS加速度計(jì)和陀螺儀零偏誤差可表示為加表和陀螺零偏量的隨機(jī)常數(shù)部分、一階高斯-馬爾科夫過程近似零偏以及零偏濾波增量三個(gè)隨機(jī)過程之和。Jacques等[7]采用高階自回歸(Auto-Regressive, AR)模型實(shí)現(xiàn)MIMU隨機(jī)建模。以上兩種方法均會(huì)擴(kuò)大濾波器狀態(tài)維數(shù)，可能導(dǎo)致濾波不穩(wěn)定甚至發(fā)散。Minha[8]采用ARMA模型分析了MIMU誤差源，但未給出隨機(jī)誤差模型的定量描述。文獻(xiàn)[9-11]利用ARMA模型分析微機(jī)電陀螺/光纖陀螺零偏，但未對(duì)模型進(jìn)行動(dòng)態(tài)實(shí)驗(yàn)檢驗(yàn)，且當(dāng)信息量較大時(shí)，計(jì)算量增大、計(jì)算精度下降。目前，基于AR模型和高斯-馬爾科夫模型的低成本MIMU隨機(jī)誤差建模參與組合導(dǎo)航時(shí)，在全球?qū)Ш叫l(wèi)星系統(tǒng)(Global Navigation Satellite System, GNSS)中斷10 s的條件下其單向外推精度為15 m(1σ)[8, 12]。

1 MIMU靜態(tài)數(shù)據(jù)ARMA建模

以z軸MEMS陀螺為例，其他軸向的加表和陀螺可采用相同方法分析，不再贅述。通過對(duì)MEMS陀螺z軸(敏感地球自轉(zhuǎn)角速度的軸向)靜態(tài)輸出數(shù)據(jù)扣除常數(shù)項(xiàng)后，得到的時(shí)間序列{xt}的物理意義是陀螺零偏噪聲。采用ARMA模型，將零均值平穩(wěn)隨機(jī)序列{xt}表示為線性差分方程的形式：

xt-φ1xt-1-…-φNxt-N=at-θ1at-1-…-θMat-M

(1)

式中，N和M是ARMA(N,M)模型參數(shù)，at是白噪聲序列，φi和θj分別是模型AR部分和滑動(dòng)平均(Moving Average, MA)部分參數(shù)，N表示模型階。

采用型號(hào)為ADIS16405的低成本MIMU來收集動(dòng)態(tài)慣性測(cè)量數(shù)據(jù)，該MIMU性能參數(shù)見表1。

表1 MIMU噪聲參數(shù)Tab.1 Noise parameter of MIMU

1.1 數(shù)據(jù)特性檢驗(yàn)

運(yùn)用假設(shè)檢驗(yàn)方法，可檢驗(yàn)時(shí)間序列的平穩(wěn)性與正態(tài)性，這是進(jìn)行ARMA建模的前提。

1.1.1 平穩(wěn)性檢驗(yàn)

平穩(wěn)性是指寬平穩(wěn)性，即隨機(jī)過程的均值和方差為常數(shù)，且其自協(xié)方差函數(shù)只與時(shí)間間隔有關(guān)而不依賴時(shí)間長度。z軸陀螺靜態(tài)輸出時(shí)間序列散點(diǎn)圖如圖1所示，由圖1初步判斷該時(shí)間序列接近一個(gè)平穩(wěn)序列。進(jìn)一步對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行擴(kuò)展迪基-富勒(Augmented Dickey-Fuller，ADF)單位根檢驗(yàn)[13]，其檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量值為-110.175 3，小于ADF表中1%～10%水平的所有臨界值，因此拒絕原假設(shè)，認(rèn)為原始序列是符合平穩(wěn)性條件的。

圖1 z軸陀螺靜態(tài)輸出Fig.1 Static output of z-axis gyroscope

1.1.2 正態(tài)性檢驗(yàn)

對(duì)原始數(shù)據(jù)進(jìn)行Kolmogorov-Smirnov檢驗(yàn)和Jarque-Bera檢驗(yàn)[13]，檢驗(yàn)結(jié)果如表2所示。由表2可知，兩種檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量均大于各自5% 水平的臨界值，因此拒絕接受該序列服從正態(tài)分布，即認(rèn)為原始序列是不符合正態(tài)分布的。

表2 z軸陀螺靜態(tài)輸出數(shù)據(jù)正態(tài)性檢驗(yàn)Tab.2 Normal probability test of z-axis gyro output

1.2 模型參數(shù)辨識(shí)

目前廣泛應(yīng)用的時(shí)間序列建模方法有兩種[14]，一種是Box-Jenkins方法(簡稱B-J法)，另一種是Pandit-Wu方法(簡稱P-W法)。B-J法建?；谛蛄邢嚓P(guān)性分析，計(jì)算工作煩瑣。而P-W法是一種程序化的動(dòng)態(tài)數(shù)據(jù)系統(tǒng)(Dynamic Data System, DDS)建模方法，采用的策略是ARMA(2n,2n-1)法實(shí)現(xiàn)階次和模型參數(shù)的程序化辨識(shí)，即n由低階向高階建模，當(dāng)模型階次2n確定后，m=2n-1隨之確定。因此，把原來一個(gè)二維(n,m)搜索轉(zhuǎn)化為一維(2n,2n-1)搜索問題。由低階2n向高階2n+2的ARMA建模后，均需計(jì)算殘差平方和，根據(jù)殘差平方和是否有顯著減小來判斷是否繼續(xù)向高階建模。F檢驗(yàn)或AIC準(zhǔn)則均能用來判斷殘差平方和是否發(fā)生顯著減小。當(dāng)每個(gè)階次的殘差平方和變化不大時(shí)，則選用低階模型。P-W方法建模流程如圖2所示。表3列出了采用P-W方法得到的系統(tǒng)階次和參數(shù)辨識(shí)結(jié)果。

由表3可知，當(dāng)2n=2，AIC達(dá)到最小值-10.197 1且F檢驗(yàn)量t(2,4)=0.505 0<2.995 7(F分布表中的F0.05(2, +∞)值)，即認(rèn)為相應(yīng)殘差平方和的下降已不顯著，由此判斷系統(tǒng)階次為2，相應(yīng)的模型是ARMA(2,1)。

1.3 模型適用性檢驗(yàn)

在完成ARMA(2，1)模型參數(shù)估計(jì)后，通過對(duì)ARMA(1，1)和ARMA(3，2)的建模殘差平方和進(jìn)行F檢驗(yàn)獲得更加合理的ARMA模型。用F檢驗(yàn)法對(duì)ARMA(2,1)和ARMA(3,2)兩模型進(jìn)行比較檢驗(yàn)，顯著水平取α=0.05，t=-19.543 5<2.995 7。經(jīng)檢驗(yàn)，ARMA(2,1)比ARMA(3,2)適用。再將ARMA(1,1)和ARMA(2,1)進(jìn)行比較檢驗(yàn)，顯著水平取α=0.05，t=-10.190 5<2.995 7。經(jīng)檢驗(yàn)，可以得出ARMA(1,1)比ARMA(2,1)適用。

圖2 P-W法流程圖Fig.2 Scheme of P-W method

ARMA(2n，2n-1)AICt(2n，2n+2)AR(1，1)-10．19432887．9970ARMA(2，1)-10．19710．5050ARMA(4，3)-10．197113．9407ARMA(6，5)-10．1971-10．7150ARMA(8，7)-10．1971

基于此，工程實(shí)現(xiàn)中可選擇ARMA(1,1)為MIMU的z軸陀螺輸出數(shù)據(jù)的工程近似模型，即：

xt-1.000 0xt-1=at-0.999 4at-1

(2)

對(duì)ARMA(1,1)建模后的數(shù)據(jù)殘差做自相關(guān)性檢驗(yàn)和偏相關(guān)性檢驗(yàn)，如圖3所示。由圖3可知，擬合后的殘差基本可看作白噪聲，即ARMA(1,1)描述MIMU的z軸陀螺靜態(tài)輸出零偏誤差是適用的。同理，可對(duì)x，y軸MEMS陀螺和x，y，z軸加計(jì)零偏噪聲進(jìn)行ARMA建模。

(a) 殘差自相關(guān)函數(shù)(a) Residuals autocorrelation function

(b) 殘差偏相關(guān)函數(shù)(b) Partial autocorrelation function of residuals圖3 建模適用性檢驗(yàn)Fig.3 Autocorrelation test of ARMA residuals

2 基于ARMA模型的MIMU隨機(jī)誤差在線補(bǔ)償方法

當(dāng)系統(tǒng)噪聲是不相關(guān)的白噪聲時(shí)，標(biāo)準(zhǔn)卡爾曼濾波狀態(tài)估計(jì)是最優(yōu)估計(jì)。工程上常假設(shè)系統(tǒng)和觀測(cè)噪聲是高斯白噪聲，以簡化處理。但是噪聲實(shí)際特性不一定符合假設(shè)，這時(shí)得到的狀態(tài)估計(jì)是次優(yōu)估計(jì)。此時(shí)，必須對(duì)噪聲特性進(jìn)行分析，改進(jìn)模型或白化有色噪聲，這是本文ARMA誤差建模的目的。

分析可知，通過對(duì)MEMS陀螺和加表的靜態(tài)輸出零偏誤差進(jìn)行分析可構(gòu)建MIMU的ARMA(1,1)模型描述MIMU噪聲數(shù)據(jù)的動(dòng)態(tài)特性，由此可以基于擴(kuò)展卡爾曼濾波(Extended Kalman Filter, EKF)實(shí)現(xiàn)對(duì)GNSS/MIMU組合導(dǎo)航系統(tǒng)狀態(tài)的最優(yōu)估計(jì)。

2.1 系統(tǒng)狀態(tài)模型

描述陀螺和加表(g=gyro，a=accelerometer)零偏特性的ARMA(1,1)差分方程為：

(3)

式中，下標(biāo)“·”表示MIMU的x，y或z軸向分量。

對(duì)卡爾曼濾波器9個(gè)常用狀態(tài)量增廣，即增加MIMU的x，y和z軸向陀螺和加表零偏誤差狀態(tài)變量。增廣卡爾曼濾波器狀態(tài)量為：

δX=[δr1×3;δv1×3;δψ1×3;bgx,t,bgy,t,bgz,t;bax,t,bay,t,baz,t]T式中：δr1×3,δv1×3,δψ1×3分別表示位置誤差矢量、速度誤差矢量、姿態(tài)失準(zhǔn)角矢量；bgx,t,bgy,t,bgz,t分別表示x軸、y軸、z軸方向的加表零偏；bax,t,bay,t,baz,t分別表示x軸、y軸、z軸方向的陀螺零偏。

(4)

(5)

(6)

wk表示系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)噪聲，其協(xié)方差陣Q為：

(7)

(8)

(9)

2.2 觀測(cè)模型

(10)

3 試驗(yàn)分析

為了檢驗(yàn)本文隨機(jī)誤差建模方法，基于靜態(tài)標(biāo)定數(shù)據(jù)建立ARMA(1,1)模型，對(duì)一組車載試驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行了處理。采用多頻GNSS-RTK精密相對(duì)定位定速結(jié)果，與MIMU提供的導(dǎo)航數(shù)據(jù)進(jìn)行信息融合。

為了比較所提ARMA誤差建模方法的準(zhǔn)確性，將假設(shè)陀螺零偏噪聲是白噪聲的傳統(tǒng)9狀態(tài)卡爾曼濾波組合導(dǎo)航方法與本文對(duì)零偏噪聲ARMA建模的15狀態(tài)卡爾曼濾波組合導(dǎo)航方法事后導(dǎo)航處理結(jié)果進(jìn)行比較，并通過連續(xù)多次間斷10 s GNSS數(shù)據(jù)(事后處理即是把10 s的GNSS數(shù)據(jù)舍去)來評(píng)估ARMA誤差建模方法對(duì)MIMU導(dǎo)航性能的提升程度。不同陀螺零偏噪聲模型多次中斷10 s的組合導(dǎo)航結(jié)果如圖4所示。圖5表示了圖3和圖4中位置誤差在時(shí)間軸上的對(duì)比，由圖5可知整個(gè)實(shí)驗(yàn)過程共有15處GNSS中斷。由圖4可知，將零偏噪聲ARMA建模后MIMU長時(shí)間導(dǎo)航精度顯著提高，表明零偏不符合白噪聲假設(shè)，在實(shí)際濾波過程中應(yīng)進(jìn)行ARMA建模，提高M(jìn)IMU導(dǎo)航精度和能力。

對(duì)兩種結(jié)果進(jìn)行分析和統(tǒng)計(jì)，以MIMU/GNSS組合導(dǎo)航事后處理結(jié)果[15]為參考值，將GNSS多次中斷10 s的組合導(dǎo)航結(jié)果與之比較，可以得到兩種噪聲模型下的導(dǎo)航誤差。對(duì)這15段GNSS中斷10 s的MIMU獨(dú)立導(dǎo)航誤差取出最大值，得到MIMU獨(dú)立導(dǎo)航10 s最大誤差如表4所示。

(a) 白噪聲假設(shè)下GNSS多次中斷10 s組合導(dǎo)航(a) Navigation results of the integration in multiple 10-second GNSS outage with white noise

(b) ARMA噪聲下GNSS多次中斷10 s組合導(dǎo)航(b) Navigation results of the integration in multiple 10-second GNSS outage with ARMA noise圖4 不同噪聲模型下GNSS多次中斷10 s的導(dǎo)航結(jié)果Fig.4 Navigation results of different noise model in multiple 10-second GNSS outage

圖5 圖3與圖4中組合導(dǎo)航位置誤差比較Fig.5 Navigation position errors between fig.3 and fig.4

表4 GNSS中斷10 s的MIMU外推最大導(dǎo)航誤差Tab.4 Maximum error of MIMU navigation performance with 10-second GNSS outages

由表4可知，MIMU長時(shí)間導(dǎo)航精度成倍提升，性能顯著增強(qiáng)。

4 結(jié)論

本文提出一種采用ARMA建模方法對(duì)低成本MIMU隨機(jī)誤差進(jìn)行建模與在線補(bǔ)償?shù)姆椒?。該方法建立的模型能夠合理描述MIMU零偏特性，增廣卡爾曼濾波器可實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)狀態(tài)的最優(yōu)估計(jì)。從長時(shí)間(10 s) MIMU獨(dú)立導(dǎo)航精度提升效果來看，原來無法獨(dú)立使用的MIMU(位置誤差20 m，速度誤差8 m/s，姿態(tài)誤差5°)經(jīng)過ARMA噪聲補(bǔ)償后，自主導(dǎo)航精度性能顯著提升(位置誤差10 m以內(nèi)，速度誤差1.2 m/s以內(nèi)，姿態(tài)誤差0.6°以內(nèi))，即基于此ARMA模型的卡爾曼濾波器能夠很好地估計(jì)并補(bǔ)償MEMS慣性傳感器的零偏噪聲。因此，所提出的ARMA建模方法以及濾波器設(shè)計(jì)方法能夠提升基于MEMS慣性傳感器的低成本導(dǎo)航系統(tǒng)性能，具有重要的工程實(shí)用價(jià)值。

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ARMA-based stochastic modeling method for improving the performance of low-cost MIMU/GNSS integration

WANG Dingjie, LYU Hanfeng, WU Jie

(College of Aerospace Science and Engineering, National University of Defense Technology, Changsha 410073, China)

High noise and complicated errors caused by low-cost MIMU (micro-electro-mechanical system-based inertial measurement unit, MEMS-based IMU) have caused its stochastic modeling challenge, which may undermine the performance of inertial-based integrated navigation. In order to achieve accurate MEMS-based navigation, a stochastic modeling method called auto-regressive moving-average model for low-cost MEMS-based inertial sensors was proposed on the basis of time series analysis theory. This model was then expanded into the state variables of the conventional Kalman filter to establish the system dynamic equation and observation equation and to estimate the zero-bias online. Field test results indicate that the proposed algorithm can not only realize a highly accurate autonomous navigation for low-cost MIMU, but also provide reliability to the MIMU/GNSS integrated system.

micro-electro-mechanical system; inertial measurement unit; stochastic modeling; auto-regressive moving-average; extended Kalman filtering

10.11887/j.cn.201606011

2015-07-11

國防科技大學(xué)研究生創(chuàng)新資助項(xiàng)目(B140103)

王鼎杰(1990—)，男，山西長治人，博士研究生，E-mail：wangdingjie11@nudt.edu.cn； 吳杰(通信作者)，男，教授，博士，博士生導(dǎo)師，E-mail：wujie_nudt@sina.com

V448.22+4

A

1001-2486(2016)06-064-06

http://journal.nudt.edu.cn