廖君華+姚振宇

【摘要】所謂蝴蝶效應(yīng)是指一個很小的擾動，在特定條件下可能被不斷放大的一種現(xiàn)象.本文通過對牛頓迭代法混沌動力特性的研究，發(fā)現(xiàn)一個混沌動力常數(shù)，并由此給出一個蝴蝶效應(yīng)的數(shù)學(xué)模型.

【關(guān)鍵詞】單純區(qū)間；單純點；單純點樹列；倍率

混沌動力學(xué)是復(fù)雜性科學(xué)的一個重要分支，也是近三十年來的一個熱門學(xué)科.混沌（Chaos）是指發(fā)生在確定性系統(tǒng)中的貌似隨機的不規(guī)則運動.一個確定性理論描述的系統(tǒng)，其行為卻表現(xiàn)為不確定性、不可重復(fù)、不可預(yù)測，這就是混沌現(xiàn)象.混沌是非線性系統(tǒng)的固有特性，是非線性系統(tǒng)普遍存在的現(xiàn)象，牛頓確定性理論能夠處理的多為線性系統(tǒng)，而線性系統(tǒng)大都由非線性系統(tǒng)簡化而來.因此，在現(xiàn)實生活和實際工程技術(shù)問題中，混沌是無處不在的.

混沌現(xiàn)象最初是由美國氣象學(xué)家洛倫茨，在20世紀(jì)60年代初研究天氣預(yù)報中大氣流動問題時偶然發(fā)現(xiàn)的.1963年，Lorenz在《大氣科學(xué)》雜志上發(fā)表了“決定性的非周期流”一文，指出在氣候不能精確重演與長期天氣預(yù)報者無能為力之間必然存在著一種聯(lián)系，這就是非周期與不可預(yù)見性之間的聯(lián)系.他還發(fā)現(xiàn)了混沌現(xiàn)象“對初始條件的極端敏感性”.這可以生動地用“蝴蝶效應(yīng)”來比喻：在做氣象預(yù)報時，只要一只蝴蝶扇一下翅膀，這一擾動，就可能在很遠的另一個地方造成非常大的差異甚至引起風(fēng)暴，將使長時間的預(yù)測無法進行.

以函數(shù)f（x） = x3-x為例，用牛頓迭代法求其零點.計算結(jié)果表明，當(dāng)初始值取在不同區(qū)間上時，迭代將會收斂于不同的值.本文探索這其中更深刻的量化規(guī)律性.

由于f（x）是奇函數(shù)，僅在[0，+∞） 區(qū)間上取初始值作牛頓迭代法計算，下表所列是以步長b = 10-14 進行搜索得到的結(jié)果：（程序采用雙精度進行計算，步長b雖可再降低兩個數(shù)量等級，但考慮到計算誤差，僅取 b = 10-14）

定義1 表中的各區(qū)間稱為收斂于其迭代結(jié)果的單純區(qū)間.

例如I5（第五號區(qū)間）是收斂于+1的單純區(qū)間.

定義2 收斂于不同值單純區(qū)間的分界點稱為單純點.

若以xi表示單純區(qū)間Ii的左端點，則除了x20 = 0外，所有xi都是單純點.而收斂于零的單純區(qū)間是（-x19，x19），所以x20不是單純點.另外，x1正巧是函數(shù)f（x）的駐點.

定義3 稱單純點構(gòu)成的數(shù)列為單純點數(shù)列.

規(guī)律1 單純數(shù)列是單調(diào)有界的.

規(guī)律2 在單純區(qū)間中，除最后一個I20是收斂于零之外，其余的單純區(qū)間交錯收斂于+1和-1.

計算表中從I2到I19各相鄰單純區(qū)間的長度之比，得到以下數(shù)列：

7.26，6.18，6.03，6，6，6，6，6，5.99，6，5.99，6，5.99，5.99，6，6.33，3.

這一數(shù)列的主基調(diào)明顯是6，第一項偏離的原因與x1是駐點有關(guān)，最后一項偏離的原因與計算精度有關(guān).

定義4 在以上數(shù)列中，去掉第一項與最后一項之后的平均值稱之為函數(shù)f（x）的倍率.

這反映了牛頓迭代法的混沌動力學(xué)特性.

規(guī)律3 函數(shù)f（x） = x3 -x在[0，+ ∞）上具有倍率6.

由于f（x）是奇函數(shù)，所以有

規(guī)律4 函數(shù)f（x）在（-∞，0]上的單純區(qū)間與[0，+∞）上的單純區(qū)間以x=0點為對稱，但迭代收斂值互為相反數(shù).在x=0點兩旁具有相同的倍率，即f（x）在（-∞，+∞）上倍率為6.

（上述結(jié)論已有嚴(yán)格的數(shù)學(xué)證明，將另行發(fā)表）

規(guī)律5 由于單純區(qū)間的長度以1[]6的等比率遞減，所以單純點數(shù)列在[0，+∞）上存在一個極限點λ，在（-∞，0]上存在一個極限點-λ.（上表中x19就是λ的近似值 ）

綜上所述，f（x）有兩個駐點±x1，兩個極限點±λ.（-∞，-x1]是收斂于-1的單純區(qū)間，（-λ，λ）是收斂于零的單純區(qū)間，[x1，+∞）是收斂于+1的單純區(qū)間.而區(qū)間（-x1，-λ）與（λ，x1）則是對初始值高度敏感的區(qū)域，或稱之為混沌區(qū)域.在混沌區(qū)域中單純區(qū)間的長度以16比率無限減小，而單純點數(shù)列無限逼近于極限點.這表明在極限點附近一個無窮小的擾動，將會引起迭代結(jié)果在不同點之間的激烈震蕩.這正是蝴蝶效應(yīng).也就是說那只在幾千公里之外引起大風(fēng)暴的蝴蝶，應(yīng)該在極限點附近扇動翅膀.（本文采用QBASIC 編程，可向有興趣者提供）