羅清松，王濤，盧燚

(1.四川化工職業(yè)技術(shù)學(xué)院信息工程系，四川 瀘州 646005； 2.瀘州職業(yè)技術(shù)學(xué)院建筑工程系，四川 瀘州 646005)

圓心設(shè)站測(cè)設(shè)平曲線的精度分析

羅清松1*，王濤2，盧燚1

(1.四川化工職業(yè)技術(shù)學(xué)院信息工程系，四川 瀘州 646005； 2.瀘州職業(yè)技術(shù)學(xué)院建筑工程系，四川 瀘州 646005)

圓心設(shè)站測(cè)設(shè)曲線是近年提出來(lái)的道路平曲線測(cè)設(shè)方法?；跈z驗(yàn)該方法測(cè)設(shè)結(jié)果的可靠性，對(duì)不同精度等級(jí)全站儀使用該方法測(cè)設(shè)道路平曲線的測(cè)設(shè)結(jié)果進(jìn)行分析，其結(jié)果表明圓心設(shè)站測(cè)設(shè)曲線的精度完全滿足現(xiàn)行規(guī)范所規(guī)定的樁位限差要求。

曲線測(cè)設(shè)；圓心設(shè)站；平曲線；精度分析

1 引 言

圓心設(shè)站測(cè)設(shè)平曲線是由文獻(xiàn)[1]提出的，針對(duì)自由設(shè)站極坐標(biāo)法測(cè)設(shè)曲線的一種特殊情況，它是在平曲線圓心上架設(shè)全站儀采用極坐標(biāo)法一次性完成平曲線的測(cè)設(shè)。它不需要自由設(shè)站測(cè)設(shè)曲線方法中的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換，而是通過(guò)兩次余弦定理和一次正弦定理，建立一個(gè)數(shù)學(xué)模型從而計(jì)算出放樣的極角和極距，大大減少了計(jì)算的工作量。相比其他放樣方法，偏角法存在誤差積累，切線支距法、弦線支距法計(jì)算復(fù)雜，使用麻煩，工作量大的特點(diǎn)[2]，圓心設(shè)站測(cè)設(shè)曲線的方法具有獨(dú)特的優(yōu)勢(shì)，例如該方法所用公式具有規(guī)律性，適合計(jì)算機(jī)及計(jì)算器編程；由于放樣各相鄰點(diǎn)之間沒有聯(lián)系，所以放樣點(diǎn)之間沒有誤差積累，提高了放樣點(diǎn)的點(diǎn)位精度。因而本文對(duì)該方法放樣精度進(jìn)行研究，通過(guò)不同精度等級(jí)的全站儀使用圓心設(shè)站測(cè)設(shè)道路平曲線的精度進(jìn)行分析，驗(yàn)證該方法測(cè)設(shè)結(jié)果是否滿足相關(guān)規(guī)范中的有關(guān)要求。

2 圓心設(shè)站測(cè)設(shè)平曲線原理

文獻(xiàn)[1]中所述的圓心設(shè)站測(cè)設(shè)平曲線的方法，即為全站儀在圓心上設(shè)站，然后通過(guò)后視ZH點(diǎn)(或HZ點(diǎn))，轉(zhuǎn)角一定的角度(極角μi)，定向后再距離放樣一定的距離(極距di)，則可確定平曲線的中樁點(diǎn)Pi位置，如圖1所示。

圖1 圓心設(shè)站測(cè)設(shè)平曲線原理

在圓心設(shè)站放樣帶有緩和曲線的平曲線中樁位置時(shí)，將放樣元素計(jì)算分為緩和曲線和圓曲線兩部分。其中緩和曲線放樣元素(極距和極角)為：

μi=arcsin(GPisinηi/OPi)

圓曲線放樣元素(極距和極角)為：

di=OPi=R

其中對(duì)GO、GPi、ηi、∠OGV的計(jì)算已由文獻(xiàn)[1]中做出相應(yīng)介紹，在此不闡述。li為ZH(HZ)點(diǎn)到Pi點(diǎn)的長(zhǎng)度，l0為緩和曲線長(zhǎng)度，L為曲線總從長(zhǎng)度，R為圓曲線半徑。

3 圓心設(shè)站測(cè)設(shè)平曲線的精度分析

3.1 極坐標(biāo)法測(cè)設(shè)圓心點(diǎn)精度分析

圓心設(shè)站測(cè)設(shè)平曲線的精度分析實(shí)質(zhì)為全站儀兩次采用極坐標(biāo)法放樣圓心點(diǎn)和平曲線中樁點(diǎn)位的縱向和橫向偏差大小的分析。

在放樣圓心點(diǎn)時(shí)，可采用極坐標(biāo)法、雙測(cè)站前方交會(huì)法等方法進(jìn)行測(cè)設(shè)。本文選擇放樣精度相對(duì)較低的極坐標(biāo)法進(jìn)行精度分析及參與后續(xù)計(jì)算。

如圖2，JD點(diǎn)往往是已知的。如果在JD點(diǎn)架設(shè)全站儀，則可后視平曲線起點(diǎn)(ZH點(diǎn))或端點(diǎn)(HZ點(diǎn))，然后根據(jù)現(xiàn)場(chǎng)情況左轉(zhuǎn)或右轉(zhuǎn)180°-α/2(β角，見圖2)，距離放樣R+E便可得出圓心點(diǎn)。當(dāng)然如果現(xiàn)場(chǎng)有其他控制點(diǎn)，也可以將該控制點(diǎn)作為后視點(diǎn)，極角或極距則可通過(guò)簡(jiǎn)單的計(jì)算得出。

圖2 圓心設(shè)站測(cè)設(shè)平曲線精度分析

設(shè)JD點(diǎn)坐標(biāo)為(XJYJ)、ZH點(diǎn)坐標(biāo)為(XKYK)、圓心O的坐標(biāo)為(X0Y0)，JO邊的方位角為αJO，β=(180°-α)/2，D=R+E，如圖1，則：

(1)

將式(1)求全微分得：

(2)

上式由誤差傳播定律可得：

(3)

式中：mX0、mY0——放樣圓心點(diǎn)縱向、橫向誤差；

mD——測(cè)距中誤差，即全站儀的標(biāo)稱測(cè)距精度；

mαJO——即全站儀的標(biāo)稱測(cè)距精度mβ；

ρ=206265″

3.2 圓心設(shè)站測(cè)設(shè)平曲線的誤差分析

假設(shè)本次放樣(包括平曲線圓心和平曲線中樁點(diǎn)放樣)使用的全站儀標(biāo)稱測(cè)角精度為mβ，標(biāo)稱測(cè)距精度為mD，則由上文放樣圓心點(diǎn)中誤差推導(dǎo)公式可知：

(4)

式中：mXPi、mYPi、mPi——平曲線中樁點(diǎn)Pi縱向誤差、橫向誤差、點(diǎn)位中誤差；

αJO、αOPi——JD點(diǎn)到圓心點(diǎn)、圓心點(diǎn)到平曲線放樣點(diǎn)的方位角；

mdi——全站儀標(biāo)稱測(cè)距精度(式中mD=mdi)；

mαOPi——全站儀標(biāo)稱測(cè)角精度mμi(式中mαJO=mαOPi=mμi)。

4 不同精度等級(jí)全站儀測(cè)設(shè)精度計(jì)算分析

當(dāng)我們對(duì)某個(gè)量進(jìn)行觀測(cè)時(shí)，總是會(huì)受到對(duì)中誤差、操作誤差、測(cè)角誤差、測(cè)距誤差、頻率誤差、大氣折光和地球曲率等的影響。這些影響中的每一個(gè)都會(huì)引起基本誤差項(xiàng)，而某個(gè)量總的測(cè)量誤差則是這些影響引起的基本誤差項(xiàng)的總和。如果每個(gè)基本誤差項(xiàng)對(duì)其總和的影響是均勻的小，那么對(duì)某個(gè)量進(jìn)行測(cè)量的誤差是服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量。按照測(cè)量誤差理論[4]“絕對(duì)值大于二倍中誤差的偶然誤差出現(xiàn)的概率為4.5%，特別是絕對(duì)值大于三倍中誤差的偶然誤差出現(xiàn)的概率僅為0.3%”的特性，工程實(shí)踐中常取2倍中誤差為測(cè)量的樁位偏差。則式(4)可整理為：

(5)

平曲線中樁樁位誤差由圓心點(diǎn)誤差和極坐標(biāo)法放樣平曲線誤差累積而來(lái)，由式(5)可知，影響平曲線放樣點(diǎn)誤差的因子有JO的方位角和長(zhǎng)度，OPi的方位角和長(zhǎng)度?？紤]到平曲線放樣點(diǎn)中誤差影響因子較多，為了便于分析，本文將測(cè)設(shè)圓心點(diǎn)的縱橫向誤差的最大值引入平曲線中樁樁位誤差公式中進(jìn)行分析。文獻(xiàn)[3]和文獻(xiàn)[6]都提出了，放樣點(diǎn)誤差隨著極距的增大而增大，為了控制放樣點(diǎn)誤差，極坐標(biāo)法放樣距離應(yīng)控制在 500 m以內(nèi)。則選取極距為 500 m，引用該情況下不同精度等級(jí)全站儀放樣出的圓心點(diǎn)的縱向和橫向誤差最大值進(jìn)行后續(xù)分析。依據(jù)《公路勘測(cè)規(guī)范》對(duì)光電測(cè)距儀器的分級(jí)標(biāo)準(zhǔn)和當(dāng)前公路建設(shè)單位常用全站儀類型和精度指標(biāo)，通過(guò)式(3)(D=500 m)可計(jì)算出不同精度等級(jí)全站儀隨著方位角的變化測(cè)設(shè)出的圓心點(diǎn)縱向和橫向偏差(誤差)最大值，如表1所示[6]。

不同精度等級(jí)全站儀放樣圓心點(diǎn)的縱向、橫向最大誤差計(jì)算結(jié)果 表1

結(jié)合式(5)、表1可得出放樣點(diǎn)Pi的橫向和縱向誤差應(yīng)有以下關(guān)系：

(6)

此處便將(6)式的“小于”號(hào)默認(rèn)為“等于”號(hào)(即圓心點(diǎn)縱向和橫向誤差取其最大值)進(jìn)行后續(xù)分析，則通過(guò)該式可以導(dǎo)出不同精度等級(jí)的全站儀采用圓心設(shè)站法測(cè)設(shè)平曲線的樁位縱向和橫向誤差(偏差)計(jì)算公式，如表2所示。

圓心設(shè)站放樣平曲線樁位的縱向和橫向誤差計(jì)算公式 表2

從表2的計(jì)算公式中可以看出，影響平曲線樁位的縱向和橫向誤差的因素便縮減為兩個(gè)，分別為平曲線放樣的測(cè)設(shè)距離和方位角。則選取不同的測(cè)設(shè)距離和方位角大小計(jì)算出不同精度等級(jí)全站儀測(cè)設(shè)中樁樁位時(shí)的縱橫向允許誤差、樁位點(diǎn)位中誤差與測(cè)設(shè)距離、方位角間的關(guān)系，如圖3～圖6(圖中X軸為方位角(弧度制)，Y軸為測(cè)設(shè)距離(極角)，Z軸為誤差大小)。

《公路勘測(cè)規(guī)范》中對(duì)放樣點(diǎn)點(diǎn)位及縱向和橫向限差有明確的規(guī)定(以平原微丘高速公路、一級(jí)公路為例)，樁位限差不應(yīng)超過(guò)以下規(guī)定：

中樁位置中誤差：±5cm

圖3 Ⅰ級(jí)全站儀(mD≤±2 mm，mβ≤±1″)測(cè)設(shè)平曲線樁位誤差分布

圖4 Ⅰ級(jí)全站儀(mD≤±5 mm，mβ≤±2″)測(cè)設(shè)平曲線樁位誤差分布

圖5 Ⅰ級(jí)全站儀(mD≤±5 mm，mβ≤±5″)測(cè)設(shè)平曲線樁位誤差分布

圖6 Ⅱ級(jí)全站儀(mD≤±10 mm，mβ≤±5″)測(cè)設(shè)平曲線樁位誤差分布

橫向誤差：±5 cm

則從圖3～圖6可以得出：

①表3是根據(jù)圖3～圖6的統(tǒng)計(jì)所得。按《公路勘測(cè)規(guī)范》規(guī)定的限差要求，使用圓心設(shè)站測(cè)設(shè)平曲線時(shí)，Ⅰ級(jí)全站儀(mD≤±5 mm，mβ≤±5″)的測(cè)設(shè)距離應(yīng)控制在 700 m以內(nèi)，Ⅱ級(jí)全站儀(mD≤±10 mm，mβ≤±5″)測(cè)設(shè)距離應(yīng)控制在 600 m以內(nèi)。但如果使用Ⅰ級(jí)全站儀(mD≤±5 mm，mβ≤±2″及mD≤±2 mm，mβ≤±1″)則測(cè)設(shè)距離可達(dá) 1 km以上，考慮到在使用儀器中其他誤差的影響，也完全能夠滿足《公路勘測(cè)規(guī)范》中的各項(xiàng)限差要求。

圓心設(shè)站放樣平曲線中樁誤差統(tǒng)計(jì) 表3

②隨著測(cè)設(shè)方位角的增大，樁位縱向誤差變化具有余弦函數(shù)規(guī)律；樁位橫向誤差具有正弦函數(shù)規(guī)律。但隨著測(cè)設(shè)邊長(zhǎng)的增加正余弦函數(shù)的振幅將變小。不同精度等級(jí)全站儀有個(gè)不同的測(cè)設(shè)距離，使得縱橫向誤差的振幅將變得一樣，此時(shí)，樁位的縱橫向誤差不受方位角大小的影響，因而為了減少方位角測(cè)設(shè)誤差的影響，Ⅰ級(jí)全站儀(mD≤±2 mm，mβ≤±1″)、Ⅱ級(jí)全站儀(mD≤±10 mm，mβ≤±5″)測(cè)設(shè)距離在 400 m左右為宜，Ⅰ級(jí)全站儀(mD≤±5 mm，mβ≤±2″)測(cè)設(shè)距離在 500 m左右為宜，Ⅰ級(jí)全站儀(mD≤±5 mm，mβ≤±5″)測(cè)設(shè)距離在 200 m左右為宜。

5 結(jié) 論

本文對(duì)圓心設(shè)站測(cè)設(shè)道路平曲線的測(cè)設(shè)精度進(jìn)行了分析，結(jié)果表明只要正確規(guī)范的使用不同精度等級(jí)的全站儀，圓心設(shè)站法測(cè)設(shè)道路平曲線樁位的各項(xiàng)誤差便能完全符合《道路勘測(cè)規(guī)范》的限差要求。因而該方法在合適的施工條件下，值得推廣。

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Accuracy Analysis of Surveying and Designing the Curve on the Center

Luo Qingsong1，Wang Tao2，Lu Yi1

(1.Department of Information Engineering，Sichuan Vocational College of Chemical Technology，Luzhou 646005，China； 2.Department of Architecture，Luzhou Vocational Technical College，Luzhou 646005，China)

Surveying and designing the curve on the center is proposed in recent years. Surveying the results of the test method based on reliability，this article indicates that different accuracy obtained in surveying of horizontal curve can meet fully the requirements form of error stipulated in current edition of specifications.

arrangement of curve；survey on the center；horizontal curve；accuracy analysis

1672-8262(2017)01-111-05

P258

B

2016—07—07 作者簡(jiǎn)介：羅清松(1990—)，男，助理工程師、助教，研究方向：工程測(cè)量、攝影測(cè)量等。