格的反軟理想

童 娟，廖祖華*，趙衍才，2，廖翠萃，張龍祥，路 騰，吳樹忠

(1. 江南大學(xué) 理學(xué)院 信息與計算科學(xué)系， 江蘇 無錫 214122； 2. 無錫城市職業(yè)技術(shù)學(xué)院 基礎(chǔ)課部，江蘇 無錫 214153)

格的反軟理想

童 娟1，廖祖華1*，趙衍才1，2，廖翠萃1，張龍祥1，路 騰1，吳樹忠1

(1. 江南大學(xué) 理學(xué)院 信息與計算科學(xué)系， 江蘇 無錫 214122； 2. 無錫城市職業(yè)技術(shù)學(xué)院 基礎(chǔ)課部，江蘇 無錫 214153)

首先給出了格的反軟理想新概念,證明2個反軟理想分別在軟集的限制并和“或”運算下仍然是反軟理想.其次，利用軟集的反對偶給出反軟理想的等價刻畫.再次，利用軟集的反擴(kuò)張原理給出反軟理想在同態(tài)映射下反像與原像的性質(zhì).最后，在全體反軟理想組成的集合H上，引入鏈條件并討論H是阿丁的或諾特的充要條件.

反軟理想；軟集；反對偶；同態(tài)；反像

Anti-soft ideals of lattices. Journal of Zhejiang University(Science Edition), 2017,44(1):033-039

0 引 言

1999年，MOLODTSOV[1]提出了軟集的概念,其理論與模糊集、直覺模糊集、粗糙集等有很強的互補性，主要從參數(shù)化角度為研究不確定性問題提供統(tǒng)一的數(shù)學(xué)框架.后來軟集在理論、應(yīng)用等方面得到迅速發(fā)展[2-3].2007年，AKTAS等[4]在軟集理論與群論的基礎(chǔ)上提出了軟群的新概念并研究了其基本性質(zhì),由此開創(chuàng)了軟集代數(shù)研究的新領(lǐng)域.

19世紀(jì)末,PEIRCE等提出了格的概念,20世紀(jì)30年代BIRKHOFF對格論進(jìn)行了相關(guān)研究[5].格是一種重要的偏序結(jié)構(gòu),其理論已經(jīng)深入到數(shù)學(xué)研究的各個領(lǐng)域[6].2010年,LI[7]基于完備格提出了軟格的概念,并討論了它和模糊軟集的關(guān)系.2008年，吳廣慶[8]給出了格的L-fuzzy素理想的定義,得到了格的L-fuzzy素理想、格的L-fuzzy理想的若干等價刻畫.2009～2011年,花秀娟等[9-10]研究了模糊格,給出了格上的(∈,∈∨q)-模糊素理想以及(λ,μ)-模糊子格(理想)的定義，并研究了它們的相關(guān)性質(zhì).2014年,李京效等[11]把模糊軟集理論運用到格上,引入了(λ,μ)模糊軟理想并討論了其相關(guān)性質(zhì).同年,王德江等[12]給出了R-廣義模糊子格理想的定義，并研究了它們的交、并、同態(tài)像及原像的相關(guān)性質(zhì).

1990年,BISWAS[13]引入了群上的反模糊子群,開創(chuàng)了反模糊子代數(shù)研究的新領(lǐng)域.2012年,FENG等[14]介紹了反模糊(λ,μ)-子群并研究了其相關(guān)性質(zhì).2015年,郭二芳等[15]對反模糊子群和反模糊正規(guī)子群做了一些研究.

反模糊子集在直覺模糊集上有重要的應(yīng)用,直覺模糊集的非隸屬度是反模糊子集,它在投票問題中可表示投反對票的情況.由于直覺模糊集在投票問題中能很好地刻畫贊成人群及反對人群的情況,所以有關(guān)直覺模糊集理論及其在決策、邏輯規(guī)劃、醫(yī)療診斷、機(jī)器學(xué)習(xí)和市場預(yù)測等領(lǐng)域中的應(yīng)用研究已引起廣泛關(guān)注,并取得了豐碩成果[16-17].

吳修竹等[18]提出了反軟子半群的概念,由此開創(chuàng)了反軟子代數(shù)的研究領(lǐng)域，隨后，童娟等[19]給出了反軟子格的定義,并研究它的一系列性質(zhì).

溫永川[20]將參數(shù)集賦予群的代數(shù)結(jié)構(gòu),提出了一種新型的軟群,并研究了其相關(guān)性質(zhì).廖祖華研究組[21-27]基于他們的思想，將參數(shù)集賦予格的代數(shù)結(jié)構(gòu),提出了反軟理想這一新的代數(shù)結(jié)構(gòu)，并研究了其基本性質(zhì).

下文安排如下:第1節(jié)給出本文所需的相關(guān)知識,第2節(jié)給出2個反軟理想在軟集運算下的性質(zhì)、等價刻畫、原像及反像的性質(zhì),第3節(jié)在全體反軟理想組成的集合H上引入鏈條件,并討論H是諾特的或是阿丁的一些基本性質(zhì).

1 預(yù)備知識

定義1[6]設(shè)在一個偏序集(L,≤)中,如果任意兩元x,y都有上確界x∨y和下確界x∧y,則稱偏序集(L,≤)為一個格.

下文中L表示格.

定義2[6]設(shè)L1為格L的一個非空子集,若?a,b∈L1,總有a∧b∈L1,a∨b∈L1,則稱L1為格L的子格.

定義3[20](笛卡爾直積) E1,E2是2個非空集合,稱E1×E2={(x,y)|x∈E1,y∈E2}為E1和E2的笛卡爾直積.

定義4[28](格的直積) 設(shè)L1和L2是2個格.定義笛卡爾直積L1×L2上的運算:

(x1,y1)∧(x2,y2)=(x1∧x2,y1∧y2),

(x1,y1)∨(x2,y2)=(x1∨x2,y1∨y2).則由格的定義知，(L1×L2;∧,∨)是一個格,稱(L1×L2;∧,∨)是格L1和L2的笛卡爾格直積.

定義5[6]設(shè)(L,≤)是格,I是L的非空子集且滿足:

(1)g1∨g2∈I， ?g1,g2∈I;

(2)若g2≤g1,則g2∈I， ?g1∈I,g2∈L.

稱I為L的一個理想.

定理1[6]設(shè)L是任意格,I是L的非空子集,則下列條件等價:

(1)I是L的理想;

(2)?g1,g2∈L,g1∨g2∈I的充要條件是g1∈I且g2∈I;

(3)I是L的子格,?g1∈I,g2∈L，有g(shù)1∧g2∈I.

引理1 I是L的非空子集,如果滿足下列條件:

(1)?g1,g2∈I,有g(shù)1∨g2∈I;

(2)?g1∈I,g2∈L,有g(shù)1∧g2∈I.

則I是L的理想.

定義6[2]令X是初始全集,E是一個參數(shù)集,P(X)表示X的冪集,E1?E,F:E1→P(X)為映射,則稱(F,E1)為X的軟集,也稱F是E1的軟集.

下文中，X表示初始全集,P(X)表示X的冪集.

定義7[29](軟集的限制并) (F,E1),(G,E2)是X的軟集,若軟集(H,E)滿足:

(1)E=E1∩E2≠?;

(2)?e∈E,有H(e)=F(e)∪G(e).

則稱(H,E)是軟集(F,E1)和(G,E2)的限制并,記作(H,E)=(F,E1)∪R(G,E2).

定義8[2](軟集的或運算) (F,E1),(G,E2)是X的軟集,令(H,E1×E2)=(F,E1)∨(G,E2),其中?(α,β)∈E1×E2,H(α,β)=F(α)∪G(β),稱(H,E1×E2)是(F,E1)與(G,E2)的或運算,并記為(F,E1)∨(G,E2).

定義9[15](擴(kuò)張原理) 設(shè)f:E1→E2為一個映射,H1:E1→P(X)和H2:E2→P(X)均為軟集,令：

f-1(H2)(g1)=H2(f(g1)),

則f(H1),f-1(H2)分別為E2,E1上的軟集,并稱f(H1)為H1的像,f-1(H2)為H2的原像.

定義10[18](反擴(kuò)張原理) 設(shè)f:E1→E2為一個映射,H1:E1→P(X)和H2:E2→P(X)均為軟集,令:

f-1(H2)(g1)=H2(f(g1)),

2 格的反軟理想

本節(jié)引入反軟理想的概念,并用實例說明格的反軟理想的存在性,同時討論格的反軟理想在軟集運算中的等價刻畫、反像與原像等性質(zhì).

定義13 設(shè)H:L→P(X)是一個軟集,?g1,g2∈L,若滿足:

(1)H(g1∨g2)?H(g1)∪H(g2);

(2)H(g1∧g2)?H(g1).

則稱H為L的反軟理想.

例1 設(shè)L={0,a,b,1}是一個四元格,其中a‖b且0≤a,b≤1,取X={x,y,z,w},且H:L→P(X):H(0)=?,H(a)={y,z},H(b)={x,z},H(1)={x,y,z}.由定義13知，H為L的反軟理想.

例1說明了格的反軟理想的存在性.

定理2 設(shè)L1與L2是L的子格,且L1∩L2≠?,又設(shè)H1與H2分別是L1與L2上的反軟理想,則H=H1∪RH2是L1∩L2上的反軟理想.

證明 因為L1與L2是L的子格,且L1∩L2≠?,所以L1∩L2是L的子格,又因為H1,H2分別是L1,L2上的反軟理想,?g1,g2∈L1∩L2,有g(shù)1,g2∈Li(i=1,2),故H1(g1∨g2)?H1(g1)∪H1(g2),H1(g1∧g2)?H1(g1),H2(g1∨g2)?H2(g1)∪H2(g2),H2(g1∧g2)?H2(g1).所以，

H(g1∨g2)=(H1∪RH2)(g1∨g2)=H1(g1∨g2)∪H2(g1∨g2)?(H1(g1)∪H1(g2))∪(H2(g1)∪H2(g2))=(H1(g1)∪H2(g1))∪(H1(g2)∪H2(g2))?H(g1)∪H(g2);H(g1∧g2)=(H1∪RH2)(g1∧g2)=H1(g1∧g2)∪ H2(g1∧g2)?H1(g1)∪H2(g1)=H(g1).

所以，H=H1∪RH2是L1∩L2上的反軟理想.

定理3 設(shè)H1,H2分別是L的子格L1,L2上的反軟理想,則H=H1∨H2也是L=L1×L2上的反軟理想.

證明 由格的直積知L是一個格,?(g1,g2),(m1,m2)∈L1×L2,則g1,m1∈L1且g2,m2∈L2.因為H1,H2分別是格L1,L2上的反軟理想,所以H1(g1∨m1)?H1(g1)∪H1(m1),H1(g1∧m1)?H1(g1);H2(g2∨m2)?H2(g2)∪H2(m2),H2(g2∧m2)?H2(g2).因此:

(1)H((g1,g2)∨(m1,m2))=H((g1∨m1),(g2∨m2))=H1(g1∨m1)∪H2(g2∨m2)?(H1(g1)∪H1(m1))∪(H2(g2)∪H2(m2))?(H1(g1)∪H2(g2))∪(H1(m1)∪H2(m2))=H(g1,g2)∪H(m1,m2)；

(2)H((g1,g2)∧(m1,m2))=H((g1∧m1),(g2∧m2))=H1(g1∧m1)∪H2(g2∧m2)?H1(g1)∪H2(g2)?H(g1,g2).

由(1)、(2)，知H=H1∨H2是L=L1×L2上的反軟理想.

由(1)、(2)知，A(x)為L的一個理想.

定理6 設(shè)L1,L2是格,f:L1→L2是同態(tài)映射,H1:L1→P(X)是軟集,H2:L2→P(X)也是軟集.則有:

(2)若H2是L2的反軟理想,則f-1(H2)是L1的反軟理想.

(2)?g1,g2∈L1,由H2為L2的反軟理想,則

f-1(H2)(g1)∪f-1(H2)(g2)=H2(f(g1))∪H2(f(g2))?H2(f(g1)∨f(g2))=H2(f(g1∨g2))=f-1(H2)(g1∨g2);f-1(H2)(g1)=H2(f(g1))?H2(f(g1)∧f(g2))=H2(f(g1∧g2))=f-1(H2)(g1∧g2).

所以f-1(H2)為L1的反軟理想.

定理7 f:L1→L2為格的滿同態(tài)映射,H2:L2→P(X)為L2的軟集,則H2為L2的反軟理想的充要條件是f-1(H2)是L1的反軟理想.

證明 必要性:由定理6(2)知結(jié)論成立.

充分性:(1)?h1,h2∈L2,若X=H2(h1)∪H2(h2),則H2(h1∨h2)?H2(h1)∪H2(h2);若X≠H2(h1)∪H2(h2),因為f是滿同態(tài)映射,故存在g1,g2∈L1使f(g1)=h1,f(g2)=h2且f(g1∨g2)=f(g1)∨f(g2)=h1∨h2,因為f-1(H2)是L1的反軟理想,所以H2(h1∨h2)=H2(f(g1∨g2))=f-1(H2)(g1∨g2)?f-1(H2)(g1)∪f-1(H2)(g2)=H2(h1)∪H2(h2),故H2(h1∨h2)?H2(h1)∪H2(h2).

(2)?h1,h2∈L2,因為f是滿同態(tài)映射,所以存在g1,g2∈L1使得f(g1)=h1,f(g2)=h2，故f(g1∧g2)=f(g1)∧f(g2)=h1∧h2,因為f-1(H2)是L1的反軟理想,所以H2(h1∧h2)=H2(f(g1∧g2))=f-1(H2)(g1∧g2)?f-1(H2)(g1)=H2(h1),故H2(h1∧h2)?H2(h1).

由(1)、(2)知，H2是L2的反軟理想.

定義14[20]f:L1→L2是映射,H是L1的軟集,?x,y∈L1,若f(x)=f(y),有H(x)=H(y),則稱H是f-不變的.

證明 必要性:由定理6(1)知結(jié)論成立.

3 反軟理想的鏈條件

本節(jié)在反軟理想組成的集合H上引入升鏈及降鏈條件,并討論H是阿丁或諾特的充要條件.

定義15 記L上全體反軟理想集合為H,在反軟理想中定義一個二元關(guān)系“≤”:H1≤H2?H1(g)?H2(g),?g∈L.

定義16 記L上全體反軟理想集合為H,在反軟理想中定義一個二元關(guān)系“=”:

H1=H2?H1(g)=H2(g),?g∈L.

定理9 定義15中二元關(guān)系“≤”是一個偏序,稱(H,≤)是一個偏序集.

證明 ?H1∈H,?g∈L,因為H1(g)?H1(g),所以由定義得H1≤H1;?H1,H2,H3∈H，若H1≤H2且H2≤H3,由定義?g∈L,H1(g)?H2(g)且H2(g)?H3(g),故H1(g)?H3(g),所以H1≤H3.?H1,H2∈H,若H1≤H2且H2≤H1,由定義?g∈L,H1(g)?H2(g)且H2(g)?H1(g),故H1(g)=H2(g),所以H1=H2.

定義17 設(shè)H是格的全體反軟理想的集合,H中任意元素列{Hi|i=1,2,…}若組成一個降鏈,即H1≥H2≥…≥Hn≥…，如果存在一個正整數(shù)m,使得Hm=Hm+n,n=1,2,…,則稱H滿足降鏈條件,或稱H為阿丁的.

定義18 設(shè)H是L的全體反軟理想的集合,H中任意元素列{Hi|i=1,2,…}若組成一個升鏈,即H1≤H2≤…≤Hn≤…，如果存在一個正整數(shù)m,使得Hm=Hm+n,n=1,2,…,則稱H滿足升鏈條件,或稱H為諾特的.

定義19 Ω(L)表示L的一理想族,對于Ω(L)的任意理想的升鏈L1?L2?…?Ln?…,如果存在正整數(shù)n,使得對所有m>n,有Lm=Ln,則稱Ω(L)滿足升鏈條件,此時稱Ω(L)是諾特的,min{i|Li=Li+1,i=1,2,…}稱為{Li}的諾特平穩(wěn)指數(shù),記為n{Li}.

定義20 Ω(L)表示L的一理想族,對于Ω(L)中任意理想的降鏈L1?L2?…?Ln?…,如果存在正整數(shù)n,使得對所有m>n,有Lm=Ln,則稱Ω(L)滿足降鏈條件,此時稱Ω(L)為阿丁的,min{i|Li=Li+1,i=1,2,…}稱為{Li}的阿丁平穩(wěn)指數(shù),記為a{Li}.

4 結(jié)束語

將參數(shù)集賦予格的代數(shù)結(jié)構(gòu),給出了反軟理想的概念,得到了反軟理想在軟集運算下的性質(zhì)及同態(tài)性.最后，研究了由反軟理想組成的集合H上鏈條件的相關(guān)性質(zhì).下一步可以引入并研究格的反軟素理想的代數(shù)結(jié)構(gòu).

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TONG Juan1, LIAO Zuhua1, ZHAO Yancai1,2, LIAO Cuicui1, ZHANG Longxiang1, LU Teng1, WU Shuzhong1

(1.DepartmentofInformationandComputerScience,SchoolofScience,JiangnanUniversity,Wuxi214122,JiangsuProvince,China; 2.DepartmentofBasicScience,WuxiCityCollegeofVocationalTechnology,Wuxi214153,JiangsuProvince,China)

Firstly, the definition of anti-soft ideals is given, and we show that the restricted union and‘OR’operation of two anti-soft lattices are still anti-soft ideal. Then, we discuss the equivalent characterizations of anti-soft ideals based on the anti-dual of soft set. In addition, based on the anti-extension principle, the properties of their anti-image and inverse image are derived under the homomorphic mapping. Finally, we introduce the condition of chain overHwhich is composed of all the anti-soft ideals, and discuss the necessary and sufficient condition for thatHis Artinian or Noetherian.

anti-soft ideal; soft set; anti-dual; homomorphism; anti-image

2015-07-27.

江蘇省自然科學(xué)基金資助項目(BK20151117);國家自然科學(xué)基金資助項目(61673193).

童 娟(1992-)，ORCID:http://orcid.org/0000-0002-4049-7803,女，碩士研究生，主要從事軟集代數(shù)研究.

*通信作者，ORCID:http://orcid:org/0000-0002-7205-664X,E-mail:liaozuhua57@163.com

10.3785/j.issn.1008-9497.2017.01.005

O 159;O 153.1

A

1008-9497(2017)01-033-07