喬軍
三角函數(shù)是歷年高考數(shù)學(xué)中的必考的知識(shí),與三角函數(shù)有關(guān)的考點(diǎn)出現(xiàn)的概率基本上是百分之百,每年必考、每省市必考.本文通過綜合分析近年出現(xiàn)在全國各個(gè)省市的高考數(shù)學(xué)試題中的和三角函數(shù)有關(guān)的題目,對(duì)高考中三角函數(shù)考題的考查方式及解析方法進(jìn)行歸納總結(jié),以供讀者學(xué)習(xí)參考.
一、考綱要求
《2016年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試大綱(數(shù)學(xué))》對(duì)于三角函數(shù)這一知識(shí)點(diǎn)要求如下:①理解任意角三角函數(shù)(正弦、余弦、正切)的定義;②能利用單位圓中的三角函數(shù)線推導(dǎo)出π2±α,π±α的正弦、余弦、正切的誘導(dǎo)公式,能畫出y =sinx,y=cosx,y=tanx的圖像,了解三角函數(shù)的周期性;③理解正弦函數(shù)、余弦函數(shù)在區(qū)間[0,2π]上的性質(zhì)(如單調(diào)性、最大值和最小值以及與x軸的交點(diǎn)等),理解正切函數(shù)在區(qū)間-π2,π2內(nèi)的單調(diào)性;④理解同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式:sin2x+cos2x = 1,sinxcosx=tanx.;⑤了解函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的物理意義;能畫出y=Asin(ωx+φ)的圖像,了解參數(shù)A,ω,φ對(duì)函數(shù)圖像變化的影響;⑥了解三角函數(shù)是描述周期變化現(xiàn)象的重要函數(shù)模型,會(huì)用三角函數(shù)解決一些簡單實(shí)際問題.
二、考察方式
總覽每年高考數(shù)學(xué)對(duì)于三角函數(shù)的掌握程度的考察,題型靈活多變,在選擇題、填空題、以及大題中都有出現(xiàn).三角函數(shù)的考查包括基礎(chǔ)理論、基本概念、基本公式變換及三角函數(shù)的特性等知識(shí),該類題目綜合性非常強(qiáng)、思維容量非常大.考查三角函數(shù)題目,不僅可以有效考察學(xué)生對(duì)所學(xué)的知識(shí)的掌握程度,還可以考察學(xué)生的邏輯思維能力.同時(shí)也考查學(xué)生的辯證思維能力.
三、例題分析
例1 (2012年全國理科,7)已知α為第二象限角,
sinα+cosα=33,則cos2α=().
A.-53B.-59C.59D.53
例題精講 sinα+cosα=33,
兩邊平方可得1+
sin2α=13sin2α=-23.
∵α是第二象限角,因此sinα>0,cosα<0,所以
cosα-sinα=-(cosα-sinα)2
=-
1+23=-153
.
∴cos2α=cos2α-sin2α=(cosα+sinα)(cosα-sinα)=-53.
標(biāo)準(zhǔn)答案:A
考點(diǎn)解析 本試題主要考查了三角函數(shù)中兩角和差的公式以及二倍角公式的運(yùn)用.首先利用平方法得到二倍角的正弦值,然后利用二倍角的余弦公式,將所求的轉(zhuǎn)化為單角的正弦值和余弦值的問題.
例2 (2012年全國理科,14)
當(dāng)函數(shù)y=sinx-3cosx(0≤x<2π)取得最大值時(shí),x=.
例題精講 由
y=sinx-3cosx=2sin(x-π3)
由0≤x<2π-π3≤x-π3<5π3
可知-2≤2sin(x-π3)≤2
當(dāng)且僅當(dāng)x-π3=3π2即x=11π6時(shí)取得最小值,x-π3=π2時(shí)即x=5π6取得最大值.
標(biāo)準(zhǔn)答案:5π6.
考點(diǎn)解析 本試題主要考查了三角函數(shù)性質(zhì)的運(yùn)用,求解值域的問題.首先化為單一三角函數(shù),然后利用定義域求解角的范圍,從而結(jié)合三角函數(shù)圖像得到最值點(diǎn).
例3 (2012年全國理科,17)△ABC的內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為
a、b、c,已知cos(A-C)+cosB=1,a=2c,求C.
例題精講 由A+B+C=πB=π-(A+C),
由正弦定理及a=2c可得sinA=2sinC
所以cos(A-C)+cosB=cos(A-C)+cos(π-(A+C))=cos(A-C)-cos(A+C)=cosAcosC+sinAsinC-cosAcosC+sinAsinC=2sinAsinC
故由cos(A-C)+cosB=1與sinA=2sinC可得2sinAsinC=14sin2C=1.
而C為三角形的內(nèi)角且a=2c>c,故
0 考點(diǎn)解析 本試題主要考查解三角形的運(yùn)用,給出兩個(gè)公式,一個(gè)是邊的關(guān)系,一個(gè)是角的關(guān)系,而求解的為角,因此要找到角的關(guān)系式為好.該試題從整體來看保持了往年的解題風(fēng)格,依然是通過邊角的轉(zhuǎn)換,結(jié)合了三角形的內(nèi)角和定理的知識(shí),以及正弦定理和余弦定理,求解三角形中的角的問題.試題整體上比較穩(wěn)定,思路也比較容易想,先將三角函數(shù)關(guān)系式化簡后,得到A,C角關(guān)系,然后結(jié)合a=2c,得到兩角的二元一次方程組,自然很容易得到角C的值. 例4 (2016年北京理科,15) 在△ABC中,a2+c2=b2+2ac. (1)求∠B的大小; (2)求2cosA+cosC的最大值. 例題精講 (1)由余弦定理及題目得cosB= a2+c2-b22ac=2ac2ac=22,又因?yàn)? (2)由(1)知A+C=3π4, 2cosA+cosC=2cosA+cos(3π4-A) =2cosA-22cosA+22sinA =22cosA+22sinA=cos(A-π4),
例5 (2016年北京理科,7)將函數(shù)y=sin(2x-
π3)圖象上的點(diǎn)P(π4,t)向左平移s(s>0)個(gè)單位長度得到點(diǎn)P′,若P′位于函數(shù)y=sin2x的圖象上,則().
A.t=12,s的最小值為π6
B.t=32,s的最小值為π6
C.t=12,s的最小值為π3
D.t=32,s的最小值為π3
例題精講 由題意得,t=sin(2×
π4-π3)=12,故此時(shí)P′所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為(π12,
12),此時(shí)向左平移
π4-π12=π6.
答案:A
考點(diǎn)解析
三角函數(shù)的圖象變換,有兩種選擇:一是先伸縮再平移,二是先平移再伸縮.特別注意平移變換時(shí),當(dāng)自變量x的系數(shù)不為1時(shí),要將系數(shù)先提出.翻折變換要注意翻折的方向;三角函數(shù)名不同的圖象變換問題,應(yīng)先將三角函數(shù)名統(tǒng)一,再進(jìn)行變換.
例6 (2016年上海理科,7)
方程3sinx=1+cos2x在區(qū)間[0,2π]上的解為.
例題精講
由cos2x=1-2sin2x,3sinx=2-2sin2x,即2sin2x+3sinx-2=0,
所以(2sinx-1)(sinx+2)=0,
所以sinx=12,
所以x=π6或5π6
答案:π6或5π6
考點(diǎn)解析 考查二倍角的計(jì)算公式,將三角函數(shù)與二次函數(shù)結(jié)合.
例7 (2016年山東理科,7)
函數(shù)f(x)=(3sinx+cosx)(3cosx-sinx)的最小正周期是().
A.π2B.πC.3π2D.2π
例題精講 化簡式子得f(x)=2sin(x+π6)×2cos(x+π6)=2sin(2x+π3),故最小正周期T=2π2=π,故選B.
考點(diǎn)解析 這道題目主要考察求值問題,三角函數(shù)的周期性計(jì)算.
例8 (2016年山東理科,16)
在△ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知2(tanA+tanB)=tanAcosB+tanBcosA.
(Ⅰ)證明:a+b=2c;
(Ⅱ)求cosC的最小值.
例題精講
(Ⅰ)由題意知2(sinAcosA+sinBcosB)=sinAcosAcosB+sinBcosAcosB,
化簡得2(sinAcosB+sinBcosA)=sinA+sinB,
即2sin(A+B)=sinA+sinB
又因?yàn)锳+B+C=π,所以sin(A+B)=sin(π-C)=sinC,
進(jìn)一步得sinA+sinB=2sinC,由正弦定理得a+b=2c.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知c=a+b2,所以
cosC=a2+b2-c22ab=a2+b2-(a+b2)22ab=38(ba+ab)-14≥12,
當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí),等號(hào)成立.
故cosC的最小值為12.
考點(diǎn)解析 (Ⅰ)根據(jù)兩角和正弦公式、正切公式、正弦定理即可證明;
(Ⅱ)根據(jù)余弦定理公式表示出cosC,由基本不等式求出cosC的最小值.
例9 (2016年全國理科,12)
已知函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,φ
SymbolcB@ π2),x=-π4為f(x)的零點(diǎn),x=π4為y=f(x)圖像的對(duì)稱軸,且f(x)在(π18,5π36)單調(diào),則ω的最大值為().
A.11B.9C.7D.5
例題精講
因?yàn)閤=-π4為f(x)的零點(diǎn),x=π4為y=f(x)圖像的對(duì)稱軸,所以π4-(-π4)=T4+k2T,即
π2=2k+14T=2k+14·2πω
,所以ω=2k+1(k∈N),又因?yàn)閒(x)在
(π18,5π36)單調(diào),所以
5π36-π18=π12≤T2=2π2ω,即ω≤12,當(dāng)ω=11時(shí),由-114π+φ=kπ(k∈Z),|φ|≤π2得φ=-π4,此時(shí)f(x)在(π18,5π36)不單調(diào),不滿足題意,當(dāng)ω=9時(shí),φ=π4,滿足題意,所以ω
的最大值為9.故選B.
考點(diǎn)解析 三角函數(shù)的性質(zhì),包括周期性、單調(diào)性以及對(duì)稱性,同時(shí)將三角函數(shù)和最值問題結(jié)合在一起考查,考查方式靈活新穎.
例10 (2016年全國理科,17)
△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知2cosC(acosB+bcosA)=c.
(Ⅰ)求C;
(Ⅱ)若c=7,△ABC的面積為332,求△ABC的周長.
例題精講
(Ⅰ)由已知及正弦定理得,
2cosCsinΑcosΒ+sinΒcosΑ=sinC,
2cosCsinΑ+Β=sinC,
故2sinCcosC=sinC,
可得cosC=12,所以C=π3.
(Ⅱ)由已知12absinC=332,又C=π3,所以ab=6,
由余弦定理可得,
a2+b2-2abcosC=7,
故a2+b2=13,從而(a+b)2=25,
故△ABC周長為5+7.
考點(diǎn)解析 (Ⅰ)考查通過余弦定理進(jìn)行邊和角的關(guān)系互換,進(jìn)一步化簡即可求出C角的大小.
(Ⅱ)根據(jù)題目已知條件12absinC=332
以及(Ⅰ)中C=π3可得ab=6,再通過余弦定理可得(a+b)2=25,從而可得△ABC的周長為5+7.
例11 (2016年全國理科,5)若tanα=34,則cos2α+2sin2α=().
A.6425B.4825C.1D.1625
例題精講 由tanα=34,計(jì)算可得
sinα=35,cosα=45或sinα=-35,cosα=-45,故cos2α+2sin2α=1625+4×1225=6425,故選A.
考點(diǎn)解析 同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系計(jì)算,即sin2x+cos2x=1,同時(shí)考查二倍角公式計(jì)算
例12 (2016年全國理科,14)
函數(shù)y=sinx-3cosx
的圖像可由函數(shù)
y=sinx+3cosx的圖像至少向右平移個(gè)單位長度得到.
例題精講
因?yàn)閥=sinx+3cosx
=2sin(x+π3),
y=sinx-3cosx=2sin(x-π3)=2sin[(x+π3)-2π3],故函數(shù)y=sinx-3cosx
的圖像可由函數(shù)
y=sinx+3cosx的圖像至少向右平移2π3
個(gè)單位長度得到.
答案:2π3
考點(diǎn)解析 考查三角函數(shù)圖象沿水平方向的平移變換,以及兩角和與差的正弦公式.
例13 (2016年江蘇(Ⅰ),14)在銳角三角形ABC中,sinA=2sinBsinC,則tanAtanBtanC的最小值是 .
例題精講 由三角函數(shù)基本公式
sinA=sinπ-A=sinB+C=sinBcosC+cosBsinC和sinA=2sinBsinC,
可得sinBcosC+cosBsinC=2sinBsinC(*),
又因?yàn)椤鰽BC為銳角三角形,則cosB>0,cosC>0,
在(*)式兩側(cè)同時(shí)除以cosBcosC可以得到tanB+tanC=2tanBtanC,
又因?yàn)閠anA=-tanπ-A=-tanB+C=-tanB+tanC1-tanBtanC(#),
則tanAtanBtanC=-tanB+tanC1-tanBtanC×tanBtanC,
由tanB+tanC=2tanBtanC可得tanAtanBtanC=-2tanBtanC21-tanBtanC,
再令tanBtanC=t,由A,B,C為銳角可得tanA>0,tanB>0,tanC>0,
由(#)得1-tanBtanC<0,解得t>1
tanAtanBtanC=-2t21-t=-21t2-1t,1t2-1t=1t-122-14,
由t>1則0>1t2-1t≥-14,因此tanAtanBtanC最小值為8,
當(dāng)且僅當(dāng)t=2時(shí)取到等號(hào),此時(shí)tanB+tanC=4,tanBtanC=2,
解得tanB=2+2,tanC=2-2,tanA=4(或tanB,tanC互換),此時(shí)A,B,C均為銳角.
答案:8
考點(diǎn)解析 該題目可以稱為高考中填空題的壓軸題,主要考察三角函數(shù)的基本公式計(jì)算,考查正弦、余弦、正切函數(shù)之間的公式變換,解答該題目需要考生熟練掌握三角函數(shù)的基本公式,要求考生有高超的計(jì)算能力.
例14 (2016年江蘇(Ⅰ),15)
在△ABC中,AC=6,cosB=45,C=π4.(1)求AB的長;
(2)求cosA-π6的值.
例題精講
(1)因?yàn)閏osB=45,又因?yàn)锽為三角形的內(nèi)角,故sinB=35,因?yàn)?/p>
ABsinC=ACsinB,所以
AB22=635,算出AB=52.
(2)因?yàn)閏osA=-cosC+B=sinBsinC-cosBcosC,
所以cosA=-210,又因?yàn)锳為三角形的內(nèi)角
,所以sinA=7210.
所以cos(A-π6)=32cosA+12sinA=72-620.
考點(diǎn)解析 考察三角形的內(nèi)角關(guān)系,三個(gè)角之間的相互轉(zhuǎn)換計(jì)算.但是計(jì)算的數(shù)據(jù)比較復(fù)雜,要求考生要有較強(qiáng)的計(jì)算能力.
例15 (2016年北京文科,13)在△ABC中,∠A=2π3,a=3c,則
bc=.
例題精講
由正弦定理可知
sinAsinC=ac=3,所以sinC=sin2π33=12,所以C=π6,所以B=π-2π3-π6=π6,所以b=c,即bc=1.
考點(diǎn)解析 考查三角形角和邊的基本關(guān)系,以及不同角之間的關(guān)系.
例16 (2016年北京文科,16)
已知函數(shù)f(x)=2sinωxcosωx+cos2ωx(ω>0)的最小正周期為π.
(Ⅰ)求ω的值;
(Ⅱ)求f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間.
例題精講
(Ⅰ)因?yàn)閒(x)=2sinωxcosωx+cos2ωx=sin2ωx+cos2ωx=2sin(2ωx+π4)
所以f(x)的最小正周期T=2π2ω=πω.由題意可知πω=π,故ω=1.
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知f(x)=2sin(2x+π4)
函數(shù)y=sinx的單調(diào)遞增區(qū)間為[2kπ-π2,2kπ+π2](k∈Z).
由2kπ-π2≤2x+π4≤2kπ+π2,
得kπ-3π8≤x≤kπ+π8.
所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為[kπ-3π8,kπ+π8](k∈Z).
考點(diǎn)解析 考查三角函數(shù)的周期性、單調(diào)性、二倍角公式以及兩角之間正弦余弦的轉(zhuǎn)換.這道題可以說綜合考查了三角函數(shù)的所有知識(shí)點(diǎn),題目難度不大但是需要考生熟練掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn).
例17 (2016年全國文科,12)
若函數(shù)f(x)=x-13sin2x+asinx在(-∞,+∞)單調(diào)遞增,則a的取值范圍是().
A.[-1,1] B.[-1,13]
C.[-13,13]D.[-1,-13]
例題精講
由f ′(x)=1-23cos2x+acosx≥0對(duì)x∈R恒成立,
可知1-23(2cos2x-1)+acosx≥0;即
-43t2+at+53≥0,對(duì)t∈[-1,1]恒成立,設(shè)函數(shù)f(t)=-43t2+at+53,則開口向下的二次函數(shù)的最小值可能為端點(diǎn)值,故只需要保證f(-1)=13-a≥0f(1)=13+a≥0,解方程組得到
-13≤a≤13,故答案為C.
考點(diǎn)解析 這道題目不僅考查了三角函數(shù)知識(shí),還考查了二次函數(shù)以及導(dǎo)數(shù)問題.將三角函數(shù)與二次函數(shù)、導(dǎo)數(shù)結(jié)合起來,難度增加,但是只要考生熟練掌握考點(diǎn),這道題目計(jì)算起來還是可以非???
例18 (2016年全國文科,14)
已知θ是第四象限角,且sin(θ+π4)=35,則tan(θ-π4)= .
例題精講
由sin(θ+π4)=35,且角θ在第四象限可得cos(θ+π4)=45,所以
sinθcosπ4+cosθsinπ4=35,
cosθcosπ4-sinθsinπ4=45,解方程組得
sinθ=1-52,
cosθ=752,
所以tanθ=-17,
tan(θ-π4)=tanθ-tanπ41+tanθtanπ4=-17-11-17×1=-43.
考點(diǎn)解析 考查坐標(biāo)系中不同象限的角度的三角函數(shù)值,不同角度的計(jì)算.圖1
例19 (2016年新課標(biāo)文科,3)函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的部分圖像如圖1所示,則().
A.y=2sin(2x-π6)B.y=2sin(2x-π3)
C.y=2sin(2x+π6)D.y=2sin(2x+π3)
例題精講
由圖1知,A=2,周期T=π,所以ω=2ππ=2,故y=2sin(2x+φ),又因?yàn)閳D像過(π3,2),所以sin(2π3+φ)=1,所以2π3+φ=2kπ+π2(k∈Z),當(dāng)k=0時(shí),φ=-π6,所以y=2sin(2x-π6).
故選A.
四、復(fù)習(xí)策略
在平時(shí)學(xué)習(xí)三角函數(shù)與考前復(fù)習(xí)的過程中,對(duì)于和三角函數(shù)有關(guān)的知識(shí)點(diǎn)的學(xué)習(xí)都要接觸到,要加強(qiáng)練習(xí),勤思考,勤整理.
(1)熟練掌握三角函數(shù)的基本性質(zhì),達(dá)到舉一反三、融會(huì)貫通的效果,關(guān)鍵是要能夠理解三角函數(shù)的基本性質(zhì),切忌死記硬背;
(2)加強(qiáng)題目練習(xí),在做題的過程中尋找規(guī)律,同時(shí)習(xí)題練習(xí)要求精,同時(shí)要提高計(jì)算能力;
(3)嘗試將三角函數(shù)與二次函數(shù)、幾何、導(dǎo)數(shù)等知識(shí)點(diǎn)相聯(lián)系,結(jié)合分析,鍛煉自己的靈活度.
(收稿日期:2016-08-22)