■河南省許昌高級(jí)中學(xué) 李書平

擦亮慧眼，辨“解”三角形

■河南省許昌高級(jí)中學(xué) 李書平

編者的話:同學(xué)們?cè)趯W(xué)習(xí)的過程中,難免會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)解的現(xiàn)象。本期“易錯(cuò)題歸類剖析”欄目推出的文章,注重剖析錯(cuò)解原因,注重補(bǔ)充知識(shí)缺陷,注重題目引申變換,希望同學(xué)們認(rèn)真領(lǐng)會(huì),學(xué)以致用,不再發(fā)生類似的錯(cuò)解。

正、余弦定理及其應(yīng)用問題靈活多變、綜合性較強(qiáng),且解題時(shí)有一定的技巧。在解題時(shí),易由于審題不細(xì)、考慮不周等導(dǎo)致錯(cuò)解。因此,我們?cè)诮忸}過程中需要擦亮慧眼,才能讓錯(cuò)解無(wú)處藏身。

易錯(cuò)點(diǎn)一 忽略題設(shè)條件而致誤

錯(cuò)解:在△ABC中,由余弦定理得,a2=b2+c2-2bccosA=12,a=再由正弦定理得,而c＞a,知C＞A,故C=75°或105°。

錯(cuò)解剖析:由計(jì)算知,C為最大角,由知C應(yīng)該有兩解。但題目條件是所給三角形中已知兩邊及夾角,這樣的三角形是唯一確定的,故C不應(yīng)該有兩解,故上述結(jié)果有誤。

正解一:由上解知C為△ABC中的最大角,則B一定是銳角。

正解二:由余弦定理得,cosC=故C=75°。

易錯(cuò)點(diǎn)二 忽略隱含條件而致誤

錯(cuò)解:由正弦定理,得

因?yàn)?°＜B＜180°,所以B=30°或150°。

錯(cuò)解剖析:由sinB=得B=30°或150°,卻忽視了題設(shè)中這一隱含條件。在求出角的正弦值后,要根據(jù)“大邊對(duì)大角”和“內(nèi)角和定理”討論角的取舍。

正解:同上,解出B=30°或B=150°。又由題意知b＜a,則B＜A,故B=150°不符合條件,應(yīng)舍去,所以B=30°。

易錯(cuò)點(diǎn)三 忽略制約條件而致誤

錯(cuò)解:因?yàn)镃=30°,所以A+B=150°,B=150°-A。

錯(cuò)解剖析:錯(cuò)解未弄清A與150°-A之間的關(guān)系。這里A與150°-A是相互制約的,不是相互獨(dú)立的兩個(gè)量,sinA與sin(150°-A)不能同時(shí)取最大值1,因此所得的結(jié)果是錯(cuò)誤的。

正解:因?yàn)镃=30°,所以A+B=150°,B=150°-A。

易錯(cuò)點(diǎn)四 因漏解而致誤

錯(cuò)解:由得得當(dāng)時(shí)可得b=2。

錯(cuò)解剖析:錯(cuò)解中對(duì)于沒有考慮角C有兩解,只得出角從而得出角解得b=2,這樣就出現(xiàn)了漏解的錯(cuò)誤。

正解:同上,由得或

(責(zé)任編輯 徐利杰)