羅 文

(福建商學院 基礎部，福建 福州 350012)

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一類相同材料周期焊接問題的穩(wěn)定性

羅 文

(福建商學院 基礎部，福建 福州 350012)

文章討論了同一材料在平面彈性中的周期焊接問題，通過引入兩個全純函數，將問題轉化為周期黎曼邊值問題。通過應力函數的表達式，并使用柯西型積分，研究了周期焊接問題的穩(wěn)定性。

應力函數；周期焊接問題；攝動；穩(wěn)定性

平面彈性材料的焊接問題在工程上具有廣泛的應用，以復變函數為理論工具研究平面彈性問題是個很好的方法。

1.引言

假設Γ∈C是一條簡單光滑的封閉曲線，以反時針方向為正向，Γ所圍成的內部區(qū)域(外部區(qū)域)，記為D+(D-)。建立函數關系：

Γδ∶ξ=α(t)=t+δ(t),t∈Γ

(1.1)

當δ∈C′(Γ)時，容易得到：

(1.2)

對于平面彈性基本問題[1-2]，彈性體內任意點z處的應力σx,σy,τxy和位移u+iv，可以由應力函數φ(z),ψ(z)表示為：

(1.3)

其中μ,κ為彈性常數。

2.周期焊接問題

問題Ⅰ：設在一個彈性平面中有一列周期孔L0,L±1,L±2，…，以aπ為周期，在各孔上焊接材料相同的墊圈，設孔邊和墊圈線間的位置差異已知，則：

(u++iv+)-(u-+iv-)=g(t),t∈L

其中g(t)也以aπ為周期，并且g′(t)∈H，在z=±∞i處的外應力為零。

3.攝動后的周期焊接問題

那么，稱f*為f關于δ的指數為ε的n階Sobolev型攝動，簡記為Φ*∈sp(Φ,δ,ε,n)

假設焊接中問題Ⅰ的孔邊和墊圈間的位置差g(t)產生誤差，該誤差可以看成定義3.1中的Sobolev型攝動，此時的焊接問題就是攝動后的焊接問題，即問題Ⅱ：

在一個彈性平面中有一列周期孔L0δ,L±1δ,L±2δ，…，以aπ為周期，在各孔上焊接材料相同的墊圈，該孔邊和墊圈線間的位置異為：

(3.1)

其中gδ(ξ)也以aπ為周期，并且gi(ξ)∈H,i=0,1,2，在z=±∞i處的外應力為零。

根據焊接條件，問題Ⅱ的應力函數

(3.2)

(3.3)

聯立(3.2)與(3.3)可以得到：

(3.4)

(3.5)

(3.6)

(3.7)

(3.6)和(3.7)是周期跳躍問題，其解分別為：

(3.8)

(3.9)

由于所討論的焊接問題要求在Z=±∞i的外應力為零，所以可以得到焊接問題Ⅱ的應力函數為：

φδ(z)=φδ0(z),Z∈S0δ/L0δ

(3.10)

(3.11)

4.周期焊接問題的穩(wěn)定性

4.1 幾個引理

為了討論應力函數的穩(wěn)定性，需要以下幾個引理：

引理2：記柯西積分算子為：

與之相應的射形算子為：

4.2 周期焊接應力的穩(wěn)定性

根據(1.1)中Γδ的定義可知，如果δ≡0,t∈Γ，則Γδ=Γ，即不發(fā)生攝動，若焊接問題Ⅱ中δ=0，則可轉化為焊接問題Ⅰ，因此令δ≡0，從(3.10)，(3.11)可得周期焊接問題Ⅰ的應力函數為

φ(z)=φ0(z),z∈S/L

(4.1)

(4.2)

定理1 假設Γδ∈P(Γ,‖δ‖<ρ)，g(i)∈sp(g(i),δ,∈,0),i=0,1那么:

(4.3)

(4.4)

其中Ci(∈,v,ρ,lΓ,cΓ,κ,μ),i=1,2是不依賴于δ的常數。

(4.6)

(4.7)

其中Ci(∈,v,ρ,cΓ,κ,μ),i=3,4是不依賴于δ的常數。

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[5]Pei Dang，Juan Lin，Jin-Yuan Du.Stability on a kind of welding problems under perturbations[J]. Applicable Analysis，2014，93(11):2478-2497.

(責任編輯：楊成平)

Stability of Periodic Welding Problem for the Same Material

LUO Wen

(Department of Foundation , Fujian Commercial College, Fuzhou 350012, China)

This paper discusses periodic welding problem for the same material in plane elasticity. By introducing two holomorphic functions, periodic Riemann boundary value is studied; by introducing stress function and Cauchy’s integral formula, the stability of the periodic welding problem is studied.

stress function; periodic welding problem; perturbation; stability

2016-11-04

羅文(1982—)， 男，福建尤溪人，講師，碩士。研究方向：基礎數學。

O17

A

1008-4940(2016)06-0105-04