L1空間上的一個(gè)新拓?fù)?/h1>
2017-01-11 08:14:07李曉燕
上海電機(jī)學(xué)院學(xué)報(bào) 2016年6期
李曉燕
(上海電機(jī)學(xué)院 數(shù)理教學(xué)部，上海 201306)
L1空間上的一個(gè)新拓?fù)?/p>
李曉燕
(上海電機(jī)學(xué)院 數(shù)理教學(xué)部，上海 201306)
Zariski拓?fù)涫谴鷶?shù)簇研究中使用的一種拓?fù)?。利用傅里葉分析以及算子代數(shù)的理論和方法，構(gòu)造了L1空間上的Zariski拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)。
L1空間； Zariski拓?fù)洌?Fourier變換； Banach代數(shù)； 理想
1939年，Zariski對(duì)代數(shù)曲面奇點(diǎn)解消給出了純代數(shù)證明；1944年，他證明特征為0的域上三維代數(shù)簇的奇點(diǎn)可解消；1940年他證明了代數(shù)簇的局部單值化的存在定理，并引入了Zariski拓?fù)?，使得代?shù)簇成為具有Zariski拓?fù)涞耐負(fù)淇臻g，從而為代數(shù)幾何引入了日后起重要作用的上同調(diào)理論鋪平了道路。近年來，Zariski拓?fù)涞玫搅藦V泛研究[1-4]，并得到一些有意義的結(jié)果。本文給出L1空間上的Zariski拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)。
1 Zariski拓?fù)?/h2>
首先引入Zariski拓?fù)涞亩x及性質(zhì)[5-8]，用K表示一個(gè)代數(shù)閉域，將域K上的仿射空間記作An(K)。
定義1稱V(S)是一個(gè)代數(shù)子集，若它是K[z1,z2,…,zn](n∈N)中多項(xiàng)式的集合S的零點(diǎn)集,即
V(S)=
(a1,a2,…,an)∈An(K)|{f(a1,a2,…,an)=0
?f(z1,z2,…,zn)∈S}, n∈N
顯然，若S?S′，則V(S)?V(S′)。特別地，對(duì)于空集?，有V(?)=Kn。
定理1[8]設(shè)a是由S生成的理想，則V(S)=V(a)。
定理2[8]可以證明有以下性質(zhì)：
(1) 若a?b，則V(a)?V(b)，其中，b是由S生成的理想；
(2)V(0)=An(K)，V(K[z1,z2,…,zn])=?，(n∈N);
(3)V(ab)=V(a∩b)=V(a)∪V(b)；
性質(zhì)(2)～(4)表明，將An(K)作為一個(gè)拓?fù)淇臻g，代數(shù)子集滿足閉集的性質(zhì)：空集和全集都是閉的，對(duì)于有限并運(yùn)算和任意交運(yùn)算都封閉。將該種拓?fù)浞Q為Zariski拓?fù)洹?/p>
定義2設(shè)任一子集W?An(K)，稱I(W)為W的理想，若
I(W)= {f∈K[z1,z2,…,zn]|f(P)=0, 所有P∈W}
其中,P為仿射空間的一個(gè)點(diǎn)，P∈An(K)。可以得到以下性質(zhì)：
(1) 若V?W，則I(V)?I(W)；
(2)I(?)=K[z1,z2,…,zn]；I(An(K))=0；
(3)I(∪Wi)=∩I(Wi)。
證明
(1) 對(duì)任意P∈V，由于V?W，故P∈W；取任意f∈I(W)，則f(P)=0，從而f∈I(V)，即證明了I(V)?I(W)。
(2) 該結(jié)論顯然成立。
(3) 對(duì)任意f∈I(∪Wi)，取任意P∈Wi，有P∈∪Wi，則f(P)=0，從而f∈I(Wi)；進(jìn)一步有
f∈∩I(Wi)，I(∪Wi)?∩I(Wi)
另一方面，對(duì)任意f∈∩I(Wi)，取任意P∈Wi，都有P∈∪Wi，且有f(P)=0，于是
f∈I(∪Wi)，I(∪Wi)?∩I(Wi)
結(jié)論得證。
定理3[8]對(duì)任一子集W?An(K)，V(I(W))是An(K)中包含W的最小代數(shù)子集。特別地，W為代數(shù)子集時(shí)，V(I(W))=W。
2 Fourier變換的L1基本理論
這里介紹Fourier變換的基本性質(zhì)[9-12]。先引入記號(hào)，用En表示n維歐氏空間。本文主要討論定義在En上的函數(shù)空間L1。
(1)
定義4函數(shù)f,g∈L1(En)，稱h為f、g的卷積，若
則h=f*g。
定理6若f∈Lp(En)，1≤p≤∞，且g∈L1(En)，則h∈Lp(En)，且‖h‖p≤‖f‖p‖g‖1。
設(shè)τh和δa分別為平移算子和伸縮算子。若f,g∈L1，則Fourier變換有如下結(jié)果：
現(xiàn)討論Fourier反演問題，即給定一個(gè)函數(shù)的Fourier變換，如何得到原函數(shù)？
定理7設(shè)f,g∈L1，有
(2)
可由Fubini定理[9]證明之。
若f,φ∈L1，δε為伸縮算子，對(duì)f(x)和 e2πixδεφ(x) 運(yùn)用上述定理和Fourier變換平移算子的計(jì)算公式可得到定理8和定理9。
(3)
(4)
3 Banach代數(shù)[13-14]
定義4一個(gè)復(fù)代數(shù)是復(fù)數(shù)域C上的向量空間A，其中A上定義有乘法，對(duì)于所有x,y,z∈A和所有標(biāo)量α，滿足：
(1)x(yz)=(xy)z；
(2) (x+y)z=xz+yz,
x(y+z)=xy+xz；
(3) α(xy)=(αx)y=x(αy)；
若A是Banach空間，其范數(shù)滿足乘法不等式:
(4) ‖xy‖≤‖x‖·‖y‖,x,y∈A
并且A包含單位元e，使得
(5)xe=ex=x,x∈A，‖e‖=1
則稱A為Banach代數(shù)。
定理10假定A是Banach空間具有單位元e≠0的復(fù)代數(shù)，其中乘法是左連續(xù)和右連續(xù)的，則A上存在范數(shù)，它導(dǎo)出與所給拓?fù)湎嗤耐負(fù)?，且使A成為Banach代數(shù)。
顯然，x→Mx是線性的，結(jié)合律意味著Mxy=MxMy。若x∈A，則
‖x‖=‖x e‖=‖Mxe‖≤
‖Mx‖·‖e‖
(5)
‖MxMy‖≤‖Mx‖‖My‖
Ti(y)=xiy=(xie)y=Ti(e)y
(6)
當(dāng)i→∞時(shí)，式(10)中Ti(y)趨于T(y),而Ti(e)→T(e)。由于A中乘法做連續(xù)，故式(10)中最后一項(xiàng)Ti(e)y為T(e)y。令T(e)y=x，則
T(y)=T(e)y=xy=Mxy
特別地，L1(En)以卷積為乘法，是個(gè)交換 Banach 代數(shù)。
定義5子集J是復(fù)交換代數(shù)A的子空間，且對(duì)任何x∈A和y∈J，有xy∈J，則A的子集J為一個(gè)理想。
若J≠A,J是真理想。顯然可以得到定理11、12。
定理11A的真理想不包括A的任何可逆元；理想的閉包也是理想。
定理12若A是具有單位元的交換復(fù)代數(shù)，則A的每個(gè)真理想都包含在一個(gè)極大理想之中。若A是交換Banach代數(shù)，則A的每個(gè)極大理想是閉的。
4 L1空間上的Zariski拓?fù)?/h2>
現(xiàn)將Zariski拓?fù)渫茝V到L1空間上。
定義6設(shè)I為L1(En)的閉理想，則稱Z(I)為I的譜點(diǎn)集，ξ為(En)空間中的向量。若
顯然若I1?I2，則Z(I1)?Z(I2)。
引理1[13]若f∈L1(En), 向量t∈En,ε>0,則存在h∈L1(En),‖h‖1<ε,使得對(duì)于t的某一鄰域中的所有向量s，有
gλ(x)=eitxλ-ng(x/λ)
且定義
有
故當(dāng)λ→∞時(shí)，‖hλ‖1→0。
定理13[13]若函數(shù)ω∈L∞(En)，Y是L1(En)的子空間，且對(duì)每一個(gè)f∈Y，有
f*ω=0
h∈L1(En)，‖h‖1<1
對(duì)在v的某一鄰域中的所有s，有
故只需證明ω*ψ=0即可。
令g0=ψ,gm=h*gm-1,m≥1，則
‖gm‖1≤‖h‖m1‖ψ‖1
或
故有ψ=G*f，且
ψ*ω=G*ψ=0
定理14Y=L1,當(dāng)且僅當(dāng)Z(Y)=?。
證明若Z(Y)=?，則由上文定理易知Y的補(bǔ)空間平凡，故可推出Y=L1。反之顯然。
定理15Y={0},當(dāng)且僅當(dāng)Z(Y)=En。
證明若Y={0}，顯然有Z(Y)=En。
若Z(Y)=En，則
由Fourier逆變換的唯一性知f=0，故Y={0}。
定理16
(a)Z(XY)=Z(X∩Y)=Z(X)∪Z(Y)；
證明
(a) 若ξ?Z(X)∪Z(Y)，則存在f∈X,g∈Y，使得
f(ξ)≠0，g(ξ)≠0
故由Fourier逆變換和卷積的Fourier變換的性質(zhì)知
(f*g)(ξ)≠0
故有ξ?Z(XY)，從而有
Z(XY)?Z(X)∪Z(Y)
由于XY?X∩Y?X,Y，故有
Z(XY)?Z(X∩Y)?Z(X)∪Z(Y)
因此,結(jié)論(a)成立。
綜上所述表明，譜點(diǎn)集有閉集的性質(zhì)，故L1上也具有Zariski拓?fù)洹?/p>
定理17I(A)是L1理想，且有A=Z(I(A))。
因此，I(A)是L1理想。顯然A=Z(I(A))。
[1] ABUHLAIL J Y. A Zariski topology for bicomodules and corings[J]. Applied Categorical Structures，2007，16(1/2)：13-28.
[2] ABUHLAIL J. Zariski topologies for coprime and second submodules[J]. Algebra Colloquium，2015，22(1)：47-72.
[3] DARANI A Y，MOTMAEN S. Zariski topology on the spectrum of graded classical prime submodules[J]. Applied General Topology，2013，14(2)：159-169.
[4] ANSARI-TOROGHY H，F(xiàn)ARSHADIFAR F. The Zariski topology on the second spectrum of a module(Ⅱ)[J]. Bulletin of the Malaysian Mathematical Science Society，2016，39(3)：1089-1103.
[5] SHAFAREVICH I R. Basic Algebraic Geometry 2.[M]. Reid M,譯.[S.I.]:Spring,1998：3-14.
[6] Harris J. Algebraic Geometry.[M].[S.l.]:世界圖書出版公司，2000：1-18.
[7] ATIYAH M F，MACDONALD I G. Introduction to Commutative Algebra[M]. Lodon:Addison-Wesleg Publishing Co.,1969:1-16.
[8] KUNZ E. Introduction to commutative algebra and algebraic geometry[M].[S.l.]:Birk?user,Springer，1982：1-21.
[9] 程民德，鄧東皋，龍瑞麟.實(shí)分析[M].2版.北京：高等教育出版社，2008：65-134.
[10] STEIN E M，SHAKARCHI R. Fourier Analysis:An Introduction[M]. Princeton, NJ:Princeton University Press 2007：129-207.
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[13] RUDIN W.泛函分析(英文版·第2版)[M].北京.機(jī)械工業(yè)出版社，2003:182-201.
[14] LAX PD.泛函分析(影印版)[M].北京.高等教育出版社，2007：192-202.
A New Topology over L1Space
LI Xiaoyan
(Department of Mathematics and Physics, Shanghai Dianji University, Shanghai 201306, China)
Zariski topology is used in algebraic varieties studies. Using Fourier analysis and operator algebra, we construct a Zariski topological structure on the L1 space.
L1space; Zariski topology; Fourier transform; Banach algebra; ideal
2016-10-05
上海高校青年教師培養(yǎng)計(jì)劃資助(A1-5701-15-011-09);上海電機(jī)學(xué)院重點(diǎn)學(xué)科項(xiàng)目資助(16JCXK02)
李曉燕(1985-)，女，講師，博士，主要研究方向?yàn)槠⒎址匠碳皵?shù)學(xué)物理，E-mail：lixy@sdju.edu.cn
2095-0020(2016)06-0364-05
O 177
A
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李曉燕
(上海電機(jī)學(xué)院 數(shù)理教學(xué)部，上海 201306)
L1空間上的一個(gè)新拓?fù)?/p>
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L1空間； Zariski拓?fù)洌?Fourier變換； Banach代數(shù)； 理想
1939年，Zariski對(duì)代數(shù)曲面奇點(diǎn)解消給出了純代數(shù)證明；1944年，他證明特征為0的域上三維代數(shù)簇的奇點(diǎn)可解消；1940年他證明了代數(shù)簇的局部單值化的存在定理，并引入了Zariski拓?fù)?，使得代?shù)簇成為具有Zariski拓?fù)涞耐負(fù)淇臻g，從而為代數(shù)幾何引入了日后起重要作用的上同調(diào)理論鋪平了道路。近年來，Zariski拓?fù)涞玫搅藦V泛研究[1-4]，并得到一些有意義的結(jié)果。本文給出L1空間上的Zariski拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)。
1 Zariski拓?fù)?/h2>
首先引入Zariski拓?fù)涞亩x及性質(zhì)[5-8]，用K表示一個(gè)代數(shù)閉域，將域K上的仿射空間記作An(K)。
定義1稱V(S)是一個(gè)代數(shù)子集，若它是K[z1,z2,…,zn](n∈N)中多項(xiàng)式的集合S的零點(diǎn)集,即
V(S)=
(a1,a2,…,an)∈An(K)|{f(a1,a2,…,an)=0
?f(z1,z2,…,zn)∈S}, n∈N
顯然，若S?S′，則V(S)?V(S′)。特別地，對(duì)于空集?，有V(?)=Kn。
定理1[8]設(shè)a是由S生成的理想，則V(S)=V(a)。
定理2[8]可以證明有以下性質(zhì)：
(1) 若a?b，則V(a)?V(b)，其中，b是由S生成的理想；
(2)V(0)=An(K)，V(K[z1,z2,…,zn])=?，(n∈N);
(3)V(ab)=V(a∩b)=V(a)∪V(b)；
性質(zhì)(2)～(4)表明，將An(K)作為一個(gè)拓?fù)淇臻g，代數(shù)子集滿足閉集的性質(zhì)：空集和全集都是閉的，對(duì)于有限并運(yùn)算和任意交運(yùn)算都封閉。將該種拓?fù)浞Q為Zariski拓?fù)洹?/p>
定義2設(shè)任一子集W?An(K)，稱I(W)為W的理想，若
I(W)= {f∈K[z1,z2,…,zn]|f(P)=0, 所有P∈W}
其中,P為仿射空間的一個(gè)點(diǎn)，P∈An(K)。可以得到以下性質(zhì)：
(1) 若V?W，則I(V)?I(W)；
(2)I(?)=K[z1,z2,…,zn]；I(An(K))=0；
(3)I(∪Wi)=∩I(Wi)。
證明
(1) 對(duì)任意P∈V，由于V?W，故P∈W；取任意f∈I(W)，則f(P)=0，從而f∈I(V)，即證明了I(V)?I(W)。
(2) 該結(jié)論顯然成立。
(3) 對(duì)任意f∈I(∪Wi)，取任意P∈Wi，有P∈∪Wi，則f(P)=0，從而f∈I(Wi)；進(jìn)一步有
f∈∩I(Wi)，I(∪Wi)?∩I(Wi)
另一方面，對(duì)任意f∈∩I(Wi)，取任意P∈Wi，都有P∈∪Wi，且有f(P)=0，于是
f∈I(∪Wi)，I(∪Wi)?∩I(Wi)
結(jié)論得證。
定理3[8]對(duì)任一子集W?An(K)，V(I(W))是An(K)中包含W的最小代數(shù)子集。特別地，W為代數(shù)子集時(shí)，V(I(W))=W。
2 Fourier變換的L1基本理論
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(1)
定義4函數(shù)f,g∈L1(En)，稱h為f、g的卷積，若
則h=f*g。
定理6若f∈Lp(En)，1≤p≤∞，且g∈L1(En)，則h∈Lp(En)，且‖h‖p≤‖f‖p‖g‖1。
設(shè)τh和δa分別為平移算子和伸縮算子。若f,g∈L1，則Fourier變換有如下結(jié)果：
現(xiàn)討論Fourier反演問題，即給定一個(gè)函數(shù)的Fourier變換，如何得到原函數(shù)？
定理7設(shè)f,g∈L1，有
(2)
可由Fubini定理[9]證明之。
若f,φ∈L1，δε為伸縮算子，對(duì)f(x)和 e2πixδεφ(x) 運(yùn)用上述定理和Fourier變換平移算子的計(jì)算公式可得到定理8和定理9。
(3)
(4)
3 Banach代數(shù)[13-14]
定義4一個(gè)復(fù)代數(shù)是復(fù)數(shù)域C上的向量空間A，其中A上定義有乘法，對(duì)于所有x,y,z∈A和所有標(biāo)量α，滿足：
(1)x(yz)=(xy)z；
(2) (x+y)z=xz+yz,
x(y+z)=xy+xz；
(3) α(xy)=(αx)y=x(αy)；
若A是Banach空間，其范數(shù)滿足乘法不等式:
(4) ‖xy‖≤‖x‖·‖y‖,x,y∈A
并且A包含單位元e，使得
(5)xe=ex=x,x∈A，‖e‖=1
則稱A為Banach代數(shù)。
定理10假定A是Banach空間具有單位元e≠0的復(fù)代數(shù)，其中乘法是左連續(xù)和右連續(xù)的，則A上存在范數(shù)，它導(dǎo)出與所給拓?fù)湎嗤耐負(fù)?，且使A成為Banach代數(shù)。
顯然，x→Mx是線性的，結(jié)合律意味著Mxy=MxMy。若x∈A，則
‖x‖=‖x e‖=‖Mxe‖≤
‖Mx‖·‖e‖
(5)
‖MxMy‖≤‖Mx‖‖My‖
Ti(y)=xiy=(xie)y=Ti(e)y
(6)
當(dāng)i→∞時(shí)，式(10)中Ti(y)趨于T(y),而Ti(e)→T(e)。由于A中乘法做連續(xù)，故式(10)中最后一項(xiàng)Ti(e)y為T(e)y。令T(e)y=x，則
T(y)=T(e)y=xy=Mxy
特別地，L1(En)以卷積為乘法，是個(gè)交換 Banach 代數(shù)。
定義5子集J是復(fù)交換代數(shù)A的子空間，且對(duì)任何x∈A和y∈J，有xy∈J，則A的子集J為一個(gè)理想。
若J≠A,J是真理想。顯然可以得到定理11、12。
定理11A的真理想不包括A的任何可逆元；理想的閉包也是理想。
定理12若A是具有單位元的交換復(fù)代數(shù)，則A的每個(gè)真理想都包含在一個(gè)極大理想之中。若A是交換Banach代數(shù)，則A的每個(gè)極大理想是閉的。
4 L1空間上的Zariski拓?fù)?/h2>
現(xiàn)將Zariski拓?fù)渫茝V到L1空間上。
定義6設(shè)I為L1(En)的閉理想，則稱Z(I)為I的譜點(diǎn)集，ξ為(En)空間中的向量。若
顯然若I1?I2，則Z(I1)?Z(I2)。
引理1[13]若f∈L1(En), 向量t∈En,ε>0,則存在h∈L1(En),‖h‖1<ε,使得對(duì)于t的某一鄰域中的所有向量s，有
gλ(x)=eitxλ-ng(x/λ)
且定義
有
故當(dāng)λ→∞時(shí)，‖hλ‖1→0。
定理13[13]若函數(shù)ω∈L∞(En)，Y是L1(En)的子空間，且對(duì)每一個(gè)f∈Y，有
f*ω=0
h∈L1(En)，‖h‖1<1
對(duì)在v的某一鄰域中的所有s，有
故只需證明ω*ψ=0即可。
令g0=ψ,gm=h*gm-1,m≥1，則
‖gm‖1≤‖h‖m1‖ψ‖1
或
故有ψ=G*f，且
ψ*ω=G*ψ=0
定理14Y=L1,當(dāng)且僅當(dāng)Z(Y)=?。
證明若Z(Y)=?，則由上文定理易知Y的補(bǔ)空間平凡，故可推出Y=L1。反之顯然。
定理15Y={0},當(dāng)且僅當(dāng)Z(Y)=En。
證明若Y={0}，顯然有Z(Y)=En。
若Z(Y)=En，則
由Fourier逆變換的唯一性知f=0，故Y={0}。
定理16
(a)Z(XY)=Z(X∩Y)=Z(X)∪Z(Y)；
證明
(a) 若ξ?Z(X)∪Z(Y)，則存在f∈X,g∈Y，使得
f(ξ)≠0，g(ξ)≠0
故由Fourier逆變換和卷積的Fourier變換的性質(zhì)知
(f*g)(ξ)≠0
故有ξ?Z(XY)，從而有
Z(XY)?Z(X)∪Z(Y)
由于XY?X∩Y?X,Y，故有
Z(XY)?Z(X∩Y)?Z(X)∪Z(Y)
因此,結(jié)論(a)成立。
綜上所述表明，譜點(diǎn)集有閉集的性質(zhì)，故L1上也具有Zariski拓?fù)洹?/p>
定理17I(A)是L1理想，且有A=Z(I(A))。
因此，I(A)是L1理想。顯然A=Z(I(A))。
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A New Topology over L1Space
LI Xiaoyan
(Department of Mathematics and Physics, Shanghai Dianji University, Shanghai 201306, China)
Zariski topology is used in algebraic varieties studies. Using Fourier analysis and operator algebra, we construct a Zariski topological structure on the L1 space.
L1space; Zariski topology; Fourier transform; Banach algebra; ideal
2016-10-05
上海高校青年教師培養(yǎng)計(jì)劃資助(A1-5701-15-011-09);上海電機(jī)學(xué)院重點(diǎn)學(xué)科項(xiàng)目資助(16JCXK02)
李曉燕(1985-)，女，講師，博士，主要研究方向?yàn)槠⒎址匠碳皵?shù)學(xué)物理，E-mail：lixy@sdju.edu.cn
2095-0020(2016)06-0364-05
O 177
A
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