在素環(huán)上作為同態(tài)或反同態(tài)的廣義導(dǎo)子

苑智莉

(吉林師范大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院 吉林 長春 130000)

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在素環(huán)上作為同態(tài)或反同態(tài)的廣義導(dǎo)子

苑智莉

(吉林師范大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院 吉林 長春 130000)

R為2-扭自由素環(huán)，J為非零Jordan理想，F(xiàn)為R上廣義導(dǎo)子，有F(xy)=F(x)F(y)或F(xy)=F(y)F(x) x,y∈J.若d≠0，則R為可交換的.

素環(huán)；廣義導(dǎo)子；Jordan理想

0 引 言

Bell和Kappe[1]證明了，若d為R上導(dǎo)子，在R上非零右理想上作為同態(tài)或反同態(tài)，則d=0.Ashaf[2]將結(jié)論推廣到了(σ，τ)導(dǎo)子，Rehman[3]進(jìn)一步研究素環(huán)非零理想上廣義導(dǎo)子作為同態(tài)或反同態(tài). 本文討論了素環(huán)Jordan理想上廣義導(dǎo)子作為同態(tài)或反同態(tài)的結(jié)果 .

1 預(yù)備知識(shí)

如果對(duì)任意的a,b∈R，aRb=0 有a=0或b=0, 則稱R為素環(huán).?x,y∈R，有[x,y]=xy-yx,x°y=xy+yx. 如果環(huán)R為2-扭自由的，則對(duì)于a∈R，2a=0必有a=0.設(shè)R是結(jié)合環(huán)，d：R→R是R上可加映射，如果對(duì)于任意x,y∈R,有d(xy)=d(x)y+xd(y).則稱d為R上的一個(gè)導(dǎo)子.如果可加映射F：R→R被稱為廣義導(dǎo)子，則F(xy)=F(x)y+xd(y)，x,y∈R.d為F的伴隨導(dǎo)子.環(huán)R的一個(gè)可加子群J稱為環(huán)R的Jordan理想，如果u°r∈J,對(duì)?u∈J,r∈R.成立.

若S為R上非空子集，F(xiàn)為R上廣義導(dǎo)子F(xy)=F(x)F(y)或F(xy)=F(y)F(x).x,y∈S,則F叫做廣義導(dǎo)子作為同態(tài)或反同態(tài).

2 主要結(jié)果

引理1[[4]引理2.5]：R為2-扭自由素環(huán)，J為R上非零Jordan理想，若aJ=(0)或Ja=(0),a∈R 則 a=0.

引理2[[4]引理2.6]：R為2-扭自由素環(huán)，J為R上非零Jordan理想，若aJb=(0)，則有a=0或b=0.

引理3[[4]引理2.7]：R為2-扭自由素環(huán)，J為R上非零Jordan理想，若J為可交換Jordan理想，則J?Z(R).

定理1：R為2-扭自由素環(huán)，J為R上非零Jordan理想，假設(shè)F為廣義導(dǎo)子，伴隨導(dǎo)子為d

(i)F作為同態(tài)在J上，若d≠0,則R為可交換的.

(ii)F作為反同態(tài)在J上，若d≠0,則R為可交換的.

證：假設(shè)R為不可交換的

(i)若F作為同態(tài)在J上，有

(1)F(xy)=F(x)y+xd(y)=F(x)F(y) x,y∈J.

對(duì)于x,y,z∈J可得

(2)F(xyz)=F(xy)z+xyd(z) x,y,z∈J.

另一方面

(3)F(xyz)=F(x)F(yz)=F(x)F(y)z+F(x)yd(z) x,y,z∈J.

比較(2)和(3)，可得 (F(x)-x)yd(z)=0 x,y,z∈J.

(F(x)-x)Jd(z)=0 x,z∈J. 由引理2可知(F(x)-x)=0或d(z)=0

若d(z)=0 z∈J.則d=0 與已知矛盾

另一方面F(x)=x x∈J. 則xy=F(xy)=F(x)y+xd(y) x,y∈J.

可知xd(y)=0 Jd(y)=0 由引理1可知d(y)=0 y∈J.

d=0與已知矛盾.

(ii)若F作為反同態(tài)在J上，有

(4) F(xy)=F(x)y+xd(y)=F(y)F(x) x,y∈J.

在(4)式中用xy代替x，并應(yīng)用(4)式，可得

(5)xyd(y)=F(y)xd(y) x,y∈J.

在(5)式中用zx代替x，可得

(6)zxyd(y)=F(y)zxd(y) x,y,z∈J.

在(5)式中左乘z，可得

(7)zxyd(y)=zF(y)xd(y) x,y,z∈J.

比較(6)和(7)可得[F(y),z]xd(y)=0 x,y,z∈J.則

[F(y),z]Jd(y)=0 y∈J 由引理2知[F(y),z]=0或d(y)=0.

由于J1和J2是J的兩個(gè)可加子群J=J1∪J2.又因?yàn)橐粋€(gè)群不可以寫成兩個(gè)真子群的并，則有J=J1和J=J2.

若J=J1,則d(y)=0 y∈J.則d=0.與已知矛盾.

若J=J2,則有[F(y),z]=0 y,z∈J.用yz代替y可得，[y,z]d(z)+y[d(z),z]=0.

再用xy代替y可得[x,z]yd(z)=0 x,y,z∈J.即[x,z]Jd(z)=0.由引理2可知

d(z)=0 z∈J(與已知矛盾).或[x,z]=0 x,z∈J.由引理3可知J?Z(R),則R為可交換的.

綜上R為可交換的.

3 結(jié) 語

本文研究了在素環(huán)Jordan理想上廣義導(dǎo)子作為同態(tài)或反同態(tài)，若d≠0時(shí)，素環(huán)R是可交換的.把Rehman研究的素環(huán)非零理想上廣義導(dǎo)子的相關(guān)結(jié)果推廣到Jordan理想上，這對(duì)進(jìn)一步的研究是很有幫助的.

[1]Bell H E,Kappe L C.Rings in which derivations satisfy certain algebric conditions[J].Acta Math.Hung,1989,53:339-346.

[2]Ashraf m,Rehman N,Quadri M A.On (σ,τ)-derivations in certain classes of rings[J].Rad.Math.,1999,9:187-192.

[3]Rehman M.On generalized derivation as homomorphisms and anti-homomophisms[J].Glasnic Mat,2004,39(59):27-30.

[4]Zaidi S M A, Ashraf M,Ali. S.On Jordan ideals and left (θ，θ)-derivations in prime rings[J].International Journal of Mathematical Sciences, 2004,37:1957-1964.

[5]Havala B.Generalized derivations in rings[J].Comm.Algebra,1998,26:1147-1166.

[責(zé)任編輯：王軍]

Generalized derivations as homomorphisms or as anti-homomorphisms in a prime ring

YUAN Zhili

( College of Mathematics，Jilin Normal University，Changchun 130000，China)

In the present paper it is shown that: if R is 2-torsion free prime ring, letJbe a nonzero Jordan ideal of R and F a generalized derivation of R such that either F(xy) = F(x)F(y) or F(xy) = F(y)F(x) for all x,y ∈ J,if d≠0, then R is commutative.

prime rings;generalized derivations;Jordan ideals

2016-03-14

苑智莉(1992—)，女，吉林松原人，吉林師范大學(xué)碩士研究生，主要從事環(huán)論的研究.

O153.3

A

1672-3600(2017)03-0018-02