羅家成, 羅娟, 孫磊

(中國(guó)核動(dòng)力研究設(shè)計(jì)院， 成都610213)

核級(jí)設(shè)備結(jié)構(gòu)中基體夾雜界面應(yīng)力計(jì)算分析

羅家成, 羅娟, 孫磊

(中國(guó)核動(dòng)力研究設(shè)計(jì)院， 成都610213)

基于復(fù)變函數(shù)方法，研究了在反平面載荷下核級(jí)設(shè)備結(jié)構(gòu)中基體夾雜界面應(yīng)力分布。利用基體和夾雜在界面處的位移和應(yīng)力連續(xù)邊界條件，推導(dǎo)得到含復(fù)應(yīng)力函數(shù)系數(shù)的線性方程組，求解該方程組獲得基體和夾雜的界面應(yīng)力。通過(guò)數(shù)值計(jì)算結(jié)果表明：夾雜形狀、基體與夾雜剪切模量比值對(duì)界面環(huán)向應(yīng)力和界面徑向應(yīng)力均有影響，為核級(jí)設(shè)備結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)及工程應(yīng)用提供理論參考。

彈性基體與夾雜；反平面問(wèn)題；界面應(yīng)力；復(fù)變函數(shù)方法

引言

在核級(jí)設(shè)備結(jié)構(gòu)中，基體夾雜兩相結(jié)構(gòu)如纖維增強(qiáng)、顆粒增強(qiáng)等彌散強(qiáng)化材料是一種應(yīng)用廣泛的材料體系，例如燃料顆粒的單質(zhì)碳化硅包覆層結(jié)構(gòu)、內(nèi)外層均為碳化硅纖維增強(qiáng)復(fù)合材料而中間為金屬層的包殼結(jié)構(gòu)，以及金屬基體微封裝燃料和全陶瓷微封裝燃料等。由于引入了增強(qiáng)相，極大地提高了核級(jí)設(shè)備結(jié)構(gòu)的性能，由包覆燃料顆粒彌散在陶瓷基體中構(gòu)成的全陶瓷微封裝燃料，其碳化硅基體可提供超常的輻照穩(wěn)定性、高熱導(dǎo)率以及熱力學(xué)穩(wěn)定性。因此，對(duì)于這些基體夾雜結(jié)構(gòu)的力學(xué)性能研究在核工程領(lǐng)域具有重要的理論及工程意義，其基體與夾雜兩相界面處的應(yīng)力隨夾雜的形狀及材料性能的變化規(guī)律對(duì)于核級(jí)設(shè)備結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)及工程應(yīng)用可提供參考。

事實(shí)上，基體夾雜問(wèn)題一直是固體力學(xué)關(guān)注的熱點(diǎn)，自從Muskhelishvili[1]和Eshebly[2]關(guān)于橢圓夾雜和橢球夾雜的研究工作以來(lái)，關(guān)于基體夾雜的應(yīng)力應(yīng)變場(chǎng)研究已有許多成果。Gong和Meguid[3-4]研究了彈性橢圓夾雜在無(wú)限遠(yuǎn)處受到反平面和平面載荷問(wèn)題，給出了彈性場(chǎng)的解；Shen[5]等研究了具有非完全接觸界面橢圓夾雜的反平面問(wèn)題；Gao和Noda[6]給出了壓電介質(zhì)內(nèi)任意形狀?yuàn)A雜二維電彈性場(chǎng)的分析結(jié)果；利用邊界積分方程，Dong和Lo[7]分析了反平面載荷下夾雜和裂紋之間的相互作用，計(jì)算了單個(gè)及多個(gè)橢圓夾雜和裂紋作用下的應(yīng)力強(qiáng)度因子；Karoui等[8]研究了不可壓縮超彈性?xún)上嗖牧系姆雌矫婕羟袉?wèn)題，給出了兩相材料楔形頂點(diǎn)處彈性場(chǎng)的解；Chen[9-10]采用復(fù)變函數(shù)方法研究了橢圓夾雜以及共焦多層橢圓夾雜的Eshebly問(wèn)題，推導(dǎo)出了本征應(yīng)變的解。

以上研究一般采用級(jí)數(shù)展開(kāi)法，給出基體和夾雜彈性體內(nèi)的復(fù)應(yīng)力函數(shù)，而對(duì)于界面應(yīng)力分布并未給出詳細(xì)的計(jì)算分析。本文采用復(fù)變函數(shù)方法，引入Faber級(jí)數(shù)研究了在反平面載荷下的基體夾雜界面應(yīng)力問(wèn)題，利用界面應(yīng)力和位移邊界條件獲得含基體和夾雜復(fù)應(yīng)力函數(shù)系數(shù)的線性方程組，通過(guò)數(shù)值計(jì)算得到具有不同形狀?yuàn)A雜的界面環(huán)向應(yīng)力和界面徑向應(yīng)力分布，分析了夾雜形狀和材料性能對(duì)界面應(yīng)力的影響。

1 基本方程

圖1 基體含任意形狀?yuàn)A雜示意圖

(1)

τ13-iτ23=φ′(z)

(2)

(3)

利用在邊界Γ上的應(yīng)力和位移邊界條件可以求解得到φ(z)，進(jìn)而可以獲得基體和夾雜邊界上的界面應(yīng)力。

2 問(wèn)題求解

對(duì)于圖1 所示問(wèn)題，由于在邊界Γ上基體S1和夾雜S2完全接觸，由應(yīng)力和位移連續(xù)可得：

(4)

(5)

其中，μ=G2/G1，φ1(z)和φ2(z)分別為S1和S2內(nèi)的未知復(fù)應(yīng)力函數(shù)。

引入保角映射函數(shù)[1]：

(6)

式(6)將邊界Γ外部S1區(qū)域保角映射到ζ平面上單位圓L1的外部，將ζ平面上的區(qū)域分別記為Ω1和Ω2，如圖2 所示，其中R和mn為不同形狀?yuàn)A雜的系數(shù)。

圖2 保角映射示意圖

在ζ平面上，將z=ω(ζ)代入式(4)和式(5)，則可以得到：

(7)

(8)

在區(qū)域Ω1和Ω2內(nèi)的復(fù)應(yīng)力函數(shù)分別可以表示為：

φ1(ω(ζ))=Bω(ζ)+φ10(ζ)

(9)

(10)

其中，

(11)

(12)

Pk(ω(ζ))為Faber級(jí)數(shù)[11]：

(13)

式中βk,n可由以下遞推公式求得[11]：

β1,n=mn

(14)

(15)

將φ1(ω(ζ))和φ2(ω(ζ))代入式(7)和式(8)，并令ζ=eiθ=σ，可得：

(16)

(17)

將φ10(σ),φ2(σ),ω(σ)代入(17)式，并比較等式兩邊σ±k(k≥1)的系數(shù)，整理可得：

(18)

(19)

(20)

(21)

3 數(shù)值計(jì)算與分析

對(duì)于基體中含一圓形夾雜，保角映射函數(shù)可以表示為[12]：

z=ω(ζ)=Rζ

(22)

其中，R=a為圓形夾雜的半徑。

圖3 和圖4 分別為圓形夾雜的界面徑向應(yīng)力和界面環(huán)向應(yīng)力曲線，與文獻(xiàn)[3]結(jié)果一致。圓形夾雜界面徑向應(yīng)力隨著夾雜和基體剪切模量之比K的逐漸增大而遞增，而界面環(huán)向應(yīng)力隨著剪切模量之比K的逐漸增大而減小。硬夾雜的界面徑向應(yīng)力大于軟夾雜的界面徑向應(yīng)力，而硬夾雜的界面環(huán)向應(yīng)力小于軟夾雜的界面環(huán)向應(yīng)力。

圖3 圓形夾雜界面徑向應(yīng)力曲線

圖4 圓形夾雜界面環(huán)向應(yīng)力曲線

對(duì)于基體中含一橢圓形夾雜，保角映射函數(shù)可以表示為[12]：

z=ω(ζ)=R(ζ+mζ-1)

(23)

橢圓形夾雜的界面徑向應(yīng)力和界面環(huán)向應(yīng)力曲線如圖5 和圖6 所示。硬夾雜的界面徑向應(yīng)力大于軟夾雜的界面徑向應(yīng)力，并隨著剪切模量之比K的逐漸增大而遞增。界面環(huán)向應(yīng)力與界面徑向應(yīng)力變化趨勢(shì)相反，即硬夾雜的界面環(huán)向應(yīng)力小于軟夾雜的界面環(huán)向應(yīng)力，且隨著K增大而減小。

圖5 橢圓夾雜界面徑向應(yīng)力曲線

圖6 橢圓夾雜界面環(huán)向應(yīng)力曲線

對(duì)于無(wú)限基體中含一正方形夾雜，保角映射函數(shù)可以表示為[12]：

(24)

其中，R=3a/5，a為正方形的邊長(zhǎng)。

圖7 和圖8 分別為正方形夾雜的界面徑向應(yīng)力和界面環(huán)向應(yīng)力曲線。與圓形夾雜類(lèi)似，硬夾雜界面徑向應(yīng)力大于軟夾雜的界面徑向應(yīng)力并隨著K遞增，而硬夾雜的界面環(huán)向應(yīng)力小于軟夾雜的界面環(huán)向應(yīng)力并隨著K遞減。界面徑向應(yīng)力和界面環(huán)向應(yīng)力在正方形夾雜四個(gè)尖角處具有明顯的應(yīng)力集中。

圖7 正方形夾雜界面徑向應(yīng)力曲線

圖8 正方形夾雜界面環(huán)向應(yīng)力曲線

對(duì)于無(wú)限基體中含一等邊三角形夾雜，保角映射函數(shù)可以表示為[12]：

(25)

其中，R=3a/5，a為三角形的邊長(zhǎng)。

圖9 和圖10 分別為三角形夾雜的界面徑向應(yīng)力和界面環(huán)向應(yīng)力曲線。界面應(yīng)力隨K的變化與圓形夾雜類(lèi)似，同樣硬夾雜界面徑向應(yīng)力大于軟夾雜，而硬夾雜的界面環(huán)向應(yīng)力小于軟夾雜的界面環(huán)向應(yīng)力。三角形夾雜界面徑向應(yīng)力和界面環(huán)向應(yīng)力在三個(gè)尖角處具有明顯的應(yīng)力集中，其中界面徑向應(yīng)力在0度角上應(yīng)力最大，大于其他兩個(gè)角；而界面環(huán)向應(yīng)力在0度角上應(yīng)力為零，應(yīng)力集中在120度和240度角上。

對(duì)于具有其他任意形狀的夾雜，只要給出公式(6)表征夾雜形狀的保角映射函數(shù)，均可通過(guò)數(shù)值方法計(jì)算得到基體和夾雜的界面應(yīng)力。

圖9 三角形夾雜界面徑向應(yīng)力曲線

圖10 三角形夾雜界面環(huán)向應(yīng)力曲線

4 結(jié)束語(yǔ)

采用復(fù)變函數(shù)方法對(duì)基體含任意形狀?yuàn)A雜的界面應(yīng)力進(jìn)行了分析，通過(guò)數(shù)值計(jì)算表明：界面徑向應(yīng)力隨著剪切模量之比的增大而遞增，界面環(huán)向應(yīng)力隨著剪切模量之比的增大而遞減；硬夾雜的界面徑向應(yīng)力大于軟夾雜的界面徑向應(yīng)力，而硬夾雜的界面環(huán)向應(yīng)力小于軟夾雜的界面環(huán)向應(yīng)力；正方形和三角形夾雜的界面應(yīng)力在夾雜尖角上具有應(yīng)力集中。本文的數(shù)值計(jì)算方法可為核級(jí)設(shè)備結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)及工程應(yīng)用中的界面應(yīng)力分析提供一定的參考。

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Numerical Analysis of Interface Stresses Between Matrix and Inclusion in the Structure of Nuclear Equipment

LUOJiacheng,LUOJuan,SUNLei

(Nuclear Power Institute of China, Chengdu 610213, China)

Based on the complex method, the interface stresses between matrix and inclusion in nuclear equipment under antiplane loadings are analyzed. By using the displacement and stress continuous conditions on the interface, the linear equations containing all the unknown coefficients of the complex potential are derived. Through numerical solving, the complex potentials and interface stresses of matrix and inclusion are finally obtained. It is found by the numerical calculation that the geometry and the shear modulus ratio of the matrix and inclusion both have influences on the interface radial and hoop stress, which can be a reference for the design and engineering application of the structure of nuclear equipment.

elastic matrix and inclusion; antiplane problem; interfacial stress; complex potential method

2016-03-31

羅家成(1984-),男,四川彭州人,助理研究員,博士,主要從事反應(yīng)堆結(jié)構(gòu)力學(xué)方面的研究,(E-mail)ljcnuaa@126.com

1673-1549(2017)01-0055-05

10.11863/j.suse.2017.01.10

O343

A