田繼青，張超龍，郭承軍

（1.電子科技大學(xué)中山學(xué)院，廣東中山528400；2.仲愷農(nóng)業(yè)工程學(xué)院計(jì)算科學(xué)學(xué)院，廣東廣州510225；3.廣東工業(yè)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院，廣東廣州510006）

一類二階具多時(shí)滯次二次增長(zhǎng)條件泛函微分方程同宿軌的存在性

田繼青1，張超龍2，郭承軍3

（1.電子科技大學(xué)中山學(xué)院，廣東中山528400；2.仲愷農(nóng)業(yè)工程學(xué)院計(jì)算科學(xué)學(xué)院，廣東廣州510225；3.廣東工業(yè)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院，廣東廣州510006）

本篇論文的目的是研究一類二階具多時(shí)滯次二次增長(zhǎng)條件泛函微分方程同宿軌的存在性.利用Mawhin的連續(xù)定理，對(duì)一列周期解取極限，得到了所研究的系統(tǒng)具有一個(gè)非平凡的同宿軌.

同宿軌；多時(shí)滯；Mawhin的連續(xù)定理

1 引言

最近這些年，利用臨界點(diǎn)理論，許多學(xué)者研究了Hamilton系統(tǒng)同宿軌的存在性，但具多時(shí)滯的泛函微分方程一般不具有變分結(jié)構(gòu)，因此無(wú)法運(yùn)用臨界點(diǎn)理論去研究解的存在性問(wèn)題.在本文中，利用Mawhin的連續(xù)定理，對(duì)一類二階具多時(shí)滯次二次增長(zhǎng)條件的泛函微分方程，我們建立了同宿軌的存在性定理.在文獻(xiàn)[1-7]中，研究的是二階Hamilton系統(tǒng)同宿軌的存在性，而在文獻(xiàn)[8-12]中，他們考慮了一階Hamilton系統(tǒng)同宿軌的存在性.

本文中，我們討論了如下泛函微分方程

關(guān)于次二次增長(zhǎng)條件見(jiàn)（H4），對(duì)應(yīng)于超二次增長(zhǎng)條件，其重要工作見(jiàn)Rabinowitz[1].

如果當(dāng)t→±∞時(shí)，有x（t）→0，則我們說(shuō)x（t）是系統(tǒng)（HS）的同宿軌.另外，如果x不恒等于0，則稱x為非平凡的同宿軌.

為了證明我們的主要結(jié)果，我們首先介紹Mawhin的連續(xù)定理[13].為此，我們給出如下一些有用的定義.令X和Y為兩個(gè)Banach空間，L∶DomL?X→Y是一個(gè)線性映射，N∶X→Y為一個(gè)連續(xù)映射.如果L滿足：

（i）dim KerL=co dim Im L＜+∞；

（ii）Im L在Y中是閉的；

則稱映射L是指標(biāo)為零的Fredholm算子.如果L是一個(gè)指標(biāo)為零的Fredholm算子，則存在連續(xù)投影算子P∶X→Y和Q∶Y→Y，使得Im P=KerL和Im L=KerQ=Im（I－Q）成立.并且∶（I－P）X→Im L有逆存在，我們用Kp表示.如果Ω是X中的一個(gè)有界的開(kāi)子集，QN（Ω）是有界的且是緊的，則稱映射N(xiāo)為Ω上L－緊的.因?yàn)镮m Q和KerL同構(gòu)，故存在一個(gè)同構(gòu)J∶Im Q→KerL.

定理A（Mawhin的連續(xù)定理[13]）：令L是一個(gè)具零指標(biāo)的Fredholm算子，N是一個(gè)在上L－緊的非線性算子.如果

（2）對(duì)每個(gè)x∈?Ω∩Ker（L），有QNx≠0和deg（QN，Ω∩Ker（L），0）≠0；

2 主要結(jié)果

現(xiàn)在我們對(duì)a1（t）、a2（t）和f（t）做如下假設(shè)：

（H1）；

（H2）M2=maxt∈[0，T]a2（t）≥a2（t）≥m2=mint∈[0，T]a2（t）＞0；

（H3）f∶R→R是一個(gè)連續(xù)有界函數(shù)，且f不恒等于0和，其中η＞ 0是正常數(shù)；

（H4）存在常數(shù)0≤γi≤1和βi（t）∈L2（R，R+）（i=1，2，…，n），有下列條件成立

其中α=min{m2，1}，β（k）i（t）是βi（t）在區(qū)間[－kT，kT]上的2kT周期截取，ρ是由式（7）定義的一個(gè)正常數(shù).

定理2.1：假設(shè)（H1）-（H4）被滿足，則系統(tǒng)（HS）存在一個(gè)非平凡同宿軌x∈C2（R，R），使得x'（t）→0，t→±∞.

注2.2：當(dāng)γi=1（i=1，2，…，n）時(shí)，文獻(xiàn)[4]是系統(tǒng)（HS）的特殊情形.

為方便我們的證明，需要一些預(yù)備工作.對(duì)每個(gè)k∈N，令

定義Xk上的范數(shù)如下

令

及Yk上的范數(shù)，從而都是Banach空間.

注2.3：如果x∈Xk，則有x(i)（0）=x(i)（2kT）（i=0，1）.

在Izydorek和Janczewska[5]的工作中，系統(tǒng)（HS）的同宿軌是通過(guò)對(duì)一系列周期函數(shù)解xk∈Xk取極限得到的.因此，我們考慮如下系統(tǒng)

其中對(duì)?k∈N，fk∶R→R是f在區(qū)間[－kT，kT]上的具有2kT周期的截取函數(shù)，Xk是系統(tǒng)（HSk）的2kT周期解.

定義算子Lk∶Xk→Yk和Nk∶Xk→Yk如下：

在Yk中是閉的.因此Lk是一個(gè)指標(biāo)為零的Fredholm算子.

對(duì)x=x（t）∈X和y=y（t）∈Yk，如下定義Pk∶Xk→Xk和Qk∶Yk→Yk/Im（Lk）：

顯然有Im Pk=KerLk和Im Lk=KerQk=Im（Ik－Qk），故

令Ωk為Xk中的有界開(kāi)子集，易知有界，是緊的.從而映射N(xiāo)k為k中L－緊的.

引理2.4：令Lk、Nk、Pk和Qk分別是（1）、（2）、（5）和（6）所定義的算子，則Lk是一個(gè)指標(biāo)為零的Fredholm算子，Nk在k上是L－緊的，其中k是Xk中任意有界開(kāi)子集.

3 主要結(jié)果的證明

在我們的證明中，需要用到Rabinowitz在文獻(xiàn)[11]中的一個(gè)重要結(jié)果.

命題3.1：對(duì)x∈Xk，存在一個(gè)正常數(shù)ρ，使得下面的不等式成立：

現(xiàn)在，我們考慮如下的輔助方程

引理3.2：假設(shè)定理2.1中的條件成立.對(duì)?k∈N，如果xk（t）是方程（8）的2kT周期解，則存在獨(dú)立于的正常數(shù)，使得

證明：假設(shè)xk（t）是方程（8）的2kT周期解.由（8）我們有

由（7）和（10），可得

這意味著

因?yàn)?≤γi≤1和，從而存在正常數(shù)使得

另一方面，由（8）有

從而有

由（7）和（18），有

從而引理3.2成立.

引理3.3：假設(shè)（H1）－（H4）成立，則對(duì)?k∈N，系統(tǒng)（HSk）存在一個(gè)2kT周期解.

證明：假設(shè)x（t）是方程（8）的2kT周期解.由引理3.2知，存在獨(dú)立于的正常數(shù)使得（9）成立.對(duì)任意的正常數(shù)，其中.令

可知Lk是一個(gè)指標(biāo)為零的Fredholm算子，Nk在上是L－緊的（文獻(xiàn)[13]）.

由于Ker（Lk）={x∈Xk∶x（t）=c∈R}及Xk上的范數(shù)如下

從而由（20）知，當(dāng)x∈?Ωk∩Ker（Lk）時(shí)，有.

由（H4）可得（如果選擇的充分大）

最后，對(duì)于?x∈?Ωk∩Ker（Lk），由（2）、（6）和（20）－（22），有

因此，對(duì)?x∈Ker（Lk）∩?Ωk和η∈[0，1]，可得

從而有

由引理3.2，對(duì)?x∈?Ωk∩Dom（L）k和∈[0，1]，有Lkx≠Nkx.由定理A，方程Lkx= Nkx在Dom（L）∩上至少存在一個(gè)解.因此系統(tǒng)（HSk）存在一個(gè)2kT周期解.

引理3.4：令{xk}k∈N是由引理3.3得到的序列，則在中存在一個(gè)x0，使得xk→x0，k→+∞.

證明：由（14）及Arzela-Ascoli定理，從而有{xk}k∈N在中收斂到系統(tǒng)（HS）的一個(gè)解x0，且滿足

由（HSk）可得

因此x0是系統(tǒng)（HS）的一個(gè)解.

另外，我們有

這表明（23）成立.

引理3.5：引理3.4中得到的函數(shù)x0是系統(tǒng)（HS）的同宿軌.

我們分兩步證明.

第一步：我們證明x0（t）→0，t→±∞.

由（23），有

因此，（15）和（24）表明我們的斷言是正確的.

由（14）、（19）和（24），只需要證明

另一方面，由系統(tǒng)（HS）有

因此對(duì)所有的t∈R，有g(shù)（t，0，0，…，0）=0，x0（t）→0，t→±∞，同時(shí)可得，所以式（25）成立.

定理2.1的證明：顯然，由引理3.5，可得定理2.1.

[1]ZELATI C V，RABINOWITZ P H.Homoclinic orbits for second order Hamiltonian systems possessing superquadratic potentials[J].Amer Math Soc，1991，4（4）：693-727.

[2]DING Y H，GIRARDI M.Periodic and homoclinic solutions to a class of Hamiltonian systems with the potentials changing sign[J].Math Anal Appl，1995，189：585-601.

[3]GUO C J，O'REGAN D，AGARWAL R.Homoclinic orbits for a singular second-order Neutral differential equation[J].Journal ofMathematical Analysis&Applications，2010，366（2）：550-560.

[4]GUO C J，O'REGAN D，AGARWAL R.Existence of Homoclinic Solutions for a Class of Second-Order Differential Equations with Multiple Lags[J].Advance in dynamical system and applications，2010，5（1）：75-85.

[5]IZYDOREK M，JANCZEWSKA J.Homoclinic solutions for a class of the second order Hamiltonian systems [J].Journal ofDifferential Equations，2005，219（2）：375-389.

[6]RABINOWITZ P H.Homoclinic orbits for a class of hamiltonian systems[J].Proceedings of the Royal Society ofEdinburgh，1989，114（1/2）：217-221.

[7]WU J H，ZOU X F.Asymptotic and periodic boundary value problems of Mixed FDEs and wave solutions lattice differential equations[J].Journal ofDifferential Equations，1997，135（2）：315-357.

[8]ZELATI C V，EKELAND I，SESE E.A variational approach to homoclinic orbits in Hamiltonian systems [J].Math Ann，1990，228（288）：133-160.

[9]DING Y H，JEANJEAN L.Homoclinic orbits for a nonperiodic Hamiltonian system[J].Journal of Differential Equations，2007，237（2）：473-490.

[10]HOFER H，WYSOCKI K.First order elliptic systems and the existence ofhomoclinic orbits in Hamiltonian systems[J].Mathematische Annalen，1990，288（1）：483-503.

[11]SéRé E.Existence ofinfinitelymanyhomoclinic orbits in Hamiltonian systems[J].Mathematische Zeitschrift，1991，209（1）：27-42.

[12]SZULKIN A，ZOU W M.Homoclinic orbits for asymptotically linear Hamiltonian systems[J].Journal of Functional Analysis，2001，187（1）：25-41.

[13]GAINES R E，MAWHIN J L.Coincidence degree，and nonlinear differential equations[M].Springer Berlin Heidelberg，1977.

[14]GUO C J，O'REGAN D，AGARWAL R.Existence of subharmonic solutions and Homoclinic orbits for a class ofhigh-order differential equations[J].Applicable Analysis，2011，90（7）：1169-1183.

Existence of Homoclinic Solutions for a Class of Subquadrtic Second-order Differential Equations with Multiple Lags

TIAN Jiqing1,ZHANG Chaolong2,GUO Chengjun3
（1.Zhongshan Institute,Universityof Electronic Science and Technology,Zhongshan,528402,Guangdong,China 2.Zhongkai Universityof Agriculture and Engineering,Guangzhou,510225,Guangdong,China 3.School of Applied Mathematics,GuangdongUniversityof Technology,Guangzhou,510006,Guangdong,China）

The existence of homoclinic orbits is examined for a class of sub-quadrtic second order differential equations with multiple lags.By using Mawhin's continuation theorem,a nontrivial homoclinic orbit is obtained as a limit of a certain sequence of periodic solutions of the equation.

homoclinic orbit;multiple lags;Mawhin’s continuation theorem

O175

A

1001-4217（2017）01-0022-08

2016-03-03

郭承軍，副教授、博士，研究方向：主要從事泛函微分方程、Hamilton系統(tǒng)以及常微分方程理論及其應(yīng)用等課題的研究．E-mail：guochj817@163.com

廣東工業(yè)大學(xué)培英育才基金項(xiàng)目（112410004204）和國(guó)家留學(xué)基金委資助項(xiàng)目（201308440327）