江蘇省常熟理工學(xué)院 (215500)

盛一凡*

江蘇省常熟市滸浦高級(jí)中學(xué) (215512)

殷偉康

基于多元表征理論下的數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐與思考

江蘇省常熟理工學(xué)院 (215500)

盛一凡*

江蘇省常熟市滸浦高級(jí)中學(xué) (215512)

殷偉康

所謂“多元表征理論”即是更加強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)問(wèn)題心理表征的多元性，強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)問(wèn)題表征不同方面的相互滲透與必要互補(bǔ).更為重要的是，“多元表征理論”突出強(qiáng)調(diào)了數(shù)學(xué)問(wèn)題的心理表征往往包含多個(gè)不同的方面或成分，這些成分對(duì)于數(shù)學(xué)問(wèn)題的正確理解都具有重要的作用；另外，與片面強(qiáng)調(diào)其中的某一成分相對(duì)應(yīng)，我們又應(yīng)更加重視這些成分之間的聯(lián)結(jié)與相互轉(zhuǎn)換，進(jìn)行多元表征，發(fā)現(xiàn)解題思路，有助于學(xué)生不斷完善認(rèn)知結(jié)構(gòu)，更有利于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)表達(dá)能力，提升數(shù)學(xué)素養(yǎng).

1.加強(qiáng)數(shù)學(xué)問(wèn)題表征的轉(zhuǎn)換訓(xùn)練，提高數(shù)學(xué)表達(dá)能力

著名心理學(xué)家西蒙指出：“表征是問(wèn)題解決的一個(gè)中心環(huán)節(jié)，它說(shuō)明問(wèn)題在頭腦里是如何呈現(xiàn)的，如何表現(xiàn)出來(lái)的.”因而，在數(shù)學(xué)概念和數(shù)學(xué)公式的教學(xué)過(guò)程中要注重引導(dǎo)學(xué)生把握表征取向，加強(qiáng)數(shù)學(xué)問(wèn)題表征的轉(zhuǎn)換訓(xùn)練，創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，使問(wèn)題表征盡可能和數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)公式相匹配，加深對(duì)概念、公式的理解.

基本不等式不同于方程、函數(shù)這樣的以等式變換為主要特征的數(shù)學(xué)內(nèi)涵，出現(xiàn)了一種更加靈活的數(shù)學(xué)現(xiàn)象：研究?jī)蓚€(gè)變量組成的代數(shù)式之間的不等關(guān)系.兩個(gè)變量，兩個(gè)代數(shù)式，一個(gè)恒成立的不等關(guān)系式.這種新型的數(shù)學(xué)模式對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)是陌生的，不少學(xué)生的思維可能仍然囿于原有的思維模式之中，此時(shí)需要教師有意識(shí)地指導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行問(wèn)題表征轉(zhuǎn)換訓(xùn)練，展示其不同的表征形式，讓學(xué)生了解數(shù)學(xué)問(wèn)題表征的特點(diǎn)和主要表征形式，并逐步掌握問(wèn)題表征的基本要領(lǐng)，促進(jìn)學(xué)生建立數(shù)學(xué)公式的多元表征和深層次理解基本不等式.

(1)語(yǔ)言表征：兩個(gè)正數(shù)的等差中項(xiàng)不小于它們的等比中項(xiàng).也可表述為兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)(當(dāng)且僅當(dāng)兩個(gè)正數(shù)相等時(shí)，這兩種平均數(shù)相等).讓學(xué)生通過(guò)用簡(jiǎn)潔準(zhǔn)確的語(yǔ)言表述公式，這不僅有助于學(xué)生理解基本不等式，而且有利于提高學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)交流能力和數(shù)學(xué)素養(yǎng).

(3)操作表征：利用Excel 進(jìn)行現(xiàn)場(chǎng)操作，讓學(xué)生分別取值計(jì)算兩個(gè)正數(shù)的等差中項(xiàng)、等比中項(xiàng)，通過(guò)對(duì)比計(jì)算結(jié)果，發(fā)現(xiàn)兩個(gè)代數(shù)式之間的關(guān)系，由此猜想出基本不等式.這樣有利于學(xué)生進(jìn)行歸納、概括與猜想活動(dòng)，提供具體和易于理解的直接經(jīng)驗(yàn).

“商品打折”問(wèn)題的設(shè)計(jì)，把生活中的鮮活題材引入課堂教學(xué)，賦予“基本不等式”以新的活力，讓學(xué)生從數(shù)學(xué)角度觀察日常生活中的現(xiàn)象，經(jīng)歷抽象提煉數(shù)學(xué)模型和數(shù)學(xué)應(yīng)用的過(guò)程，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng).

圖1

試指出圖中哪條線段分別是a,b算術(shù)平均值和幾何平均值？能否比較他們的大小關(guān)系？

借助學(xué)生熟知的幾何圖形，引導(dǎo)學(xué)生從幾何圖形中抽象出基本不等式，使學(xué)生體會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想，領(lǐng)悟數(shù)學(xué)韻味，同時(shí)也使得學(xué)生理解很多看似抽象的代數(shù)不等式都源于幾何圖形，體會(huì)從形到數(shù)的轉(zhuǎn)化.

通過(guò)數(shù)學(xué)問(wèn)題表征的轉(zhuǎn)換訓(xùn)練，幫助學(xué)生建立起各種表征方式之間的聯(lián)系，不僅可以不斷提升學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題的各種表征進(jìn)行系統(tǒng)內(nèi)轉(zhuǎn)換和系統(tǒng)間的轉(zhuǎn)譯能力，提高多元表征能力，而且還能使學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題的表征形成直覺(jué)和積累經(jīng)驗(yàn)，從而加深對(duì)問(wèn)題的理解和數(shù)學(xué)表征的體驗(yàn)，領(lǐng)悟其本質(zhì)，提高數(shù)學(xué)表達(dá)能力.

2.創(chuàng)設(shè)問(wèn)題多維表征的交流平臺(tái)，提高問(wèn)題表征能力

數(shù)學(xué)問(wèn)題的表征模式是由數(shù)學(xué)概念、命題、算法與策略經(jīng)驗(yàn)等基本模式產(chǎn)生的心理圖式.數(shù)學(xué)概念、命題、算法等基本模式具有對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題轉(zhuǎn)譯方式的多樣性，從而形成了表征方式的多樣性，每一種表征中的聯(lián)結(jié)詞都包含著解題策略和方法.問(wèn)題多維表征是解題思路產(chǎn)生的源泉，因而在數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中，教師要善于運(yùn)用啟發(fā)性提示語(yǔ)：“你能否根據(jù)自己的聯(lián)想，嘗試用適當(dāng)?shù)姆绞綄?wèn)題進(jìn)行重新表征？”“在遇到困難的情況下，你能否變換問(wèn)題的表征方式，調(diào)整解題的思維方向？”激活學(xué)生原有的知識(shí)塊，產(chǎn)生聯(lián)想，誘發(fā)學(xué)生進(jìn)行多維表征.

問(wèn)題2(2015年江蘇省高考試題第10題)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以點(diǎn)(1，0)為圓心且與直線mx-y-2m-1=0(m∈R)相切的所有圓中，半徑最大的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為________.

表征2：(函數(shù)模式)令m+1=t，則t≠0，

通過(guò)不同表征方式的交流，處于不同層次的學(xué)生將會(huì)對(duì)自己的表征方式進(jìn)行同化和順應(yīng)，將會(huì)改進(jìn)、完善已有信息表征方式，提升問(wèn)題表征的質(zhì)量，積累問(wèn)題表征的經(jīng)驗(yàn).

3.通過(guò)問(wèn)題表征系統(tǒng)的建構(gòu)與分析，形成解題思維走向

當(dāng)數(shù)學(xué)問(wèn)題中信息較多時(shí)，則容易產(chǎn)生干擾交錯(cuò)的現(xiàn)象，很多學(xué)生常常因此出現(xiàn)思維不暢，無(wú)法順利解答.通過(guò)建構(gòu)表征系統(tǒng)，可以理順信息間的邏輯關(guān)系和因果聯(lián)系，進(jìn)而幫助學(xué)生形成清晰的解題思維走向.

問(wèn)題3(2016年江蘇省高考試題第14題)在銳角三角形ABC中，sinA=2sinBsinC，則tanAtanBtanC的最小值是________.

通過(guò)建構(gòu)表征系統(tǒng)，本題信息：①銳角三角形ABC；②sinA=2sinBsinC；③tanAtanBtanC的最小值.引導(dǎo)學(xué)生從中提取出核心信息“sinA=2sinBsinC”，據(jù)此聚攏所有信息，逐步把握問(wèn)題的本質(zhì)，最終形成條件與目標(biāo)之間的思維通道.

tanAtanBtanC的最小值是8.

思維走向2：(以地位關(guān)系為起點(diǎn))將核心信息②化解為tanB+tanC=2tanBtanC，據(jù)此，聯(lián)想三角形中重要結(jié)論tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC，從整體思考，運(yùn)用基本不等式即可.由信息①得tanA>0,tanB>0，tanC>0，tanAtanBtanC=tanA+tanB+tanC=tanA+2tanBtanC

通過(guò)建構(gòu)表征系統(tǒng)，確定核心信息，理順信息之間的關(guān)系，按照不同的起點(diǎn)形成相應(yīng)的思維走向.

4.學(xué)會(huì)選擇合理的模式表征的方法，簡(jiǎn)約解題思維過(guò)程

數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決的前提條件是對(duì)問(wèn)題進(jìn)行合理表征.辨別問(wèn)題的類型，根據(jù)問(wèn)題的結(jié)構(gòu)特征，聯(lián)想已有的模式結(jié)構(gòu)特征，進(jìn)行模式識(shí)別(包括模式特征、適用條件、模式的本質(zhì)和功能)，再進(jìn)行問(wèn)題表征.問(wèn)題表征是否適宜，直接影響到數(shù)學(xué)問(wèn)題解決的難易和快慢.

適當(dāng)?shù)膱D形表征有助于問(wèn)題的形象直觀思考，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)問(wèn)題深層次結(jié)構(gòu)特征的正確表征，更容易激活問(wèn)題圖式，從而順利解決問(wèn)題.合理的模式表征有助于簡(jiǎn)約問(wèn)題解決的思維長(zhǎng)度，快速解決問(wèn)題.

總之，在教學(xué)中要?jiǎng)?chuàng)設(shè)展示學(xué)生問(wèn)題表征的時(shí)機(jī)，引導(dǎo)學(xué)生深入問(wèn)題內(nèi)部，建構(gòu)恰當(dāng)?shù)男畔⒈碚飨到y(tǒng)和高質(zhì)量的盡可能多的圖式表征，讓學(xué)生積累豐富的問(wèn)題表征的方式和經(jīng)驗(yàn)，有效地提高學(xué)生理解問(wèn)題和問(wèn)題表征能力.

[1]殷偉康.培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)問(wèn)題表征能力 “三部曲”[J].中學(xué)數(shù)學(xué)(高中版),2013(7)：65-67.

[2]陳勇,丁益民.解題活動(dòng)中表征系統(tǒng)的建構(gòu)與分析[J].中學(xué)數(shù)學(xué)(高中版),2015(1)：23-24.

[3]陸學(xué)政.“多元表征理論”指導(dǎo)下的“數(shù)列概念”教學(xué)[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考,2012(4)：10-13.

[4]王思儉.2015年高考數(shù)學(xué)江蘇卷特點(diǎn)回眸[J].中小學(xué)數(shù)學(xué)(高中版),2015(7-8)：119-122.

* 作者為2015級(jí)經(jīng)濟(jì)統(tǒng)計(jì)學(xué)專業(yè)在讀生.