柔順機(jī)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計中的拓?fù)鋱D提取綜述*

付永清，朱健瓔，金周晟

(華南理工大學(xué) 設(shè)計學(xué)院，廣州 510640)

柔順機(jī)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計中的拓?fù)鋱D提取綜述*

付永清，朱健瓔，金周晟

(華南理工大學(xué) 設(shè)計學(xué)院，廣州 510640)

針對柔順機(jī)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計中的拓?fù)鋱D提取問題，就其中的中間單元、棋盤格和輪廓提取問題進(jìn)行了詳細(xì)綜述。在此基礎(chǔ)上，指出棋盤格的消除、中間單元的取舍和拓?fù)鋱D的輪廓提取是柔順機(jī)構(gòu)拓?fù)鋱D提取中的重要問題，并分析了該三個問題出現(xiàn)的原因。

柔順機(jī)構(gòu)；拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計；棋盤格；中間單元；輪廓提取

0 引言

隨著微機(jī)電系統(tǒng)、微加工和微操作以及新材料等領(lǐng)域的迅速發(fā)展，柔順機(jī)構(gòu)的設(shè)計已經(jīng)成為目前國內(nèi)外機(jī)構(gòu)學(xué)領(lǐng)域的研究熱點[1]。采用拓?fù)鋬?yōu)化方法研究柔順機(jī)構(gòu)的設(shè)計只需給定設(shè)計域和指定輸入輸出位置，無須從一個已知的剛性機(jī)構(gòu)出發(fā)，且所得的機(jī)構(gòu)具有分布式柔性的優(yōu)越性能，因而引起了極大的重視[1-2]。這種方法通常是以有限元分析為基礎(chǔ)，在拓?fù)鋬?yōu)化的初始階段，首先將設(shè)計域離散成一定數(shù)量的有限元網(wǎng)格，再利用優(yōu)化算法確定單元材料的保留與刪除，以滿足預(yù)定的目標(biāo)和約束條件。在優(yōu)化結(jié)果中，單元密度的理想取值為0 或1，當(dāng)單元密度取值為0 時，表示該單元被刪除，單元密度取值為1 時，該單元被保留，于是，由高密度單元連接構(gòu)成機(jī)構(gòu)的拓?fù)鋱D?？梢姡?fù)鋬?yōu)化方法也是具有復(fù)雜構(gòu)型的柔順機(jī)構(gòu)創(chuàng)新設(shè)計的一種有效實用的方法[3]。從現(xiàn)有文獻(xiàn)來看，柔順機(jī)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計中的一些基本問題，如優(yōu)化模型的建立、材料插值模型的確定以及數(shù)值求解技術(shù)的選擇等方面的研究都有了實質(zhì)性的進(jìn)展[1-7]。尤其是以概念簡單、計算效率高而著稱的相對密度法(SIMP)[7]的提出，更使柔順機(jī)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計進(jìn)入了一個嶄新的階段，并在其各種具有復(fù)雜的設(shè)計域形狀和邊界條件的線性和非線性、靜態(tài)和動態(tài)、多材料和多場耦合等工程實際問題中的應(yīng)用展現(xiàn)了前所未有的發(fā)展趨勢[1,2-7]。然而，從現(xiàn)有的研究成果來看，基于拓?fù)鋬?yōu)化方法所設(shè)計出的柔順機(jī)構(gòu)往往還只是機(jī)構(gòu)半成品，難以勝任于工程應(yīng)用。因此，為了能得到工程上所期望的清晰的、勻質(zhì)的、具有光滑輪廓的0-1 機(jī)構(gòu)拓?fù)?，在柔順機(jī)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計中仍面臨著一個極其重要的挑戰(zhàn)——拓?fù)鋱D提取。國內(nèi)外先后都大力開展了這方面的研究，但是，由于其本身所固有的復(fù)雜性，柔順機(jī)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計中的拓?fù)鋱D提取課題目前仍未得到最根本的解決[8-9]，主要體現(xiàn)在：①機(jī)構(gòu)拓?fù)鋱D中存在中間單元。中間單元的出現(xiàn)與人們所期望的清晰的0-1 機(jī)構(gòu)拓?fù)洳环?。閾值法[10]、懲罰函數(shù)法[7]、過濾技術(shù)[11]和單元連結(jié)參數(shù)化[12]等是目前解決該問題的常見方法。然而，這些方法可能難以徹底去除中間單元，或者具有參數(shù)敏感性和計算效率低的缺陷，并且還可能產(chǎn)生鋸齒形邊界和棋盤格現(xiàn)象。因此，解決柔順機(jī)構(gòu)拓?fù)鋱D提取中的中間單元問題的最佳方法仍處于研究階段。②機(jī)構(gòu)拓?fù)鋱D中存在棋盤格現(xiàn)象。棋盤格現(xiàn)象與機(jī)構(gòu)材料的勻質(zhì)連續(xù)屬性相矛盾。目前，消除棋盤格的方法主要有高階單元法[13]、幾何約束算法[1,6,14-16]和小波方法[17]等，但這些方法存在著一些明顯的缺點，如計算量太大、不能徹底消除棋盤格，以及容易導(dǎo)致中間單元問題和鋸齒形邊界等。因此，解決柔順機(jī)構(gòu)拓?fù)鋱D提取中的棋盤格問題的最好方法仍有待研究。③機(jī)構(gòu)拓?fù)鋱D的邊界呈鋸齒形。這種粗糙的邊界常產(chǎn)生應(yīng)力集中，使基于拓?fù)鋬?yōu)化方法所設(shè)計出的機(jī)構(gòu)容易因應(yīng)力集中而造成疲勞、斷裂破壞。因此，為了改進(jìn)柔順機(jī)構(gòu)的性能，必須提取出光滑的拓?fù)鋱D輪廓。目前，典型的輪廓提取方法是對拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果進(jìn)行后處理[18-19]，即先進(jìn)行邊界擬合，然后再對擬合結(jié)果進(jìn)行形狀優(yōu)化。但是由于設(shè)計步驟太多，該方法可能難以獲得全局最佳的結(jié)果[20-21]，從而也將使克服中間單元和棋盤格問題的方法的價值被弱化。近來，研究者也嘗試了將漸進(jìn)拓?fù)鋬?yōu)化和邊界提取相結(jié)合的方法[22]。這種方法具有創(chuàng)新設(shè)計的特色，是目前最新的方法之一。但是，由于其邊界由分段直線構(gòu)成，且不能實現(xiàn)輪廓的分裂和合并，因此仍有一定的局限性?？梢姡鉀Q柔順機(jī)構(gòu)拓?fù)鋱D提取中的輪廓提取問題的最好方法也仍有待深入研究。不同于以上基于有限元的方法，研究人員從修改宏觀幾何形狀的角度又發(fā)展了一種能同時克服上述三個問題的方法，即基于水平集的拓?fù)鋬?yōu)化方法[23]。然而，這種方法也具有初始敏感性、不能生成新孔、計算效率低和難以收斂到不光滑的角點等缺陷，雖然目前已提出一些改進(jìn)的算法，但這些問題尚未得到很好的解決，而且，該方法現(xiàn)仍僅限于求解線性、靜力問題，因此，其魯棒性和拓展應(yīng)用還處于研究階段。

綜上，拓?fù)鋱D提取課題中的中間單元、棋盤格和輪廓提取三個核心問題直接決定了柔順機(jī)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計結(jié)果的工程應(yīng)用性。因此，拓?fù)鋱D提取技術(shù)的研究是柔順機(jī)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計中的重點課題之一，也是難點課題之一[3，8-9]?，F(xiàn)就其中的三個核心問題詳細(xì)地綜述和分析如下：

1 中間單元問題

它是指在基于SIMP方法松弛設(shè)計變量時，單元密度取值介于0與1之間的一種現(xiàn)象。目前，在包括柔順機(jī)構(gòu)在內(nèi)的拓?fù)鋬?yōu)化領(lǐng)域中，主要有以下幾種解決中間單元問題的方法。一是采用形如ρP,(P>1) 的懲罰形式[7]，以減小中間密度單元的剛度影響，然而，這種方法難以徹底去除中間單元。另一種方法是閾值法[10]，但是，由于其閾值選擇是啟發(fā)式的，因而必然影響到算法的執(zhí)行效果。此外，又發(fā)展了在優(yōu)化模型的目標(biāo)函數(shù)或約束條件中追加顯式的懲罰函數(shù)的方法[28]，但這種額外的懲罰項也可能給優(yōu)化軟件尋找可行解造成困難。類似的懲罰函數(shù)方法還有混合的SINH方法[29]和凹約束方法[30]，不過，這兩種方法也依然不能獲得滿意的0-1拓?fù)浣Y(jié)果。另外，基于圖像的過濾技術(shù)[11 ]也被嘗試來克服中間單元問題， 然而，由于其靈敏度計算復(fù)雜，使得計算效率大大降低，且所得的拓?fù)浣Y(jié)果具有網(wǎng)格依賴性。近來，又提出了一種修改最佳準(zhǔn)則表達(dá)形式的啟發(fā)式算法，但是這種方法的最佳拓?fù)浣Y(jié)果具有參數(shù)敏感性。除了上述方法之外，漸進(jìn)算法[31]也是一種常用的去除中間單元的方法。它是通過逐漸地去除無效材料來獲得最佳解，其優(yōu)點是不需引入太多的數(shù)學(xué)理論，但由于這種方法屬于整數(shù)規(guī)劃范疇，靈敏度連續(xù)性差，且被去除的單元不能再被利用，因而計算效率低，并易于導(dǎo)致算法不收斂[32]。在此基礎(chǔ)上，又發(fā)展了雙向漸進(jìn)算法[22]，這種方法旨在去除無效材料的同時，也能添加有效材料，以改進(jìn)收斂效果，但是該方法本質(zhì)上仍是整數(shù)規(guī)劃，且無法精確評估所添加的材料單元的靈敏度。此外，還有模擬退火和SIMP相結(jié)合的方法[33]以及單元連結(jié)參數(shù)化方法[12]，從它們的優(yōu)化結(jié)果來看，也依然無法實現(xiàn)理想的0-1拓?fù)?。更重要的是，上述這些方法有著容易引起鋸齒形邊界和棋盤格現(xiàn)象的共同缺點。近年來，又興起了一種能有效克服中間單元問題的方法，即基于水平集的拓?fù)鋬?yōu)化方法[23]。與基于有限元法的拓?fù)鋬?yōu)化方法不同，這種方法是將圖像處理中的水平集方法和拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計相結(jié)合，通過修改宏觀結(jié)構(gòu)的幾何形狀來實現(xiàn)拓?fù)涞母淖?，因而其拓?fù)浣Y(jié)果中不存在中間單元。從這點來說，基于水平集的拓?fù)鋬?yōu)化方法似乎是一種比較有希望的方法。但是由于這一方法具有初始敏感性、不能生成新孔、計算效率低和難以收斂到不光滑的角點等缺陷，以致它的魯棒性被大打折扣。雖然目前已有一些改進(jìn)的算法提出，如用于提高計算效率的窄帶法[34]以及用于治理初始敏感性和不能生成新孔問題的漸進(jìn)水平集拓?fù)鋬?yōu)化方法[35]等，但總的來說，這些問題仍未完全得到很好的解決。而且，這種方法目前僅用于求解線性、靜力問題，因此，其拓展應(yīng)用也還略嫌不夠。此外，作者[24]研究了一種二階段的柔順機(jī)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計方法，能夠?qū)崿F(xiàn)真正的0-1機(jī)構(gòu)拓?fù)?，但是該方法需要適度增加迭代次數(shù)，同時也會引起鋸齒形邊界?？梢姡犴槞C(jī)構(gòu)拓?fù)鋱D提取中的克服中間單元問題的最有效方法仍處于深入研究階段。

2 棋盤格問題

它是指材料高低密度分布呈周期性交替的現(xiàn)象。目前，在以柔順機(jī)構(gòu)設(shè)計為代表拓?fù)鋬?yōu)化領(lǐng)域中，主要包括以下幾種解決棋盤格問題的方法。一種是高階單元法，其實質(zhì)是利用八節(jié)點或九節(jié)點等參元模型化設(shè)計問題[13]。這種方法能在一定程度上改進(jìn)棋盤格現(xiàn)象，但計算量太大，故不是很適用。另一種常用的方法是施加幾何約束，如周長法[14]、局部密度斜率約束[15]、密度過濾[6]、靈敏度過濾[1]、基于密度單調(diào)性變化的方法[16]，等等。其中，周長約束屬于全局約束，因此不能防止局部小尺寸構(gòu)件的形成，并且其參數(shù)取值將影響到算法的穩(wěn)定性。局部密度斜率約束則是通過限制鄰接單元之間的密度變化來抑制棋盤格現(xiàn)象。它屬于一種局部約束方法，因而難以實現(xiàn)全局最佳，并且，大量密度斜率約束的引入也使設(shè)計過程的計算效率大大降低。另外，密度過濾的基本思路是進(jìn)行單元密度的重新分布，以保證拓?fù)浣Y(jié)果的光滑連續(xù)性。而靈敏度過濾則是利用鄰域單元敏度的加強(qiáng)平均取代各相應(yīng)單元的敏度。過濾算法具有簡單易行的特點，因而是目前應(yīng)用最廣泛的一種方法。此外，基于密度函數(shù)單調(diào)性約束的方法是限定設(shè)計域內(nèi)每點的圓形區(qū)域內(nèi)沿四條直徑方向的密度變化，從而防止棋盤格的出現(xiàn)，只是這種方法也需要增加優(yōu)化求解時間?？偟膩碚f，施加幾何約束的方法有很好的消除棋盤格的效果，但是容易導(dǎo)致中間單元問題。之后，又相繼發(fā)展了基于小波的方法[17]、非協(xié)調(diào)元和雜交元相結(jié)合的方法[36]、拓?fù)浞治龊蛻?yīng)力分析相結(jié)合的方法[37]以及基于拓?fù)涿枋龊瘮?shù)的方法[38]等，這些方法也具有一定的消除棋盤格的效果，但仍然無法避免中間單元的出現(xiàn)。另外，作者研究了基于小波三次樣條插值后處理柔順機(jī)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果的方法[26]。然而，這種方法也會引起中間單元問題，并且，為了改進(jìn)后處理所得的機(jī)構(gòu)的性能，還需要增加額外的輪廓提取和形狀優(yōu)化過程。同時值得注意的是，前述各種方法也都存在著拓?fù)鋱D邊界呈鋸齒形的缺點。此外，基于水平集的拓?fù)鋬?yōu)化方法[23，35]也是解決棋盤格問題的一種有效方法，但是由于上述的缺點，使得這種方法仍有改進(jìn)的余地。因此，柔順機(jī)構(gòu)拓?fù)鋱D提取中的消除棋盤格的高效可行的算法仍有待研究。

3 輪廓提取問題

在包括柔順機(jī)構(gòu)在內(nèi)的拓?fù)鋬?yōu)化領(lǐng)域中，一類典型的拓?fù)鋱D輪廓提取方法是對拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果進(jìn)行后處理[39-41]，即先對拓?fù)鋱D進(jìn)行邊界擬合，然后對擬合結(jié)果作進(jìn)一步的形狀優(yōu)化。根據(jù)邊界擬合的方式不同，這類方法又可細(xì)分為密度輪廓方法[39]、樣條擬合方法[40]和圖像解釋方法[41]三種類型。其中，密度輪廓方法是對拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果進(jìn)行密度再分配，以獲得有限元節(jié)點密度，然后再取節(jié)點密度等值線作為拓?fù)鋱D的輪廓。樣條擬合方法則是利用樣條曲線描述拓?fù)鋱D的邊界。而圖像解釋方法是采用圖形或計算機(jī)視覺技術(shù)，如模板匹配等，來描述拓?fù)浣Y(jié)果的邊界。然而，基于這類方法所提取的拓?fù)浣Y(jié)果一般存在輪廓的精度和光滑性方面的不足，因而也使得額外的形狀優(yōu)化設(shè)計成為必要。但是，這種順序地進(jìn)行拓?fù)鋬?yōu)化和形狀優(yōu)化的方法可能因其設(shè)計步驟太多而難以保證全局最佳[20-21]，結(jié)果又將使解決中間單元和棋盤格問題的方法的價值被弱化。另一類拓?fù)鋱D輪廓提取方法是將拓?fù)鋬?yōu)化和邊界提取相結(jié)合[22]。這類方法簡化了設(shè)計過程，因而是一種具有創(chuàng)新性的方法，不過，由于其邊界由分段直線構(gòu)成，并且不具有拓?fù)渥赃m應(yīng)性，即不能夠?qū)崿F(xiàn)輪廓的分裂和合并，因此也還需要進(jìn)一步改進(jìn)。此外，基于水平集的拓?fù)鋬?yōu)化方法[23,35]無須顯式地提取拓?fù)鋱D輪廓，但是由于如上所述的缺點，尤其是難以收斂到不光滑的角點的問題的存在，導(dǎo)致不能得到滿意的輪廓提取結(jié)果。另外，作者研究了將參數(shù)活動輪廓和樣條擬合相結(jié)合提取柔順機(jī)構(gòu)拓?fù)鋱D輪廓的方法[9]。數(shù)值實驗表明，該方法能獲得較光滑的機(jī)構(gòu)拓?fù)漭喞?，但由于其屬于后處理方法，因此，還需要增加一個額外的形狀優(yōu)化過程來改進(jìn)所提取的機(jī)構(gòu)的性能?？梢?，柔順機(jī)構(gòu)拓?fù)鋱D提取中的拓?fù)鋱D輪廓提取的最好方法仍處于深入研究階段。

4 結(jié)論

從以上分析結(jié)果可以看出，長久以來，柔順機(jī)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計中的拓?fù)鋱D提取技術(shù)始終無法獲得突破性進(jìn)展，具體體現(xiàn)在以下兩個方面：

(1) 拓?fù)鋱D提取課題中的三個核心問題是相互關(guān)聯(lián)、密不可分的，但現(xiàn)有的方法大多只局限于其中的某一個問題，并可能給其它待解決的問題帶來不利影響，這必將導(dǎo)致拓?fù)鋱D提取技術(shù)的整體效果小于解決三個問題的方法之和的現(xiàn)象。雖然少數(shù)方法也能兼顧多個問題，但卻存在著不可忽視的弱點。由此不難發(fā)現(xiàn)，柔順機(jī)構(gòu)拓?fù)鋱D提取技術(shù)進(jìn)展緩慢的一個根本原因在于：迄今為止還沒有完整地建立柔順機(jī)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計中的拓?fù)鋱D提取理論和方法。

(2) 理論上，拓?fù)鋱D提取過程可以嵌套在拓?fù)鋬?yōu)化過程中, 也可以在拓?fù)鋬?yōu)化完成后進(jìn)行?？墒牵缜懊嫠?，后一種情形可能因其設(shè)計步驟太多而難以保證全局最佳解的獲得，而且也不利于加快產(chǎn)品的設(shè)計生產(chǎn)周期。雖然現(xiàn)有方法中也有不少是屬于前一種情形，但它們又存在著片面性或其它缺點。由此可以知道，柔順機(jī)構(gòu)拓?fù)鋱D提取技術(shù)進(jìn)展緩慢的另一個根本原因在于：迄今為止還未能產(chǎn)生絕對意義上的柔順機(jī)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計中的拓?fù)鋱D提取理論和方法?？梢姡仨毎l(fā)展在柔順機(jī)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化過程中解決中間單元、棋盤格和輪廓提取問題的最有效方法，只有這樣，才能從根本上解決柔順機(jī)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計結(jié)果的工程應(yīng)用性問題。

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(編輯 李秀敏)

Topology Extraction Synthesis in the Topology Optimization Design of Compliant Mechanisms

FU Yong-qing,ZHU Jian-ying,JIN Zhou-sheng

(School of Design，South China University of Technology, Guangzhou 510640,China)

Aim to the important issue is to extract a practicable topology from the solution after the topology optimization design of a compliant mechanism, checkerboard patterns and intermediate elements and concour extraction are descriped detaily. On this basis, the elimination of checkerboard patterns, acceptance or rejection of intermediate elements and contour extraction of the resultant topology are affirmed to be three main problems during the topology extraction process for compliant mechanisms. The factors of these three questions are also analyzed.

compliant mechanisms; topology optimization design; checkerboard patterns; intermediate elements; contour extraction

1001-2265(2017)05-0001-04

10.13462/j.cnki.mmtamt.2017.05.001

2016-07-26；

2016-11-13

國家自然科學(xué)基金(51275174)

付永清(1968—)，女，江西高安人，華南理工大學(xué)副教授，博士，研究方向為機(jī)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計和拓?fù)鋱D提取，(E-mail)yqfu@scut.edu.cn。

TH166;TG659

A