陣列雷達波束內雙目標的極大似然角度估計方法*

吳佳妮，陳永光，徐振海，熊子源，王雪松

(1. 國防科技大學 電子信息系統(tǒng)復雜電磁環(huán)境效應國家重點實驗室， 湖南 長沙 410073；2. 北京跟蹤與通信技術研究所， 北京 100094)

陣列雷達波束內雙目標的極大似然角度估計方法*

吳佳妮1，陳永光2，徐振海1，熊子源1，王雪松1

(1. 國防科技大學 電子信息系統(tǒng)復雜電磁環(huán)境效應國家重點實驗室， 湖南 長沙 410073；2. 北京跟蹤與通信技術研究所， 北京 100094)

單波束內目標往往相距較近，采用傳統(tǒng)角度分辨技術難以將其分辨，從而給目標跟蹤和識別帶來較大困難。于是提出基于LM算法的極大似然角度估計方法，實現(xiàn)波束內雙目標的分辨。該方法在陣列雷達的基礎上建立雙目標回波模型，推導極大似然角度估計算法?？紤]到求解算法直接影響極大似然角度估計的收斂速度和估計精度，利用LM算法實現(xiàn)了極大似然估計的求解，從而得到目標角度的精確估計。該方法避免了多次脈沖相干積累，具有計算量小的特點。仿真結果驗證了方法的有效性。

單波束內雙目標；極大似然估計；LM算法

傳統(tǒng)的角度測量方法(如單脈沖法)主要針對波束內存在單個目標的情況，當兩個或多個目標出現(xiàn)在同一波束內時，傳統(tǒng)方法將不能對目標進行有效分辨，其角度估計結果往往與真實值差異較大。除引起角度測量誤差外，不可分辨目標還會使得目標檢測概率下降[1]。

為解決這一問題，有關學者在不可分辨目標的角度估計問題上展開了一系列深入的研究。Blair等[2-3]針對兩個不可分辨的瑞利目標，利用單脈沖比實部和虛部的分布特性，提出了較完整的角度檢測、估計的方法。Sinha等[4-5]基于單脈沖雷達，針對Swerling I與Swerling III型目標，提出了極大似然角度估計方法，該方法較文獻[2]所述方法提高了估計精度，但在對似然函數解的搜索過程中，需要先驗信息來排除一組錯誤的解。Wang等[6]在前文的基礎上提出了聯(lián)合信號到達角(Direction Of Arrival, DOA)估計，該方法結合了文獻[2]中方法閉型解的簡單形式以及文獻[4]中極大似然估計方法精度較高的優(yōu)點，但要求已知目標的信噪比。上述研究主要圍繞改進的單脈沖技術展開，另一方面，基于陣列雷達，空間譜估計的方法對于實現(xiàn)目標的超分辨也具有較好的效果[7]。其中，多重信號分類(MUltiple SIgnal Classfication, MUSIC)算法與旋轉不變技術信號參數估計(Estimation of Signal Parameters by Rotational Invariance Techniques, ESPRIT)算法是DOA估計中最常用的方法，圍繞這兩種方法，國內外學者提出了許多改進方法，如root-MUSIC，TLS-ESPRIT等[8]。

上述方法適用于以多次回波脈沖實現(xiàn)DOA估計，一些方法的估計性能與脈沖積累數密切相關[2-8]。為了提高角度估計性能，本文針對單波束內雙目標問題，在陣列雷達的基礎上，研究利用單次快拍信息實現(xiàn)目標角度估計的方法，以期在避免利用多次回波脈沖的同時，減少計算量。

1 雙目標陣列雷達回波模型

考慮陣元數為N的均勻線陣，接收目標單次(快拍)回波的信號模型為：

x=A1s(u1)+A2s(u2)+n

(1)

其中：

2 極大似然角度估計算法

根據噪聲的分布特性，接收信號的高斯密度函數為A1,A2,u1,u2的函數，其表達式為：

p(x;u,a)=

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

這些方程滿足極大似然估計，由式(3)、式(4)可得：

(7)

(8)

3 Levenberg-Marquardt極大似然角度估計方法

LM算法是一種在非線性最小二乘問題中利用梯度求最小值的算法，它具有梯度法和牛頓迭代法的優(yōu)點，同時克服了牛頓迭代法在應用中的一些限制[10-11]。牛頓迭代法具有局部二階收斂性，收斂速度快。而LM算法僅利用一階信息，獲得近似牛頓迭代法的收斂速度，因而具有較優(yōu)的收斂性能[12]。

g(ω)=Q(ω)=J(ω)TF(ω)

(9)

其中：J(ω)=F′(ω)=[F1(ω),…,FN(ω)]T，為F(ω)的Jacobi矩陣。

定義第k次迭代的搜索方向dk為：

(10)

其中：Jk=J(ωk),Fk=F(ωk),μk>0。

按照ωk+1=ωk+αkdk的迭代規(guī)則，產生迭代序列{ωk}，其中αk為步長因子。迭代序列的最后一個值即為最優(yōu)化問題的解。

利用LM-ML角度估計算法估計角度的具體步驟如下所示。

步驟1：選取初始化的ω0值，即u10,u20，設定容許誤差0≤ε≤1，最大迭代次數K，取μ0>0，設置k=0；

步驟3：求解dk，得到

步驟4：由Armijo搜索法確定步長因子αk；

步驟5：令ωk+1=ωk+αkdk，k=k+1，按式(11)更新μk的值，且將ωk+1代入式(7)、式(8)，更新A1,A2，轉步驟2。

經多次迭代，最終輸出滿足條件的ωk(ωk=(u1k,u2k))，該值為LM-ML測角方法估計得到的兩目標方位角的正弦值。注意到dk的取值是與μk相關的，實際上，在迭代過程中如何調整參數μk是LM方法的關鍵，其取值直接影響搜索方向角度，從而影響算法的收斂速度。依據參考文獻[12]，設：

(11)

為說明LM-ML算法得到的估計值即為雙目標角度的極大似然估計值，下面證明算法的收斂性。LM算法的收斂性定理[12]為：設{ωk}是LM算法產生的無窮迭代序列，若{ωk,μk}的某一聚點(ω*,μ*)滿足J(ω*)TJ(ω*)+μ*I正定，則Q(ω*)=J(ω*)TF(ω*)=0，即ω*為極小值點。

(12)

J(ω)為N×2的矩陣。

(13)

以上證明了LM-ML算法的全局收斂性。LM-ML算法引入最優(yōu)化LM方法，可通過簡單的計算得到雙目標角度的極大似然估計。而極大似然估計為漸進無偏估計，可漸進達到克拉美-羅下限(Cramer-Rao Lower Bound, CRLB)[13]，因此通過分析CRLB，研究LM-ML算法的測角性能。

4 測角性能分析

(14)

其中，γ(θ)=Sa，C(θ)=σ2I，

由CRLB(u)=[M-1(θ)]ii,i=3,4[14]得到：

{Re[(c⊙s)Hs]}2-{Im[(c⊙s)Hs]}2

(15)

值得注意的是，A1,A2為未知確定量，由文獻[15]可知，此時的極大似然角度估計為角度的有效估計，其均方誤差(Mean Square Error, MSE)由CRLB給出。

5 仿真實驗

下面分情況討論所提方法的收斂性能、角估計精度以及角分辨能力。分析收斂性能時將LM-ML算法與基于梯度下降法的ML(Gradient Descent based ML)算法[17]進行比較，而分析角度估計精度時與G-ML算法以及單次快拍MUSIC(Single snapshot MUSIC, S-MUSIC)算法[18]進行比較，以說明LM-ML方法具有收斂速度快，測角性能好的優(yōu)點。在研究某一因素對測角性能影響時，固定其他參數為典型值。為分析統(tǒng)計性能，進行Monte Carlo仿真，各實驗的仿真次數均為1000。

5.1 收斂性能仿真分析

5.1.1 收斂性與信噪比的關系

圖1 兩種方法的迭代次數與SNR的關系曲線Fig.1 Iteration numbers of G-ML and LM-ML for different SNR

由圖1可見，LM-ML角估計方法的迭代次數遠小于G-ML角估計方法，說明LM-ML能較快收斂。而G-ML角估計方法在SNR<25 dB時，迭代次數為最大迭代次數，即在容許誤差ε=10-8，最大迭代次數K=2000的條件下，該方法不能收斂。

5.1.2 收斂性與兩目標夾角的關系

本實驗中，設定SNR1=SNR2=30 dB，圖2給出了兩種方法的迭代次數隨目標夾角的變化關系。

圖2 G-ML和LM-ML方法的迭代次數與的關系曲線Fig.2 Iteration numbers of G-ML and LM-ML for different inter-target angle

由圖2可見，當目標間隔小于0.4倍波束寬度時，兩方法在迭代2000次時均未達到收斂條件，而間隔大于0.4倍波束寬度后，LM-ML方法的迭代次數隨著兩目標夾角的增大顯著下降?？梢姡琇M-ML方法具有更好的收斂性能。

5.2 角度估計精度仿真分析

5.2.1 測角精度與信噪比的關系

圖3 三種方法的URMSE1與SNR的關系曲線Fig.3 URMSE derived from three methods for different SNR

從圖3看出，隨著信噪比的提高，URCRLB降低，LM-ML方法在SNR>25 dB時，達到URCRLB。S-MUSIC算法均方根誤差相對較大，而G-ML方法在SNR<25 dB時，角度估計誤差較大，測角精度較低?？梢娺@兩種方法的抗噪性能較差。

5.2.2 測角精度與兩目標夾角的關系

圖4 三種方法的URMSE1與的關系曲線Fig.4 URMSE1 derived from three methods for different

由圖4可見，URCRLB對目標的夾角敏感，而隨著目標夾角的增加，三種方法的測角的均方根誤差先后達到URCRLB。G-ML估計方法在目標間隔小于0.5倍波束寬度時，測角誤差急劇增大，且小于0.4倍波束寬度時，URMSE1>1，此時該方法不可用。而S-MUSIC算法在小于0.9倍波束寬度時，測角誤差顯著增大。相較而言，LM-ML角估計方法隨夾角的變化起伏較小，具有較高的測角精度。

通過以上實驗對LM-ML方法與G-ML方法的對比可知，不同數值求解方法不僅直接決定角度估計算法收斂速度，同時還影響角度的測量精度。

5.2.3 幅相誤差對測角精度的影響

圖5 幅相誤差對URMSE1的影響Fig.5 Relationship between amplitude and phase errors and URMSE1

圖5中，幅相誤差為-40 dB時，目標1的角度估計精度與無幅相誤差時相近；幅相誤差為-30 dB時，均方根誤差小幅增加。由此可見，LM-ML算法具有較好的穩(wěn)健性。

5.3 角度分辨力仿真分析

本實驗分析了LM-ML算法的角度分辨能力，設定目標估計的均方根誤差小于0.2倍目標角度間隔時，目標為有效分辨。圖6給出了不同幅相誤差條件下，算法可分辨兩目標的角度間隔的相對波束寬度隨信噪比變化的曲線。

圖6 角度分辨力與SNR的關系曲線Fig.6 Resolution of LM-ML for different SNR

由圖6可見，隨信噪比的增加，算法的角度分辨能力增強。而加入幅相誤差，算法分辨力有所下降，且在信噪比較低時，幅相誤差對分辨力的影響更為顯著。

6 結論

本文在陣列雷達基礎上，針對單波束內存在雙目標的情況展開研究。根據陣列雷達回波特點，建立了雙目標回波模型，得到了基于極大似然原理的角度估計方法。隨后研究了極大似然估計的數值求解方法，提出了一種基于LM算法的角度求解方法。仿真實驗表明，LM-ML算法具有收斂速度快，測角性能好的優(yōu)點，能夠對單波束內的雙目標角度進行精確估計，從而實現(xiàn)不可分辨目標的角度分辨。

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Maximum likelihood angle estimation of two targets with array radar

WU Jiani1, CHEN Yongguang2, XU Zhenhai1, XIONG Ziyuan1, WANG Xuesong1

(1. State Key Laboratory of Complex Electromagnetic Environment Effects on Electronics and Information System,National University of Defense Technology, Changsha 410073, China;2. Beijing Institute of Tracking and Telecommunications Technology, Beijing 100094, China)

As the targets in the same beam are close to each other, it is difficult to resolve them via traditional techniques. Furthermore， it also brings difficulty in detecting and tracking. The problem of resoling two targets in the same beam was studied with array radar. An echo model of two unresolved targets with array radar was established. An improved angle estimation method was proposed based on the maximum likelihood estimation principle. In consideration of the convergence speed and estimation accuracy, the Levenberg-Marquardt method was applied to obtain the maximum likelihood estimation of target direction. The simulation results prove that the method performs well in several aspects, including smaller estimation error and computational cost.

two targets in the same beam; maximum likelihood estimation; Levenberg-Marquardt method

10.11887/j.cn.201606021

2015-05-17

國家自然科學基金資助項目(61401488，61490694)；國家863計劃資助項目(2013AA122202)

吳佳妮(1988—)，女，湖南醴陵人，博士研究生，E-mail：tuotuonini@163.com； 徐振海(通信作者)，男，研究員，博士，碩士生導師，E-mail：drxzh930@sina.com

TN95

A

1001-2486(2016)06-130-06

http://journal.nudt.edu.cn