楊 靜，李韶峰，張利紅，朱新穎，王韓奎

(周口師范學院 物理與電信工程學院， 河南 周口 466000)

光學教材中有關(guān)橢圓偏振光知識的分析與解讀

楊 靜，李韶峰，張利紅，朱新穎，王韓奎

(周口師范學院 物理與電信工程學院， 河南 周口 466000)

常見的本科光學教材中，在平面簡諧電磁波的波函數(shù)形式、橢圓偏振光的旋向與兩子波的相位差之間的關(guān)系、橢圓偏振光的瓊斯矢量表達式等知識點上，所給出的推導過程和結(jié)論不盡相同，甚至互相矛盾，令學生迷惑、誤解. 結(jié)合筆者的教學經(jīng)驗，對以上問題進行了對比分析，對各知識點進行了深入梳理，經(jīng)推導和證明，給出了明確的結(jié)論.

波函數(shù)；橢圓偏振光；旋向；瓊斯矢量

The analysis and interpretation of the knowledge about elliptically polarized light in optics textbooks. Journal of Zhejiang University(Science Edition), 2017,44(1):053-056

振動方向相對于傳播方向的不對稱性叫作偏振. 光波是電磁波，光波中的電振動矢量E和磁振動矢量H都與傳播速度v垂直，因此，具有偏振性的光稱為偏振光. 偏振光學是光學領(lǐng)域中一個重要的分支，偏振光在光學顯示和光學測試中有著不可替代的作用.

在高等院校本科教學中，光學與工程光學是物理、光電子等理工科相關(guān)專業(yè)的必修課程.教材版本較多，常見的有玻恩等[1]的《光學原理》、葉玉堂等[2]的《光學教程》、趙凱華[3]的《光學》，郁道銀等[4]的《工程光學》、姚啟鈞[5]的《光學教程》等.以上教材對光的偏振知識的介紹各有側(cè)重點，但在平面簡諧電磁波的波函數(shù)、橢圓偏振光的旋向判斷以及偏振光的瓊斯矢量表示等知識點的推導過程及表達形式上略有不同，有的甚至相互矛盾，導致學生迷惑不解.為此，筆者擬對上述教材中橢圓偏振光相關(guān)知識存在的差異和矛盾進行對比分析，討論并厘清其中存在的問題.

1 平面簡諧電磁波的波函數(shù)表達

由麥克斯韋方程組可以解得電場強度E有多種

形式的解，以最簡單的平面電磁波為例，假設(shè)平面波沿直角坐標系的z方向傳播，其波動方程為[1]：

(1)

其中，v為電磁波的傳播速度. 在均勻介質(zhì)中，如果沒有電流和電荷，其解有2種表達形式：

(2a)

(2b)

對頻率為ω的平面簡諧電磁波，波動方程的解可寫為：

(3)

(4)

(5)

(6)兩式中指數(shù)上的正負號代表2種不同的選擇，選擇任何一種均可，其運算完全等效.文獻[2-3]采用式(5)，指數(shù)取負號；文獻[4-5]采用式(6)，指數(shù)取正號.

綜上，平面簡諧電磁波的波函數(shù)計算，各版本選擇一致，形式上都可轉(zhuǎn)化為：

(7)

2 橢圓偏振光的旋向問題

2.1 左右旋偏振光中存在的左右手關(guān)系問題

當兩列頻率相同、傳播方向相同、振動方向互相垂直的單色波疊加時，根據(jù)兩列光波相位差、振幅的關(guān)系，合成光可以是線偏振光、圓偏振光和橢圓偏振光. 關(guān)于(橢)圓偏振光的旋向規(guī)定，4種教材都遵循傳統(tǒng)習慣，即迎著光傳播方向看，兩列光合矢量箭頭的末端若是順時針旋轉(zhuǎn)，則為右旋偏振光. 若以光的傳播方向為大拇指方向，四指指向合矢量的旋轉(zhuǎn)方向，此時旋向與傳播方向成左手螺旋關(guān)系；反之為左旋偏振光，旋向與傳播方向成右手螺旋關(guān)系[1-2,4-5].

提到左右手關(guān)系的，只有姚啟鈞的《光學教程》. 文中指出：在光的傳播方向z上，各點電矢量的相位隨z的增加而逐點落后，因此同一時刻沿z方向場中各點電矢量的相對取向與傳播方向之間，在右旋橢圓偏振光中，正好構(gòu)成右手螺旋[5]. 學生往往覺得這與前述矛盾，認為此處“右旋構(gòu)成右手螺旋”的描述錯誤. 但需要注意的是，教材中有明確的前提，即某一時刻，各點電矢量的相對取向與傳播方向成右手螺旋關(guān)系(因相位落后). 而前面提到的右旋偏振光中存在的左手關(guān)系，指的是在不同時刻，隨著光的傳播，合矢量箭頭末端旋轉(zhuǎn)出一條軌跡，其旋轉(zhuǎn)方向與傳播方向成左手螺旋關(guān)系. 所以《光學教程》中的描述是正確的.

2.2 通過相位差判斷左右旋偏振問題

通過2列子波的相位差Δφ判斷旋向時，一般教材的結(jié)論為(即使有的教材沒有明確說明，從配圖也能看出此結(jié)論)：當sinΔφ>0時，為右旋偏振光；當sinΔφ<0時，為左旋偏振光. 而《工程光學》給出的結(jié)論以及配圖卻與此相反. 下面通過簡單的證明，說明橢圓偏振光的旋向與相位差的關(guān)系. 振動方向垂直的2子波的波函數(shù)可以寫為：

Ex=a1cos(kz1-ωt)=a1cos φ1，

Ey=a2cos(kz2-ωt)=a2cos(φ1+Δφ).

(8)

通常合成方程為

(9)

式(9)描述的是一個橢圓方程，且Ex∈[-a1,a1],Ey∈[-a2,a2]. 下面通過簡單的證明，尋找旋向與相位差正弦值之間的關(guān)系.

隨著相位的增加，光向z軸正方向傳播，自A點轉(zhuǎn)向B點，存在2條路徑c和d(圖中只標明路徑的大致方向，實際上A和B點應(yīng)該是橢圓上的2個點). 而當φ1∈[0,π/2]時，Ex∈[1,0]，即Ex始終大于0.為符合這一要求，實際路徑只能選擇順時針旋轉(zhuǎn)的路徑d，則為右旋偏振光.

圖1 Δφ=π/3時的旋轉(zhuǎn)路徑Fig.1 The rotation path of elliptical polarizedlight when Δφ=π/3

圖2 Δφ=4π/3時的旋轉(zhuǎn)路徑Fig.2 The rotation path of elliptical polarizedlight when Δφ=4π/3

相位差Δφ為其他值時同理可證.

整理可得：當sin Δφ>0時，為右旋偏振光；當sin Δφ<0時，為左旋偏振光.

3 橢圓偏振光的瓊斯矢量表示

3.1 橢圓偏振光的瓊斯矢量

光的偏振態(tài)可以用瓊斯矢量表示. 按第1節(jié)中的推導和總結(jié)，光在與傳播方向(z方向)垂直的xoy平面上的x和y方向上的分量為：

Ex=a1e-i(ωt-kz+φ0x)=a1e-iφx，

(10a)

Ey=a2e-i(ωt-kz+φ0y)=a2e-iφy.

(10b)

用偏振光矢量2個分量構(gòu)成的一列矩陣表示光的偏振態(tài)，稱為瓊斯矢量，記作

(11)

其中，a=a2/a1，Δφ=φy-φx.

以長軸沿x軸，長短軸之比為2:1的右旋偏振光為例，Δφ=φy-φx=π/2歸一化的瓊斯矢量為

(12)

3.2 各教材瓊斯矢量形式的對比分析

各教材中，橢圓偏振光瓊斯矢量的最終形式是一致的. 以圓偏振光為例，左、右旋圓偏振光的瓊斯矢量分別為：

(13)

各版本在推導中，給出的說明均不夠清晰，有的甚至前后矛盾. 以姚啟鈞的《光學教程》為例，與式(11)對應(yīng)的表達式為[5]：

(14)

矩陣第2行為aeiΔφ，Δφ仍是(φy-φx)，與本文式(11)的指數(shù)部分差一個負號. 但式(14)左右并不相等. 通過簡單指數(shù)運算發(fā)現(xiàn)，式(11)才是正確的. 而且《光學教程》[5]中對右旋圓偏振光的瓊斯矢量是這樣描述的：

(15)

4 總 結(jié)

鑒于各版本光學教材對于光的波函數(shù)表達式、橢圓偏振光的旋向判斷、偏振光的瓊斯矢量等知識點的表述存在差異，甚至互相矛盾，為厘清思路，明確結(jié)論，幫助學生掃清學習障礙，對以上3個知識點進行了較透徹的分析. 通過從頭推導平面簡諧電磁波的波函數(shù)，給出了幾種表達形式，認為各版本雖然形式不盡相同，但運算結(jié)論是一致的；通過證明橢圓偏振光旋向與兩子波相位差的關(guān)系，得到當sinΔφ>0時，為右旋偏振光；當sinΔφ<0時，為左旋偏振光的結(jié)論；通過細致的推導，給出了偏振光瓊斯矢量的正確表達式，同時指出，文獻[5]對偏振光的瓊斯矢量描述存在前后不一致的問題.

本文有助于學生厘清思路，掃清學習障礙，更好地學習掌握橢圓偏振光這一知識點，也可為相關(guān)老師提供教學案例和參考.

[1] 玻恩M，沃耳夫E.光學原理(上冊)[M].北京:北京大學出版社,1985:29-52. BORN M, WOLF E. Principles of Optics (Vol one)[M]. Beijing：Beijing University Press,1985:29-52.

[2] 葉玉堂，肖峻，饒建珍，等.光學教程[M].北京:清華大學出版社,2011:117-132，299-303. YE Y T, XIAO J, RAO J Z，et al. Optics Tutorial[M]. Beijing：Tinghua University Press,2011:117-132，299-303.

[3] 趙凱華，鐘錫華.光學[M].北京:北京大學出版社,1984:140-147，187-199. ZHAO K H, ZHONG X H. The Optics[M]. Beijing：Beijing University Press,1984:140-147,187-199.

[4] 郁道銀，談恒英.工程光學[M].北京:機械工業(yè)出版社,2013:291-295,327-329,494-495. YU D Y, TAN H Y. Engineering Optics[M]. Beijing：China Machine Press, 2013:291-295,327-329,494-495.

[5] 姚啟鈞.光學教程[M].北京:高等教育出版社,2002:19-78,336-365. YAO Q J. Optics Tutorial[M]. Beijing：Higher Education Press,2002:19-78,336-365.

YANG Jing, LI Shaofeng, ZHANG Lihong, ZHU Xinying, WANG Hankui

(ThePhysicsandTelecommunicationEngineeringCollege,ZhoukouNormalUniversity,Zhoukou466000,HenanProvince,China)

In the widely used optics textbooks for undergraduate students, the following conclusions and their derivation process are inconsistent, and even contradictory: (1)The wave function expression of the planar harmonic electromagnetic wave; (2)The relationship between the rotation direction of elliptically polarized light and the phase difference of two sub-waves; (3)The derivation and form of Jones vector of elliptically polarized light. These inconsistencies often make students confusing. Based on years of teaching experience in optics, we conduct a comparative analysis for these inconsistencies by proof and derivation, and draw clear conclusions for each of the above knowledge.

wave function; elliptically polarized light; rotation direction; Jones vector

2016-06-08.

國家自然科學基金資助項目(11547227);河南省教育廳教師教育課程改革研究項目(2016-JSJYYB-096);周口師范學院高層次人才科研啟動項目(ZKNU2014121).

楊 靜(1986-)，ORCID:http://orcid.org/0000-0002-2823-949X，女，博士，講師，主要從事氣體激光物理研究，E-mail:yangjing0410@zju.edu.cn.

10.3785/j.issn.1008-9497.2017.01.008

O 436.3

A

1008-9497(2017)01-053-04