湖南省澧縣如東鎮(zhèn)中學(xué) 劉夕剛

淺談數(shù)學(xué)教材的利用與拓展

湖南省澧縣如東鎮(zhèn)中學(xué) 劉夕剛

充分利用數(shù)學(xué)教材，發(fā)揮其指導(dǎo)作用，達(dá)到實(shí)現(xiàn)讓學(xué)生掌握基礎(chǔ)知識(shí)和提高技能，注意研究過程和學(xué)習(xí)方法，使學(xué)生的情感得到升華、價(jià)值得以實(shí)現(xiàn)等三維目標(biāo)整合的目的，是數(shù)學(xué)教師從事教育活動(dòng)的基本要求。使用教材，并不等于機(jī)械地教教材，而是用教材教，充分挖掘教材的潛能，所以把“書”教“活”，又是對(duì)數(shù)學(xué)教師的更高要求。

一、深刻領(lǐng)會(huì)教材內(nèi)涵，避免學(xué)生思維模糊不清

《三角形的內(nèi)切圓》一節(jié)中，開頭引語敘述：從一塊三角形的材料上裁下一塊圓形的用料，怎樣才能使圓的面積盡可能大呢？對(duì)這一段話，學(xué)生是怎樣理解的呢？從教學(xué)實(shí)際中了解，絕大多數(shù)學(xué)生對(duì)“盡可能大”理解不全，或者說完全不理解，教師不如設(shè)計(jì)如下圖示，能讓學(xué)生從直觀上看出“盡可能大”的含義。

圖1、2、3均展示三角形內(nèi)的圓不是最大，圖2只是與三角形的一邊相切，圖3有兩邊與圓相切，從而直觀上學(xué)生可以斷定圖4中的圓是最大的圓。學(xué)生自然地明白：與三角形三邊都相切的圓是最大的圓。這樣“可能大”的圓就具體化了，在現(xiàn)行初中教材中有許多這樣的學(xué)生似懂非懂而有待教師明示的文字，只要一點(diǎn)拔，就會(huì)柳暗花明。

實(shí)質(zhì)上，教材各章節(jié)的知識(shí)都是相互聯(lián)系的整體。學(xué)生很不容易理解到這一點(diǎn)，他們對(duì)單個(gè)的知識(shí)可能掌握得較好，但綜合起來就會(huì)力不從心了。比如平面直角坐標(biāo)系的建立，開辟了數(shù)形結(jié)合的新天地，從有序?qū)崝?shù)對(duì)與平面點(diǎn)的關(guān)系的理解，再到函數(shù)關(guān)系的建立，以及與方程解的聯(lián)系，這些都需要在學(xué)生的思維上建立整體的印象，全面理解各知識(shí)點(diǎn)之間的關(guān)系，在運(yùn)用上能靈活自如，這才是真正地理解了教材，教師一定要把指導(dǎo)學(xué)生對(duì)教材的系統(tǒng)了解作為教學(xué)的重要環(huán)節(jié)來引起重視，否則學(xué)生掌握的知識(shí)是獨(dú)立的、單個(gè)的，與實(shí)際運(yùn)用脫節(jié)的、生硬的書本知識(shí)。

二、深刻把握教材思想方法，避免學(xué)生解題鉆進(jìn)死胡同

教材中載述了許多數(shù)學(xué)思想方法：待定系數(shù)法、數(shù)學(xué)歸納法、換元法、整體思維法、數(shù)形結(jié)合思想、數(shù)學(xué)建模思想等等。如果對(duì)這些數(shù)學(xué)思想方法掌握不透徹，學(xué)生在解題過程中就會(huì)遇到阻力，出現(xiàn)思維堵塞。在實(shí)際教學(xué)中，發(fā)現(xiàn)學(xué)生對(duì)整體思想非常陌生，由于學(xué)生對(duì)教材中的整體思想沒有真正認(rèn)識(shí)，甚至不知道有這樣的思想。例如：已知三角形的邊長為a，求它的內(nèi)切圓與外接圓組成的圓環(huán)的面積。從這個(gè)例題的解題過程中可以明顯看出就是運(yùn)用整體思想，而有的學(xué)生在思考的過程中，只想分別求出內(nèi)切圓和外接圓的半徑，這樣鉆進(jìn)了死胡同。又如：如圖，五個(gè)等圓的半徑為1，順次連結(jié)五個(gè)圓心得五邊形ABCDE，求五個(gè)扇形的面積的和。

只有徹底地理解了數(shù)學(xué)思想方法，學(xué)生也就真正掌握了解題方法。因此理解數(shù)學(xué)教材，關(guān)鍵在于理解和掌握數(shù)學(xué)思想方法。

三、深刻挖掘教材習(xí)題普遍指導(dǎo)功能，避免學(xué)生題海戰(zhàn)術(shù)

現(xiàn)在學(xué)生學(xué)業(yè)負(fù)擔(dān)過重，主要是圍困在題海中，解決課業(yè)負(fù)擔(dān)過重的問題，挖掘習(xí)題普遍指導(dǎo)功能是一種很有效的途徑，也可以提高運(yùn)用所學(xué)的知識(shí)的效率。八年級(jí)全等三角形的判定中有這樣一題：求證：如果延長△ABC的中線AD至AE，使DE=AD,EC=AB。那么EC=AB。

此題是對(duì)三角形全等判定知識(shí)的運(yùn)用，具體解法如下：

證明：如圖1，在△ECD與△ABC中，因?yàn)锳D=ED，∠ADB=∠EDC，BD=CD，所以△ABD≌△ECD(SAS)，則EC=AB。如果將此題進(jìn)一步挖掘變形，對(duì)誘發(fā)思維頗具指導(dǎo)性作用。如圖2，已知AD是ΔABC的中線，BE交AC于E,交AD于F,又AE=EF,求證AC=BF。

證明：延長AD到H,使DH=AD,連接BH,因?yàn)锳D是ΔABC的中線，所以BD=DC，又∠BDH=∠CDA，DH=AD，則△BDH≌△CDA，因此BH=CA，∠H=∠2，又∠1=∠3，所以∠2=∠3=∠H，則BH=BF。

指導(dǎo)學(xué)生在有中線的問題中，用中線加倍的輔助線作法，構(gòu)造出全等三角形，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)實(shí)現(xiàn)相等線段(或角)的代換，從而達(dá)到證題目的。教師在講解例題或課后習(xí)題時(shí)合理發(fā)揮，可以達(dá)到舉一反三，事半功倍，減少學(xué)生過重負(fù)擔(dān)的目的。

圖1

圖2

四、深刻構(gòu)建教材與實(shí)際的聯(lián)系，避免學(xué)生枯燥乏味

關(guān)注學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和經(jīng)驗(yàn)，加強(qiáng)課程內(nèi)容與學(xué)生生活的聯(lián)系，激發(fā)學(xué)生的積極性，這是教師課堂教學(xué)注重的關(guān)鍵所在。由于學(xué)生的個(gè)體差異的存在，有的學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)感興趣，有的則覺得枯燥，教師應(yīng)建立教材與實(shí)際，與學(xué)生生活的聯(lián)系，從而來激發(fā)學(xué)習(xí)興趣。

在學(xué)習(xí)了圓與圓的位置關(guān)系時(shí)，全面了解圓與圓的位置關(guān)系后，我向?qū)W生提出：舉出五種圓與圓位置關(guān)系的實(shí)際例子。有學(xué)生回答：我們投籃時(shí)正能體現(xiàn)這五種位置關(guān)系。當(dāng)未投中，遠(yuǎn)離籃框時(shí)，兩圓外離；當(dāng)未投中，挨著籃框時(shí)，兩圓外切；當(dāng)投中，擦著籃框時(shí)，兩圓內(nèi)切；當(dāng)投中空心時(shí)，兩圓內(nèi)含；當(dāng)球打在籃框時(shí)向上彈起，給人兩圓相交的形象。學(xué)生舉出這樣的例子，與學(xué)生的生活太接近了，也易掌握數(shù)學(xué)知識(shí)，讓學(xué)生明確了數(shù)學(xué)就在我們的生活中。

引導(dǎo)學(xué)生自主學(xué)習(xí)，合作學(xué)習(xí)，探究學(xué)習(xí)，處理好傳授知識(shí)與培養(yǎng)能力的關(guān)系，這是教師合理處理教材與實(shí)際相互聯(lián)系的重要教學(xué)目標(biāo)，在教學(xué)過程中，教師要能結(jié)合教材的知識(shí)設(shè)計(jì)或選取一部分與實(shí)際相關(guān)的試題，讓學(xué)生討論、研究，以此來體現(xiàn)和展示他們的能力。例如：學(xué)習(xí)了《解直角三角形》一章后，設(shè)計(jì)了這樣一道題：某鄉(xiāng)計(jì)劃在河道虛線處建一座橋AB，(如圖)預(yù)先需要測量橋長AB，由于不能過河直接測量，因此請你設(shè)計(jì)一個(gè)測量方案。要求：①簡述測量方法，畫出示意圖；②用你測量的數(shù)據(jù)（用字母表示）表示橋長AB。說明：河的兩岸及周圍在同一高度上，并且比較平坦。這樣的題能給學(xué)生充分討論合作的空間，并能夠真正提高和展示他們的能力。

總之，合理使用教材，有效挖掘教材，讓教材在學(xué)生學(xué)習(xí)過程中發(fā)揮指導(dǎo)作用，其根本在于教師如何誘導(dǎo)?，F(xiàn)在正面臨著教材和教學(xué)改革，深鉆教材，為教學(xué)改革服務(wù)，這是教師應(yīng)把握的主線。