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      高等數(shù)學(xué)教學(xué)中幾個(gè)易混淆概念之探討

      2017-01-17 16:45:39張淵淵
      關(guān)鍵詞:原函數(shù)高等數(shù)學(xué)

      張淵淵

      【摘要】高等數(shù)學(xué)是工科院校最重要的基礎(chǔ)課程之一.課堂教學(xué)中發(fā)現(xiàn),學(xué)生對(duì)一些基本概念容易混淆,進(jìn)而影響了后續(xù)內(nèi)容的學(xué)習(xí).本文通過(guò)反例對(duì)高等數(shù)學(xué)教材中函數(shù)可積與存在原函數(shù)這兩個(gè)概念進(jìn)行了探討,揭示了二者之間的關(guān)系.

      【關(guān)鍵詞】高等數(shù)學(xué);可積;原函數(shù)

      【中圖分類號(hào)】O13

      引 言

      高等數(shù)學(xué)是所有數(shù)學(xué)分支的基礎(chǔ),可以當(dāng)作整個(gè)數(shù)學(xué)的樹干.但是,大部分學(xué)生覺(jué)得此課程枯燥,難以理解,尤其是一些基本概念容易引起混淆.本文就高等數(shù)學(xué)中函數(shù)可積與存在原函數(shù)這兩個(gè)概念進(jìn)行探討,希望給學(xué)生有益的啟示.

      一、函數(shù)可積與原函數(shù)存在沒(méi)有必然的聯(lián)系

      本節(jié)首先給出與函數(shù)可積及原函數(shù)存在這兩個(gè)概念相關(guān)的三個(gè)定理.

      定理1 (Ⅰ)若函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù),則y=f(x)在區(qū)間[a,b]上可積;

      (Ⅱ)若有界函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上僅有有限個(gè)間斷點(diǎn),則y=f(x)在[a,b]

      上可積;

      (Ⅲ)若函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上單調(diào),則y=f(x)在區(qū)間[a,b]上可積.

      定理2 若函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù),則y=f(x)在區(qū)間[a,b]上原函數(shù)存在.

      定理3 (Ⅰ)若函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上含有第一類間斷點(diǎn),則y=f(x)在區(qū)間[a,b]上

      不存在原函數(shù);

      (Ⅱ)若函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上有無(wú)窮間斷點(diǎn),則y=f(x)在[a,b]

      上不存在原函數(shù).

      二、通過(guò)反例揭示函數(shù)可積與存在原函數(shù)兩者互不蘊(yùn)含

      本節(jié)將通過(guò)反例揭示函數(shù)可積與存在原函數(shù)這兩個(gè)概念互不蘊(yùn)含.

      1.可積不一定存在原函數(shù)

      2.存在原函數(shù)不一定可積

      三、小 結(jié)

      本文通過(guò)比較函數(shù)可積與存在原函數(shù)這兩個(gè)概念,給出兩個(gè)經(jīng)典反例,揭示了二者互不蘊(yùn)含的關(guān)系.希望通過(guò)本文的探討,給學(xué)生有益的啟示,提升學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的興趣.

      【參考文獻(xiàn)】

      [1]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)(第六版)[M].北京:高等教育出版社,2008.

      [2]汪林.數(shù)學(xué)分析中的問(wèn)題和反例[M].北京:高等教育出版社,2015.

      [3]陳榮勝,蔡高廳.析談單元函數(shù)積分的基本概念與基本理論[J].大學(xué)數(shù)學(xué),1993(s1):100-107.

      [4]馬保國(guó),王延軍.分段函數(shù)、函數(shù)的可積性與原函數(shù)存在性[J].大學(xué)數(shù)學(xué),2009(25):200-203.

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