打開一句話的世界

【關鍵詞】釘子板上的多邊形；皮克定理；教學實踐；教學思考

【中圖分類號】G623.5 【文獻標志碼】A 【文章編號】1005-6009（2016）52-0056-02

【作者簡介】彭文珍，江蘇省海安縣明道小學（江蘇海安，226600），一級教師，南通市骨干教師。

20年前，在輔導學生趣味數(shù)學時，我就知道了皮克定理，當時學生不善提問，我也教得簡單，只是告訴他們這個定理，然后讓他們用它來解決各種變化的圖形的面積計算問題。20年來，每次教到多邊形的面積計算，遇到一兩道稍難的問題，我都會忍不住告訴學生皮克定理，并立刻再出幾道難題讓他們用皮克定理來解決，每一次總能如我所愿地收獲學生驚奇、狂喜的目光。

如今，皮克定理已經(jīng)走進了學生的數(shù)學課本。一次要上一節(jié)市級公開課，我想也不想就把課題定為它，我要將一句話變?yōu)橐还?jié)課來好好地演繹皮克定理。

環(huán)節(jié)一：分析

師：這是老師昨晚留下的思考題，圖1中這個多邊形的面積是多少？

生：24平方厘米。

學生簡要介紹分、補、移等方法。

師：用分和補做這道題，過程往往特別長，全班最多的好像是28步。如果圖形再多拐幾個彎，估計算式會更長。解決這樣的問題還有沒有其他的方法？

師：你們看，老師給圖形加了格點，你們覺得圖形的面積可能和什么有關？

生：和點，和圖形里面的點以及邊上的點的個數(shù)有關。

師：有可能有關系，也有可能沒關系，所以咱們這節(jié)課就來研究它。這一個個點像釘子，我們就叫它“釘子板上的多邊形”。

環(huán)節(jié)二：探路

師：圖形里面的點簡稱內(nèi)點，用字母a表示，邊上的點簡稱邊點，用字母b表示，面積用字母S表示。在釘子板上可圍的圖形太多了，為了便于發(fā)現(xiàn)規(guī)律，你們覺得應該先研究什么樣的圖形？

生：長方形、正方形、平行四邊形……

師：為什么先選擇這些圖形？

生：這些圖形我們都學過，可以直接用公式來計算它們的面積。

師：還有補充嗎？

生：先研究點少的圖形，再研究點多的。

【探究一】

教師出示圖2，引導學生研究釘子板上的四個多邊形，并把研究結(jié)果填入表格中。

師：你們發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律了嗎？

生1：a÷2=S，邊點÷2=面積。

生2：a×b÷2=S，內(nèi)點×邊點÷2=面積。

生3：我覺得第二個比第一個好，它把內(nèi)點也用起來了。

生4：我發(fā)現(xiàn)多邊形的面積可能真的和點有關系，1號和2號圖形形狀不同，但它們邊點和內(nèi)點的個數(shù)相同，面積也相同。

師：為了驗證你們說的規(guī)律，下面我們來研究內(nèi)點數(shù)是2的圖形。

【探究二】

教師出示圖3，引導學生研究并填寫表格。

生1：我發(fā)現(xiàn)剛才的規(guī)律不對，應該是（a+b）÷2=S，（邊點+內(nèi)點）÷2=面積。

生2：我們應該繼續(xù)研究內(nèi)點數(shù)是3的圖形，看是否有其他的規(guī)律。

【探究三】

教師出示圖4，引導學生繼續(xù)研究并填寫表格。

生1：我發(fā)現(xiàn)剛才的規(guī)律又不成立了，應該是（a+b+1）÷2=S，（邊點+內(nèi)點+1）÷2=面積。

生2：我發(fā)現(xiàn)三次探究的規(guī)律了，圖形的內(nèi)點數(shù)為1時是a÷2=S，內(nèi)點數(shù)為2時是（a+b）÷2=S，內(nèi)點數(shù)為3時是（a+b+1）÷2=S，內(nèi)點數(shù)為4時是（a+b+2）÷2=S。我畫了有4個內(nèi)點的正方形和5個內(nèi)點的梯形，也符合這個規(guī)律。

生3：我覺得他說得很對，不過我換一個角度發(fā)現(xiàn)了一個新的規(guī)律，我從第一個規(guī)律a÷2開始，圖形有1個內(nèi)點時是a÷2=S，2個內(nèi)點時是a÷2+1=S，3個內(nèi)點時是a÷2+2=S，4個內(nèi)點時是a÷2+3=S。

環(huán)節(jié)三：挑戰(zhàn)

師：如果上述規(guī)律成立，怎么用一句話來概括這個規(guī)律？

生：a÷2+（b-1）=S，也就是a÷2+b-1=S，邊點÷2+內(nèi)點-1=面積。

師：現(xiàn)在我們好像找到了一個從頭到尾都成立而且很簡潔的規(guī)律，接下來你想干什么？

生：自己畫圖驗證。

環(huán)節(jié)四：反思

師：回顧這節(jié)課，你還有什么想問、想說的？

生1：太奇妙了，我想知道為什么。

生2：其實剛才我也發(fā)現(xiàn)了，內(nèi)點數(shù)是3時是（a+b+1）÷2=S，用字母公式表示是（a+b+b-2）÷2=S，即（a+2b-2）÷2=S，也就是a÷2+b-1=S。

師：聽明白他的意思了嗎？看來看似不一樣的算式，變一變可能一樣。

生3：我想知道這個規(guī)律是誰第一個發(fā)現(xiàn)的，它有什么用。

課件介紹數(shù)學家喬治·皮克和皮克定理。

對于皮克定理，我研究了20年，研究的結(jié)果是：那些解釋都太深奧，我無法讓學生也明白。因此，每一年我都是以一句話的形式將它直接告訴學生。選擇這個課題來上公開課，同事們都說：“這有什么好上的？就一個公式，一點就破。”可是，課堂上學生卻探究出了一個又一個成立的公式，連聽課教師都忍不住說：“還真對呢！”每一個公式的得出都是一份欣喜，每一個小小的發(fā)現(xiàn)卻又只是拔根“小刺”，直至“大釘子”被尋出。這節(jié)課沒做什么鞏固練習，學生卻有條理地進行了大量的基礎性研究?？磳W生到課末都興趣盎然，我不禁自問：在我們自認為終結(jié)的世界里，還有多少沒被打開的空間？

學生在自己的世界里尋找到了自己的解釋，并創(chuàng)造出了自己的答案。我不知道還有多少未知能變成已知，為人師的我們都該重新審視我們的知識和經(jīng)驗世界！