■浙江省紹興一中 傅伊嵐

數(shù)列及等差數(shù)列誤區(qū)警示

■浙江省紹興一中 傅伊嵐

數(shù)列是一類特殊的函數(shù),一般說來,數(shù)列概念、公式都有限制條件或使用前提,特別是等差數(shù)列,在解題過程中若忽視了這些限制條件或使用前提,則易導(dǎo)致錯誤。

易錯點一:對數(shù)列的概念理解錯誤

已知有窮數(shù)列:5,7,9,11,…,2n+7,其中后一項比前一項大2。

(1)寫出此數(shù)列的通項公式;

(2)9+4n是否為此數(shù)列中的一項?

錯解:(1)觀察可知此數(shù)列為等差數(shù)列,a1=5,d=2。

所以此數(shù)列的通項公式為an=a1+(n-1)d=5+(n-1)·2=2n+3。

(2)因為9+4n=2(2n+3)+3,所以9+4n是此數(shù)列中的第2n+3項。

錯解剖析:錯解忽視了“有窮數(shù)列”這一條件,從而誤認(rèn)為9+4n是數(shù)列中的項。

正解:(1)此數(shù)列共有n+2項,通項公式為ak=2k+3(k=1,2,3,…,n+2)。

(2)此數(shù)列為遞增的有窮數(shù)列,且末項為2n+7,而9+4n＞2n+7,故9+4n不是此數(shù)列中的項。

易錯點二:數(shù)列的表示方法錯誤

已知數(shù)列{an}滿足條件則數(shù)列的通項公式為( )。

錯解:因為2n+5,所以-1)+5。

錯解剖析:在上述解答的第二個式子中,應(yīng)加上限制條件n≥2,因為當(dāng)n=1時,此式是不成立的。按照第一個式子,1+5,a1=14,在第二個式子中,令n=1,則有矛盾。限制了n≥2之后所解出的通項公式an=2n+1只適合n≥2的情況,對n=1應(yīng)單列求解。

正解:(1)當(dāng)n=1時,由已知可求得a1=14。

(2)當(dāng)n≥2時,由已知得:

綜合(1)、(2)得通項公式an=故應(yīng)選B。

易錯點三:對等差數(shù)列概念的理解錯誤

設(shè)兩個等差數(shù)列分別為2,6,10,…,190和2,8,14,…,200,在它們中間有多少個相同的項?

錯解:數(shù)列2,6,10,…,190是首項為2,公差d1=4的等差數(shù)列;數(shù)列2,8,14,…,200是首項為2,公差d2=6的等差數(shù)列。相同項構(gòu)成首項a1=2,公差d=d1·d2=24的等差數(shù)列,其通項公式為an=24n-22,其中n為滿足an≤190的最大整數(shù),24n-22≤190,解得所以n=8,即兩個等差數(shù)列中共有8個相同的項。

錯解剖析:上述問題中求兩個數(shù)列相同項的關(guān)鍵是求由相同項構(gòu)成的新數(shù)列的首項和公差。首項a1是對的,將公差認(rèn)為d=d1·d2是錯誤的。新數(shù)列的公差應(yīng)該是第一個數(shù)列的公差,又是第二個數(shù)列的公差,滿足這兩個條件的公差應(yīng)該是已知數(shù)列的公差的最小公倍數(shù)d=12,事實上,通過觀察兩個數(shù)列的相同項:2,14,26,…,也能發(fā)現(xiàn)公差d=12。

正解:數(shù)列2,6,10,…,190是首項為2,公差d1=4的等差數(shù)列;數(shù)列2,8,14,…,200是首項為2,公差d2=6的等差數(shù)列。相同項構(gòu)成首項a1=2,公差為4和6的最小公倍數(shù)即d=12的等差數(shù)列,其通項公式為an=12n-10,其中n為滿足an≤190的最大整數(shù),12n-10≤190,解得n≤16所以n=16,即兩個等差數(shù)列中共有16個相同的項。

易錯點四:對等差數(shù)列求和公式的理解錯誤

等差數(shù)列{an}、{bn}的前n項和分別為Sn、Tn,若則

錯解:令Sn=2n,Tn=3n+1,則an=Sn-Sn-1=2,bn=Tn-Tn-1=3,

錯解剖析:以偏概全,對等差數(shù)列前n項和的結(jié)構(gòu)特征認(rèn)識模糊d=A·n2+B·n,它是一個關(guān)于n的缺少常數(shù)項的二次型方程(在特殊情況下,A、B可以為0)。在上述解答中,令Sn=2n,Tn=3n+1是不合理的,由此導(dǎo)致了錯誤的結(jié)論。

正解:

易錯點五:分類討論錯誤

已知一個等差數(shù)列{an}的通項公式an=25-5n,求數(shù)列的前n項和。

錯解:由an≥0得n≤5,故數(shù)列{an}的前5項為非負(fù),從第6項起為負(fù)。

故Sn=a1+a2+a3+a4+a5=50(n≤5)。

當(dāng)n≥6時,Sn=|a6|+|a7|+|a8|+…

錯解剖析:去掉的絕對值符號,要考慮an的符號,對n不討論或討論不當(dāng)容易導(dǎo)致錯誤。前面錯誤有二:一是把n≤5理解為n=5;二是把“前n項和”誤認(rèn)為“從n≥6起”的項的和。

正解:Sn=

(責(zé)任編輯 徐利杰)