◇蔡宏圣

立德樹人：數(shù)學(xué)史的價值與意義

◇蔡宏圣

數(shù)學(xué)史是研究數(shù)學(xué)知識發(fā)生、發(fā)展及其規(guī)律的科學(xué)，它不僅追溯數(shù)學(xué)內(nèi)容、思想和方法的演變、發(fā)展過程，而且探索人類文明的各種形式間是如何彼此影響的。因而，在一定意義上說，數(shù)學(xué)史也是人類的文化史，這其中包括著：人類智者在某個情境中如何被逼發(fā)明某數(shù)學(xué)概念、創(chuàng)造某數(shù)學(xué)方法；數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)方法初創(chuàng)時期的存在形態(tài)以及歷史演變；人類認識建構(gòu)過程中曾經(jīng)遭遇的曲折與走過的彎路；為了證明某數(shù)學(xué)結(jié)論，人類世代不懈的堅持與奮斗……這些內(nèi)容對于當下旨在立德樹人的數(shù)學(xué)教育來說，具有不可替代的價值與意義。

一、數(shù)學(xué)史呈現(xiàn)了人類創(chuàng)造的本源目的，由此才能品悟數(shù)學(xué)的本來意義

四大文明古國都誕生了數(shù)學(xué)，但現(xiàn)代意義上被稱為數(shù)學(xué)的學(xué)科誕生在古希臘，只有古希臘人在人類歷史上破天荒地第一次對已經(jīng)成為事實的結(jié)果進行了理性的哲學(xué)考察——它們真的正確嗎？史實告訴我們，小學(xué)生學(xué)的多數(shù)概念和方法都是為了解決實際問題被逼產(chǎn)生的。如果沒有這些數(shù)學(xué)概念和方法，人類就不能更好地生存和生活，就沒有人類文明的進一步發(fā)展。由此也就能理解，幾千年來人類創(chuàng)造的數(shù)學(xué)知識浩瀚無邊，為什么偏偏是那些數(shù)學(xué)知識進入小學(xué)數(shù)學(xué)的課堂。數(shù)學(xué)一直在發(fā)展，但是為什么有些數(shù)學(xué)的概念和方法沒有被邊緣化，一直需要現(xiàn)在的學(xué)生學(xué)習(xí)？其實，答案很簡單，因為這些數(shù)學(xué)知識在整個人類文明的知識系統(tǒng)中具有不可替代的獨到價值。不學(xué)習(xí)這些概念或方法，在現(xiàn)實社會中生活和交流就會有障礙，就不能成為一個社會人。

北京教育學(xué)院季蘋教授提出：每一個知識都兼具事實性、概念性、方法性、價值性四個側(cè)面。沒有概念去概括，客觀的事實或現(xiàn)象只能是經(jīng)驗；沒有方法去運用，概念或原理只能是詞語符號；沒有價值取向的揭示，方法只能是機械的步驟。

以“比”的概念為例，它的事實性就是日常生活中人們關(guān)于比的各種應(yīng)用；它的概念性就是它的定義、性質(zhì)以及相關(guān)的化簡運算；它的方法性包括利用“按比例分配”去解決實際問題。仔細琢磨一下，概念“比”的事實性、概念性、方法性和分數(shù)、除法密切相關(guān)，即使是“按比例分配”之類的問題解決，也都可以通過轉(zhuǎn)化運用分數(shù)的知識加以解決。考察到這里，“比”這個概念似乎是多余的。但事實是，兩個事物的比較，有時可以拿人數(shù)、時間、質(zhì)量的多少直接比。這時，兩量間的相差關(guān)系、倍數(shù)關(guān)系都可以說明問題。物體間除可以度量直接比較的屬性外，還有不可直接度量的屬性，比如房間的擁擠程度、飲料的濃度、圖形的形狀等，這些屬性無法直接用某種度量單位測量，要進行比較，只有相關(guān)量數(shù)的相除關(guān)系才是有效的途徑?！氨取钡膬r值也就在于，賦予了物體不可度量屬性的可比性——只有知識的價值性才更好地彰顯了“比”這一概念存在的合理性和必要性。這樣的剖析起碼說明了兩個道理。其一，知識的價值性才是它最有意義的地方，甚至可以進一步說，沒有感悟到知識的價值性，就不能稱為“真正理解”這個知識；其二，由知識的事實性到價值性，認知層層被遞進，知識也變得越來越“有意義”，把握了一個知識的價值性，也就直抵知識的核心之處。所以，一個教師要有一些數(shù)學(xué)史的積淀，因為只有知識產(chǎn)生、發(fā)展的歷史才能述說人類當初為什么要創(chuàng)造這個概念或方法。從歷史中梳理清楚了本源，在教學(xué)中就可以根據(jù)實際情況呈現(xiàn)這些當初被逼創(chuàng)造某概念或方法的本源問題，讓學(xué)生像前人那樣嘗試著解決這些問題，甚至可以設(shè)計“不運用某數(shù)學(xué)概念（數(shù)學(xué)方法）如何解決此類問題”的環(huán)節(jié)。教學(xué)中突出了這些，也就突出了數(shù)學(xué)的真正意義：一方面，數(shù)學(xué)是認識感知世界的一個視角；另一方面，數(shù)學(xué)也是分析認識世界的一種方式。務(wù)實地說，數(shù)學(xué)就是一種生活的技能，從一個生理意義上的人轉(zhuǎn)變?yōu)樯鐣饬x上的人，必須學(xué)會用數(shù)學(xué)的方式去感知、觀察、分析、思考我們周圍的世界。

二、數(shù)學(xué)史揭示了數(shù)學(xué)發(fā)展的演進脈絡(luò)，由此才能把握教學(xué)的努力方向

概括地說，人類的幾何知識，起源于人類祖先對物體的大小、形狀和位置關(guān)系的直接印象。而后在生活設(shè)施（房屋、器皿等）和生產(chǎn)工具的制作中，經(jīng)過不斷地比較、分析、綜合，人類確立了空間觀念，把握了圖形的基本性質(zhì)，積累了豐富的幾何活動經(jīng)驗。是希臘人完成了幾何經(jīng)驗的學(xué)科化建設(shè)，從此人類進入了論證幾何時期并完成了人類歷史上第一個數(shù)學(xué)理論體系的組建，誕生了歐幾里得幾何。這之后，幾何學(xué)的發(fā)展與關(guān)于平行線的討論密不可分，隨著討論的不斷深入而生長出不同的分支。非歐幾何的誕生是數(shù)學(xué)史上哥白尼式的事件，讓人類明白了數(shù)學(xué)重要的是邏輯推理上的無懈可擊，數(shù)學(xué)不再僅僅是對自然的刻畫，還可以是人類心智的自由創(chuàng)造。從此，幾何學(xué)展現(xiàn)了千姿百態(tài)的發(fā)展態(tài)勢。最終茂盛的幾何學(xué)大樹又被克萊因和希爾伯特一統(tǒng)為高觀點的數(shù)學(xué)核心思想方法。

德國數(shù)學(xué)家希爾伯特說：“數(shù)學(xué)科學(xué)是一個不可分割的有機整體，它的生命力正是在于各個部分之間的聯(lián)系……數(shù)學(xué)理論越是向前發(fā)展，它的結(jié)構(gòu)就變得越加調(diào)和一致，并且會使這門科學(xué)一向相互隔絕的分支之間顯露出原先意想不到的神奇關(guān)系?！痹谖覀兯芾斫獾臄?shù)學(xué)領(lǐng)域里，同樣得以體現(xiàn)。加、乘與減、除的計算方法迥異，但有了負數(shù)，加、減一體，有了倒數(shù)，乘、除互化；數(shù)與形界限分明，但引入了坐標，數(shù)的問題便可以轉(zhuǎn)化為形的問題；已知和未知涇渭分明，但有了代數(shù)，未知也可以像已知一樣參加運算；從代數(shù)表達式看，直是線性方程，曲是非線性方程，差別明顯，但在微分中兩者等同無異；古人“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”，每次的取出皆是有限的，但不斷地超越，便是無限的……有一點，已經(jīng)很清楚了，在原本兩個不相干的概念、定理、公式間揭示了新的聯(lián)系，一定是因為有了新的數(shù)學(xué)概念、新的數(shù)學(xué)方法、新的數(shù)學(xué)認識。

小學(xué)的數(shù)學(xué)教育往往從情境中起步，經(jīng)過比較、分類、分析、概括，提煉形成數(shù)學(xué)認識或數(shù)學(xué)概念，這一階段之后，教學(xué)應(yīng)該有意識地往哪個方向努力，絕大多數(shù)老師對此的思考不是很清楚。就一個知識來說，其承載的育人價值往往是多元的，很難說某個知識用來讓學(xué)生感悟數(shù)形結(jié)合就是對的，而用來讓學(xué)生感受策略的多樣性就是錯的。在這些選擇性的問題上，一個知曉了歷史的教師，才會知道什么是符合歷史主流前進方向的，什么是促進歷史進步的關(guān)鍵節(jié)點。換言之，歷史的選擇更應(yīng)該成為一個教師的教學(xué)選擇。初等幾何最終被統(tǒng)一的歷史進程，啟示了我們的教學(xué)要多多地溝通知識間的內(nèi)在聯(lián)系。線段的長度、角的角度（弧度）、圖形的面積與體積，似乎毫無關(guān)系，但若從數(shù)學(xué)的統(tǒng)一性角度看，它們做的實際上是同一件事，都是對事物形態(tài)特征方面的定量刻畫。人類認識事物首先是定性，但為了更加準確必須定量。所以，學(xué)習(xí)這些知識都是在學(xué)習(xí)如何定量刻畫周圍的世界。而且，量化的方法是一致的，首先都是拿同質(zhì)的一小部分定義為“1”（對于線段來說，就是一個小段線段；對于角來說，就是一小角。如此類推，把這一小部分確定為一個單位），然后就看要量化的對象里包含了多少個“1”。再深入地看，對于線段等一維圖形，看其中包括了多少個“1”，只能用數(shù)（shǔ）數(shù)(shù)的辦法；而對于二維、三維的圖形來說，可以用乘的方法更為方便地數(shù)（shǔ）出包含了多少個“1”，乘的結(jié)果為積，所以，它們量化的結(jié)果稱為面積、體積。在不同知識間實現(xiàn)融會貫通，那么枝節(jié)的、瑣碎的知識本身已經(jīng)不再重要，原先汗牛充棟的內(nèi)容也就統(tǒng)一為少數(shù)幾個核心概念或原理。知識不再是學(xué)習(xí)的目的，而是變成了形成素養(yǎng)的載體。所以，數(shù)學(xué)越統(tǒng)一，也就越深刻，離數(shù)學(xué)的核心素養(yǎng)、數(shù)學(xué)的本源就越近。

三、數(shù)學(xué)史凝聚了無數(shù)智者的不懈堅守，由此才能感受數(shù)學(xué)的人性魅力

數(shù)學(xué)的概念、方法、符號、規(guī)則等都是人類的發(fā)明與發(fā)現(xiàn)。既然是人創(chuàng)造出來的東西，那么便帶有鮮活的人性。只可惜，無論是數(shù)學(xué)的學(xué)術(shù)形態(tài)還是數(shù)學(xué)的教育形態(tài)，都拋棄了數(shù)學(xué)富有人性的一面，把數(shù)學(xué)變成了一堆完整的、正確的、沒有任何破綻的形式化體系。而數(shù)學(xué)史會暴露數(shù)學(xué)富有人性的那一面，用好它們，教學(xué)就離育人更近了一點。比如，每一個重要數(shù)學(xué)概念的形成，都凝聚智者幾十年、幾百年乃至上千年的智慧，因此，在一節(jié)課的時間里要完全領(lǐng)悟它的內(nèi)涵，有困難是極其正常的事情，在學(xué)習(xí)過程中相機呈現(xiàn)數(shù)學(xué)發(fā)展的艱難，可以讓學(xué)生緩解學(xué)習(xí)焦慮。又比如，雖然數(shù)學(xué)是一個講究邏輯的學(xué)科，但其自身的發(fā)展沒有邏輯，第一感覺、錯誤曲折是數(shù)學(xué)產(chǎn)生、發(fā)展歷史中不可缺失的組成部分。把歷史上數(shù)學(xué)家們曾經(jīng)走過的彎路亮出來，會讓數(shù)學(xué)走下神壇，讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)原來人人可學(xué)。這進一步啟示我們，教學(xué)中不僅要講正確的想法是什么，也要注意呈現(xiàn)巧妙解答怎么得到的過程，把思考過程中曾經(jīng)的猶豫、反復(fù)、嘗試、小失誤等“不光彩”的東西都呈現(xiàn)出來，這樣的數(shù)學(xué)才富有人性，才能讓兒童樂意親近、喜歡數(shù)學(xué)。

數(shù)學(xué)史不僅關(guān)注人類曾經(jīng)有怎樣的數(shù)學(xué)，還關(guān)注人類曾經(jīng)怎樣發(fā)展數(shù)學(xué)，其中數(shù)學(xué)家們的個人經(jīng)歷、研究感悟為如何結(jié)合數(shù)學(xué)教育踐行立德樹人提供了不一樣的視角，特別是不同時代、不同領(lǐng)域的數(shù)學(xué)家發(fā)出的相似感悟，正是我們基于數(shù)學(xué)學(xué)科促進兒童成長應(yīng)該遵循的固有規(guī)律。

比如，德國數(shù)學(xué)家高斯說，數(shù)學(xué)中的一些美麗定理具有這樣的特性：它們極易從事實中歸納出來，但證明卻隱藏得很深。無獨有偶，最終證明費馬大定理的數(shù)學(xué)家安德魯·懷爾斯，10歲時已經(jīng)著迷于數(shù)學(xué)。他這樣描述第一次看到費馬大定理時的感受：“看上去如此簡單，但歷史上所有大數(shù)學(xué)家都未能解決它，這里正擺著一個我——一個10歲的孩子——能理解的問題，從那個時刻起，我知道我永遠不會放棄它，我必須解決它?！薄洞笞匀坏姆中螏缀螌W(xué)》的作者羅德布羅特，在書的引言中寫道：“自然界的許多圖形（比如云彩、海岸等），是如此的不規(guī)則和支離破碎?！薄斑@些圖形的存在，激勵著我們?nèi)ヌ剿髂切┍粴W幾里得擱置在一邊、被認為是‘無形態(tài)可言’的形狀?！薄白鳛閷@個挑戰(zhàn)的回答，我構(gòu)思并發(fā)展了大自然的一種新的幾何學(xué)?！睌?shù)學(xué)教育實踐中，有機呈現(xiàn)數(shù)學(xué)發(fā)展的原始形態(tài)，能讓學(xué)生向往親近數(shù)學(xué)，但還沒有征服學(xué)生。把這三位數(shù)學(xué)家的感悟聯(lián)系起來看，能啟示我們：不少人覺得數(shù)學(xué)難，所以不愛數(shù)學(xué)，實際上這是表面現(xiàn)象。數(shù)學(xué)能讓一部分人終生追隨，不是因為簡單，恰恰是因為有點難。但與此同時，這里的“難”又特別講究，它看上去又是那么簡單易懂，并不是令人無從想起。所以，能讓學(xué)生廢寢忘食地思考的數(shù)學(xué)問題，首先是容易入手，不復(fù)雜，能很快地思考起來；其次是有點小難度，隨著思考的深入，不斷有新的挑戰(zhàn)吸引著學(xué)生欲罷不能。

英國數(shù)學(xué)家哈代說：激勵數(shù)學(xué)家做研究的主要動力是智力上的好奇心，是謎團吸引力。數(shù)學(xué)，是人類智力的皇冠，能吸引人沉醉其中正是因為可以享受智力的“高峰體驗”。因此，一個數(shù)學(xué)教師要讓數(shù)學(xué)更富有立德樹人的價值，就要呈現(xiàn)與兒童的認知水平相匹配的那些數(shù)學(xué)——能解決又不能唾手可得、有信心又需要再作努力，從而讓數(shù)學(xué)變得富有人性。在這樣的情景下，孩子不斷克服恰當?shù)摹靶‰y”，不斷積淀思考成功的快樂。即便偶爾遇到了“大難”，學(xué)生也絕不會感到數(shù)學(xué)不好玩，恰恰會勾起其克服“大難”的斗志。而越是“大難”，克服后獲得的興奮越酣暢淋漓、越震撼心靈。哪怕是一次這樣的“高峰體驗”，都可能讓學(xué)生一輩子對思考“上癮”，數(shù)學(xué)學(xué)科的立德樹人便走上了高速公路。

以上三點，分別論及了數(shù)學(xué)史之于教師數(shù)學(xué)觀、教學(xué)內(nèi)容、兒童三者的價值。數(shù)學(xué)史就像一扇新的窗，從這個窗口去看這三個要素以及三個要素間的互動，都可以得到不一樣的嶄新啟示。因此，數(shù)學(xué)教育如何更好地去踐行立德樹人、育人為本的根本要求，數(shù)學(xué)史是個突圍的新路徑，它的價值獨到而又不可替代。

（作者單位：江蘇啟東市教師發(fā)展中心）