王中興，陳 晶，蘭繼斌

(廣西大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，廣西 南寧 530004)

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基于二元語(yǔ)義Archimedean S-模集成算子的群決策方法

王中興，陳 晶，蘭繼斌

(廣西大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，廣西 南寧 530004)

對(duì)于二元語(yǔ)義環(huán)境下的多指標(biāo)群決策問(wèn)題，本文采用擴(kuò)展Archimedean S-模定義二元語(yǔ)義的新運(yùn)算法則，并基于新運(yùn)算法則給出對(duì)權(quán)重進(jìn)行自適應(yīng)調(diào)整的二元語(yǔ)義擴(kuò)展Archimedean S-模集成(TASTA)算子、二元語(yǔ)義擴(kuò)展Archimedean S-模加權(quán)平均(TASTWA)算子和二元語(yǔ)義向量擴(kuò)展Archimedean S-模加權(quán)平均(V-TASTWA)算子。以及提出一種基于TASTWA算子和V-TASTWA算子的群決策方法，并通過(guò)實(shí)例說(shuō)明決策方法的可行性與有效性。

二元語(yǔ)義；群決策；Archimedean S-模

1 引言

由于客觀事物的復(fù)雜性、不確定性以及人們思維的模糊性，決策者通常采用語(yǔ)言形式(如“好”、“一般”、“差”等語(yǔ)言術(shù)語(yǔ))對(duì)事物進(jìn)行定性的描述。雖然語(yǔ)言術(shù)語(yǔ)形式的評(píng)價(jià)貼近實(shí)際，但在實(shí)際應(yīng)用中有時(shí)出現(xiàn)語(yǔ)言術(shù)語(yǔ)失真等問(wèn)題。為克服語(yǔ)言術(shù)語(yǔ)在實(shí)際應(yīng)用中存在的不足，Herrera[1-2]提出了采用二元組的形式即二元語(yǔ)義表達(dá)決策者的評(píng)價(jià)，因而二元語(yǔ)義在群決策中的應(yīng)用受到了國(guó)內(nèi)外學(xué)者廣泛關(guān)注[3-13]。

目前，基于二元語(yǔ)義的群決策方法的研究主要集中在以下兩個(gè)方面：一方面是研究二元語(yǔ)義的集成算子[2,4-7]。Herrera和Martinez[2]提出二元語(yǔ)義有序加權(quán)平均(T-OWA)算子。姜艷萍和樊治平[4]將模糊集成算子中的有序加權(quán)幾何(OWG)算子擴(kuò)展到二元語(yǔ)義有序加權(quán)幾何(T-OWG)算子，并進(jìn)一步分析了TOWA算子和T-OWG算子所具有的性質(zhì)。魏峰等[5]結(jié)合T-WA算子和T-OWA算子提出二元語(yǔ)義混合加權(quán)平均(T-HWA)算子，以及給出一種基于T-HWA算子的語(yǔ)言群決策方法。張堯和樊治平[6]針對(duì)指標(biāo)值和權(quán)重值均為語(yǔ)言評(píng)價(jià)信息的群決策問(wèn)題，提出拓展語(yǔ)言有序加權(quán)平均(ELOWA)算子，并應(yīng)用到多指標(biāo)決策問(wèn)題中。劉兮等[7]針對(duì)具有語(yǔ)言評(píng)價(jià)信息的多屬性決策問(wèn)題，提出了二元語(yǔ)義廣義有序加權(quán)平均(T-GOWA)算子和二元語(yǔ)義誘導(dǎo)有序加權(quán)幾何(T-IOWG)算子。另一方面則是研究指標(biāo)或?qū)＜覚?quán)重的確定方法[8-13]。徐天應(yīng)和干曉蓉[9]基于粗糙集理論處理離散語(yǔ)言信息，提出粗糙集信息熵法確定指標(biāo)權(quán)重的方法，并應(yīng)用在二元語(yǔ)義多指標(biāo)群決策中。王曉等[10]針對(duì)屬性權(quán)重信息未知的情形建立基于離差最大化的目標(biāo)規(guī)劃模型，得到求解屬性權(quán)重公式。周宇峰和魏法杰[11]建立先驗(yàn)權(quán)重評(píng)價(jià)指標(biāo)體系和后驗(yàn)權(quán)重的度量準(zhǔn)則，針對(duì)專(zhuān)家評(píng)價(jià)信息為模糊判斷矩陣時(shí)的情形給出計(jì)算后驗(yàn)權(quán)重的方法。張異和魏法杰[12]考慮了語(yǔ)言評(píng)價(jià)過(guò)程中修飾語(yǔ)言的重要性，以及不同專(zhuān)家的猶豫程度對(duì)其權(quán)重的影響，提出一種組合賦權(quán)的方法來(lái)確定專(zhuān)家權(quán)重。

值得指出的是，Herrera等[2,4-7]定義的二元語(yǔ)義運(yùn)算法則在實(shí)際應(yīng)用中存在越界現(xiàn)象。為此，本文基于擴(kuò)展Archimedean S-模定義二元語(yǔ)義的新運(yùn)算法則，有效地避免二元語(yǔ)義在運(yùn)算時(shí)所出現(xiàn)越界的問(wèn)題。以及考慮專(zhuān)家評(píng)價(jià)與群體評(píng)價(jià)的一致性，對(duì)專(zhuān)家權(quán)重進(jìn)行自適應(yīng)調(diào)整，給出二元語(yǔ)義TASTA算子、TASTWA算子和V-TASTWA算子，進(jìn)而提出一種基于TASTWA算子和V-TASTWA算子的二元語(yǔ)義群決策方法。最后通過(guò)數(shù)值實(shí)例驗(yàn)證方法的可行性與有效性。

2 預(yù)備知識(shí)

2.1 Archimedean S-模

定義2.1[14-15]二元函數(shù)S:[0,1]×[0,1]→[0,1]被稱(chēng)為S-模，若S滿足下面條件：

1)(交換律)S(x,y)=S(y,x),?x,y∈[0,1]；

2)(結(jié)合律)S(x,S(y,z))=S(S(x,y),z),?x,y, z∈[0,1]；

3)(單調(diào)性) 若x≤x′,y≤y′，則S(x,y)≤ S(x′,y′)；

4)(邊界條件)S(0,x)=x,?x∈[0,1]。

定義2.2[14-15](Archimedean條件) 若S-模對(duì)任意的x∈(0,1)，都有S(x,x)>x成立，則稱(chēng)此S-模為Archimedean S-模。

定義2.3[16]稱(chēng)二元函數(shù)S:[0,τ]×[0,τ]→[0,τ]

(τ>0)為擴(kuò)展S-模，若S滿足下面條件：

1)(交換律)S(x,y)=S(y,x),?x,y∈[0,τ]；

2)(結(jié)合律)S(x,S(y,z))=S(S(x,y),z),?x,y, z∈[0,τ]；

3)(單調(diào)性) 若x≤x′,y≤y′，則S(x,y)≤ S(x′,y′)；

4)(邊界條件)S(0,x)=x,?x∈[0,τ]。

類(lèi)似的，若擴(kuò)展S-模對(duì)任意的x∈(0,τ)，都有S(x,x)>x成立，則稱(chēng)此擴(kuò)展S-模為擴(kuò)展Archime-dean S-模。

Lan Jibin等[16]指出對(duì)任意的擴(kuò)展Archimedean S-?？杀硎緸椋?/p>

Sφ(x,y)=φ-1(φ(x)+φ(y))。

(1)

其中φ(t)為一元連續(xù)且嚴(yán)格單調(diào)遞增的函數(shù)，滿足條件φ(0)=0,φ(τ)=+。例如，取，則。

2.2 二元語(yǔ)義

二元語(yǔ)義是指采用一個(gè)二元組(li,αi)形式來(lái)表達(dá)專(zhuān)家的評(píng)價(jià)信息。其中l(wèi)i∈L為語(yǔ)言術(shù)語(yǔ)；αi∈[-0.5,0.5)為符號(hào)轉(zhuǎn)移值，表示語(yǔ)言術(shù)語(yǔ)的集成結(jié)果與L集中最貼近的語(yǔ)言術(shù)語(yǔ)li的偏差。

定義2.4[1]設(shè)語(yǔ)言術(shù)語(yǔ)li∈L，則通過(guò)函數(shù)?:L→L×[-0.5,0.5)可將li轉(zhuǎn)換為相應(yīng)的二元語(yǔ)義，即?(li)=(li,0)。

定義2.5[1]設(shè)β∈[0,τ]為與語(yǔ)言術(shù)語(yǔ)經(jīng)集成后相對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)，則β可通過(guò)函數(shù)Δ:[0,τ)→

L×[-0.5,0.5)轉(zhuǎn)換為相應(yīng)的二元語(yǔ)義，即Δ(β)=(li,αi)。其中：

(2)

以上“round”為四舍五入取整函數(shù)。

1)若i>j，則(li,αi)?(lj,αj)；

2)若i=j，則

①當(dāng)αi>αj時(shí)，則(li,αi)?(lj,αj)；

②當(dāng)αi=αj時(shí)，則(li,αi)=(lj,αj)；

③當(dāng)αi<αj時(shí)，則(li,αi)(lj,αj)。

1)(li,αi)⊕(lj,αj)=Δ(Δ-1(li,αi)+Δ-1(lj,αj))；

2)λ?(li,αi)=Δ(λ(Δ-1(li,αi)))。

為了克服二元語(yǔ)義運(yùn)算法則所存在的上述缺陷，下文將基于擴(kuò)展Archimedean S-模，給出一種二元語(yǔ)義的新運(yùn)算法則。

3 基于擴(kuò)展Archimedean S-模的二元語(yǔ)義決策方法

3.1 二元語(yǔ)義新運(yùn)算法則

1)(li,αi)⊕(lj,αj)=Δ(φ-1(φ(Δ-1(li,αi))+φ(Δ-1(lj,αj))))；

2)λ?(li,αi)=Δ(φ-1(λφ(Δ-1(li,αi))))。

其中φ(t)為一元連續(xù)且嚴(yán)格單調(diào)遞增的函數(shù)，滿足條件φ(0)=0,φ(τ)=+。

新運(yùn)算法則具有下列性質(zhì)。

1)(交換律)(li,αi)⊕(lj,αj)=(lj,αj)⊕(li,αi)；

2)(結(jié)合律)((li,αi)⊕(lj,αj))⊕(lk,αk)=(li,αi)⊕((lj,αj)⊕(lk,αk))；

3)(數(shù)乘分配律)λ((li,αi)⊕(lj,αj))=λ(li,αi)⊕λ(lj,αj)；

證明1)由定義3.1有：

(li,αi)⊕(lj,αj)=Δ(φ-1(φ(Δ-1(li,αi))+φ(Δ-1(lj,αj))))=(lj,αj)⊕(li,αi)。

2)((li,αi)⊕(lj,αj))⊕(lk,αk)=Δ(φ-1(φ(Δ-1(li,αi))+φ(Δ-1(lj,αj))))⊕(lk,αk)=Δ(φ-1(φ(Δ-1(li,αi))+φ(Δ-1(lj,αj))+φ(Δ-1(lk,αk)))=(li,αi)⊕((lj,αj)⊕(lk,αk))。

3)λ((li,αi)⊕(lj,αj))=λΔ(φ-1(φ(Δ-1(li,αi))+φ(Δ-1(lj,αj))))=Δ(φ-1(λφ(Δ-1(li,αi))+λφ(Δ-1(lj,αj))))=λ(li,αi)⊕λ(lj,αj)。

β=φ-1(φ(Δ-1(li,αi))+φ(Δ-1(lj,αj)))∈[0,τ]。

從而由定義3.1、定義2.5有：

3.2 二元語(yǔ)義集成算子

在實(shí)際的群決策問(wèn)題中，由于專(zhuān)家的專(zhuān)業(yè)水平、工作經(jīng)驗(yàn)和綜合能力等不同，各專(zhuān)家對(duì)評(píng)價(jià)對(duì)象給出的評(píng)價(jià)往往存在著差異性。因此，為了提高決策的準(zhǔn)確性，需要對(duì)專(zhuān)家權(quán)重進(jìn)行適當(dāng)?shù)恼{(diào)整，即對(duì)那些與群體評(píng)價(jià)差異較大或者一致度較低的專(zhuān)家應(yīng)賦予較小的權(quán)重。反之，對(duì)與群體評(píng)價(jià)差異較小或一致度較高的專(zhuān)家應(yīng)賦予較大的權(quán)重?；诖怂枷?，本文以專(zhuān)家評(píng)價(jià)與群體評(píng)價(jià)的一致度對(duì)專(zhuān)家的權(quán)重進(jìn)行自適應(yīng)調(diào)整，并提出以下幾種集成算子。

(3)

p((lθ(k),αθ(k)))=1-

(k=1,2,…,h)

(4)

在下文的定義中，均設(shè)φ(t)為一元連續(xù)且嚴(yán)格單調(diào)遞增的函數(shù)，滿足條件φ(0)=0,φ(τ)=+。

(5)

考慮到被集成的評(píng)價(jià)具有不同的權(quán)重，下面對(duì)TASTA算子進(jìn)行推廣。

(6)

1)(置換不變性) 設(shè)(lη(k),αη(k))(k=1,2,…,h)是(lθ(k),αθ(k))(k=1,2,…,h)的一組重排二元語(yǔ)義序列，則

TASTA((lθ(1),αθ(1)),…,(lθ(h),αθ(h)))=TASTA((lη(1),αη(1)),…,(lη(h),αη(h)))

(7)

TASTWA((lθ(1),αθ(1)),…,(lθ(h),αθ(h)))=TASTWA((lη(1),αη(1)),…,(lη(h),αη(h)))

(8)

2)(冪等性) 設(shè)(lθ(k),αθ(k))=(lθ,αθ)(k=1,2,…, h)，則：

TASTA((lθ(1),αθ(1)),…,(lθ(h),αθ(h)))=(lθ,αθ)

(9)

TASTWA((lθ(1),αθ(1)),…,(lθ(h),αθ(h)))=(lθ,αθ)

(10)

(lθ-,αθ-)≤TASTA((lθ(1),αθ(1)),…,(lθ(h),αθ(h)))≤(lθ+,αθ+)

(11)

(lθ-,αθ-)≤TASTWA((lθ(1),αθ(1)),…,(lθ(h),αθ(h)))≤(lθ+,αθ+)

(12)

3.3 TASTWA算子的推廣

為適用于多維二元語(yǔ)義信息的集成，下面將TASTWA進(jìn)行推廣。首先定義二元語(yǔ)義向量的運(yùn)算法則。

(13)

(14)

(15)

在實(shí)際的多指標(biāo)群決策問(wèn)題中，TASTA算子、TASTWA算子和V-TASTWA算子通過(guò)一致度確定或修正專(zhuān)家的權(quán)重與加權(quán)平均集成形成群體評(píng)價(jià)，以提高決策的準(zhǔn)確性。

4 基于新集成算子的群決策方法

步驟1 利用轉(zhuǎn)換函數(shù)?(li)=(li,0)，將各專(zhuān)家的語(yǔ)言評(píng)價(jià)矩陣R(k)轉(zhuǎn)化為二元語(yǔ)義符號(hào)評(píng)價(jià)矩陣B(k)(k=1,2,…,h)。

若各專(zhuān)家關(guān)于各指標(biāo)的權(quán)重信息完全未知，則：

其中：

步驟3 利用TASTWA算子對(duì)方案Ai關(guān)于各指標(biāo)的群體二元語(yǔ)義評(píng)價(jià)進(jìn)行集成，得到各方案Ai的綜合二元語(yǔ)義評(píng)價(jià)值ci(i=1,2,…,m)，即：

ci=TASTWA(bi1,bi2,…,bin)

步驟4 根據(jù)定義2.7對(duì)綜合二元語(yǔ)義評(píng)價(jià)值ci(i=1,2,…,m)進(jìn)行排序，從而得到方案的排序。

5 數(shù)值實(shí)例

某企業(yè)擬從推選的4種新產(chǎn)品{A1,A2,A3,A4}中選出1種進(jìn)行開(kāi)發(fā)。為此，該企業(yè)組織4位評(píng)審專(zhuān)家{E1,E2,E3,E4}，從新產(chǎn)品競(jìng)爭(zhēng)力(G1)、企業(yè)技術(shù)開(kāi)發(fā)能力(G2)、企業(yè)組織執(zhí)行能力(G3)、開(kāi)發(fā)風(fēng)險(xiǎn)(G4)和開(kāi)發(fā)效益(G5)等五方面逐一對(duì)4種候選產(chǎn)品進(jìn)行評(píng)審，以便確定最佳開(kāi)發(fā)的新產(chǎn)品。經(jīng)研究專(zhuān)家們決定選取7標(biāo)度語(yǔ)言評(píng)價(jià)集L={l0,l1,l2,l3,l4,l5,l6}，依據(jù)考核指標(biāo)逐一對(duì)候選產(chǎn)品進(jìn)行評(píng)價(jià)(語(yǔ)言評(píng)價(jià)集的具體表達(dá)視考核指標(biāo)而定，如對(duì)于新產(chǎn)品競(jìng)爭(zhēng)力(G1)語(yǔ)言評(píng)價(jià)集L={很弱，弱，稍弱，一般，稍強(qiáng)，強(qiáng)，很強(qiáng)})，其中，考核指標(biāo)的權(quán)重向量為?=(0.25,0.2,0.15,0.15,0.25)T。各專(zhuān)家給出的語(yǔ)言評(píng)價(jià)矩陣分別如下：

表1 專(zhuān)家E1給出的語(yǔ)言評(píng)價(jià)矩陣R(1)

表2 專(zhuān)家E2給出的語(yǔ)言評(píng)價(jià)矩陣R(2)

表3 專(zhuān)家E3給出的語(yǔ)言評(píng)價(jià)矩陣R(3)

表4 專(zhuān)家E4給出的語(yǔ)言評(píng)價(jià)矩陣R(4)

下面釆用本文提出的決策方法進(jìn)行決策。

步驟1 利用轉(zhuǎn)換函數(shù)?(li)=(li,0)，將語(yǔ)言評(píng)價(jià)矩陣R(k)轉(zhuǎn)化為二元語(yǔ)義符號(hào)評(píng)價(jià)矩陣B(k)(k=1,2,3,4)，

B(1)=

B(2)=

B(3)=

B(4)=

步驟3 利用TASTWA算子對(duì)方案Ai(i=1,2,3,4)

各指標(biāo)下的群體二元語(yǔ)義評(píng)價(jià)進(jìn)行集成，得到方案Ai的綜合二元語(yǔ)義評(píng)價(jià)值：

c1=(l4,-0.33),c2=(l4,-0.11)

c3=(l3,-0.05),c4=(l3,0.13)

步驟4 根據(jù)定義2.7，對(duì)綜合二元語(yǔ)義評(píng)價(jià)值ci(i=1,2,3,4)進(jìn)行排序得：c2?c1?c4?c3，從而得到方案的排序A2?A1?A4?A3，可見(jiàn)A2為最佳開(kāi)發(fā)產(chǎn)品。

6 對(duì)比與分析

在這一小節(jié)中，將姜艷萍和樊治平等[4,6-7,13,15]中的方法與本文方法進(jìn)行對(duì)比與分析，如下。

從表5可知，本文方法與已有方法明顯的不同之處在于：姜艷萍和樊治平等[4,7,13,15]中決策方法需要事先給定專(zhuān)家的權(quán)重，才能進(jìn)行決策；而在實(shí)際的

表5 不同決策方法對(duì)比

決策中，給出專(zhuān)家在各指標(biāo)下的權(quán)重往往比較困難，本文方法則可以根據(jù)專(zhuān)家評(píng)價(jià)與群體評(píng)價(jià)的一致度來(lái)確定專(zhuān)家權(quán)重，省去了確定專(zhuān)家權(quán)重的復(fù)雜環(huán)節(jié)，也降低了人為因素的影響。

其次，對(duì)于專(zhuān)家權(quán)重確定的情形，姜艷萍和樊治平等[4,7,15]中決策方法直接集成各語(yǔ)言評(píng)價(jià)信息，其實(shí)質(zhì)是一種主觀賦權(quán)的集成方法，決策結(jié)果的主觀性較大；而本文方法通過(guò)專(zhuān)家評(píng)價(jià)與群體評(píng)價(jià)的一致度，客觀的對(duì)各專(zhuān)家權(quán)重進(jìn)行自適應(yīng)調(diào)整，能有效減少主觀賦權(quán)對(duì)決策的影響。丁勇等[13]基于最小偏差法處理主客觀權(quán)重的集成，與本文通過(guò)一致度調(diào)整主觀權(quán)重信息均適應(yīng)于群體意見(jiàn)分歧較大的群決策問(wèn)題。

7 結(jié)語(yǔ)

本文基于擴(kuò)展Archimedean S-模處理二元語(yǔ)義信息，定義二元語(yǔ)義的新運(yùn)算法則，并提出三種二元語(yǔ)義集成算子，以及基于新集成算子提出一種二元語(yǔ)義群決策方法。新運(yùn)算法則最突出特點(diǎn)是能避免運(yùn)算法則越界，群決策方法在獲得群體評(píng)價(jià)時(shí)考慮了群體評(píng)價(jià)的一致度，有利于提高決策的準(zhǔn)確性。實(shí)例分析的結(jié)果表明該方法是可行的。

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Method for Aggregating Two-tuple Linguistic Information Based on Archimedean S-norm and Their Application to Group Decision Making

WANG Zhong-xing，CHEN Jing，LAN Ji-bin

(College of Mathematics and Information Science, Guangxi University, Nanning, Guangxi 530004, China)

In the actual process of multi-attribute decision making (MADM), due to the complexity of objects and the inherent vagueness of human mind, the decision information is usually suitable to be expressed in natural language rather than a real number. However, natural languages always involve uncertainty and ambiguity, so it is difficult to avoid the loss of information in the process of decision making. The more the information loss, the less accurate results of decision are. In order to improve the accuracy of the decision making, it is necessary to correctly deal with linguistic decision information. And triangular norms, t-norms and s-norms and linguistic two-tuple are among the most effective ways to process linguistic information, and in this paper, based on Archimedean s-norm and linguistic two-tuple, some new operational laws of linguistic information are defined by using a continuous and strictly monotone increasing function and its inverse function. The prominent feature of such operations is that the operations are closed. Some main properties of these operations, such as commutativity, associativity and distribution law, are investigated. Moreover, considering the influence of expert weight on decision making, three new aggregation operators, including two-tuple linguistic extended Archimedean s-norm aggregation (TASTA) operator, two-tuple linguistic extended Archimedean s-norm weight averaging (TASTWA) operator and two-tuple linguistic vector extended Archimedean s-norm weight averaging (V-TASTWA) operator, are developed in this paper. All these aggregation operators use the consistency of group judgment to objectively adjust the expert weight and then effectively improve the accuracy of decision making. Later, a method for multi-attribute group decision making problems with two-tuple linguistic information is proposed based on TASTWA operator and V-TASTWA operator, and a numerical example is given to show its effectiveness and reasonability by comparison with other methods. The method not only overcomes the deficiency that the traditional operational laws of two-tuple linguistic information are not closed, but also makes full use of decision information to obtain the weight value and improves the accuracy and credibility of the results.

two-tuple linguistic information；group decision making；Archimedean s-norm

2015-03-02；

2015-07-29

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(71261001)；教育部人文社會(huì)科學(xué)(12YJC630080)；廣西研究生教育創(chuàng)新計(jì)劃項(xiàng)目(YCSZ201451)

簡(jiǎn)介：陳晶(1990-)，男(漢族)，湖南衡陽(yáng)人，廣西大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，碩士研究生，研究方向：優(yōu)化與決策,E-mail: chenjing_gxu@sina.com.

C934

A

1003-207(2016)08-0146-08

10.16381/j.cnki.issn1003-207x.2016.08.018