李忠萍，陳彥

（1.汕頭大學(xué)數(shù)學(xué)系，汕頭，515063；2.汕頭職業(yè)技術(shù)學(xué)院自然科學(xué)部，汕頭，515078）

基于MTO邊際生產(chǎn)成本受需求波動影響的供應(yīng)鏈的協(xié)調(diào)模型

李忠萍1，陳彥2

（1.汕頭大學(xué)數(shù)學(xué)系，汕頭，515063；2.汕頭職業(yè)技術(shù)學(xué)院自然科學(xué)部，汕頭，515078）

在商品市場中，需求不僅敏感于價(jià)格，同時(shí)也會受一些偶然因素而發(fā)生波動.在面向訂單生產(chǎn)環(huán)境下，產(chǎn)品的邊際生產(chǎn)成本常常會受需求波動的干擾.本文以單制造商和單零售商組成的二級供應(yīng)鏈為研究對象，在面向訂單生產(chǎn)環(huán)境下，討論邊際生產(chǎn)成本受需求波動干擾的供應(yīng)鏈的協(xié)調(diào)問題.首先，在集中決策和分散決策的情況下，給出了產(chǎn)品的最優(yōu)零售價(jià)格.然后，在集中決策情況下，以供應(yīng)鏈的最大利潤為目標(biāo)，提出了合理有效的協(xié)調(diào)契約，既實(shí)現(xiàn)了供應(yīng)鏈的最大利潤為目標(biāo)，又確保供應(yīng)鏈的成員利潤都是Pareto最優(yōu).最后，通過數(shù)值算例刻畫了前文已經(jīng)取得解析結(jié)果.

供應(yīng)鏈協(xié)調(diào)；需求波動；邊際生產(chǎn)成本；收益共享契約

0 引言

隨著經(jīng)濟(jì)全球化和一體化的發(fā)展，市場競爭不再是單一企業(yè)之間的競爭，更多是供應(yīng)鏈之間的競爭[1].然而，由于供應(yīng)鏈的成員往往是分散的決策主體，他們以自身利潤最大為目標(biāo)，很容易造成“雙重邊際效應(yīng)”，導(dǎo)致供應(yīng)鏈績效水平比較低下.另外，當(dāng)今市場，需求波動又進(jìn)一步加劇了供應(yīng)鏈績效惡化的程度.如何有效地促使供應(yīng)鏈的成員合作，共同應(yīng)對需求波動帶來的干擾已成為供應(yīng)鏈管理研究的核心問題.國內(nèi)外眾多學(xué)者認(rèn)為供應(yīng)鏈的協(xié)調(diào)契約可以提升供應(yīng)鏈的績效水平，并達(dá)到完美協(xié)調(diào)供應(yīng)鏈的目的[2-3].因此，不少學(xué)者針對需求波動的市場環(huán)境，利用契約機(jī)制，研究供應(yīng)鏈的協(xié)調(diào)問題.

文獻(xiàn)[4]針對單供應(yīng)商和單零售商組成的兩級供應(yīng)鏈，考慮市場需求波動下，批發(fā)價(jià)契約導(dǎo)致“雙重邊際化效應(yīng)”，提出了兩個(gè)等價(jià)的契約來引起制造商有組織的制定生產(chǎn)數(shù)量實(shí)現(xiàn)了供應(yīng)鏈協(xié)調(diào)，有效地減小了需求波動造成的干擾.隨后，Zhang等人采用收益貢獻(xiàn)協(xié)調(diào)機(jī)制，針對需求受到干擾的情況，分析單制造商和兩個(gè)競爭零售商組成的兩級供應(yīng)鏈的協(xié)調(diào)問題[5].另外，收益共享契約一直以來都是供應(yīng)鏈的協(xié)調(diào)契約的重要形式，針對需求波動，利用收益共享契約協(xié)調(diào)供應(yīng)鏈也被很多學(xué)者所研究，且達(dá)到了完美的協(xié)調(diào)目的，文獻(xiàn)[7]針對需求受到干擾時(shí)，提出一體化雙渠道供應(yīng)鏈的最優(yōu)價(jià)格及數(shù)量決策，并分析了調(diào)整價(jià)格策略的價(jià)值；提出改進(jìn)的收益共享合約協(xié)調(diào)突發(fā)事件下的分散化雙渠道供應(yīng)鏈.Zhang等人將文獻(xiàn)[5]擴(kuò)展到兩條供應(yīng)鏈之間競爭的情況，其中每條供應(yīng)鏈由一個(gè)風(fēng)險(xiǎn)中性的供應(yīng)商和一個(gè)風(fēng)險(xiǎn)厭惡的零售商組成，研究供應(yīng)鏈的成員在面對隨機(jī)且競爭的需求市場時(shí)，采用的最優(yōu)商業(yè)行為（零售價(jià)格和批量價(jià)格）[8].最近還有一些學(xué)者利用其他協(xié)調(diào)方式來降低需求波動引起的干擾.例如，文獻(xiàn)[9]采用期權(quán)采購和預(yù)售方式降低市場需求的不確定性.

綜上所述，研究在需求波動環(huán)境下的供應(yīng)鏈的協(xié)調(diào)成果已經(jīng)非常豐碩.但是，這些研究成果基本上都是針對基于庫存生產(chǎn)模式（Make-to-stock，MTS）獲得的，而基于訂單生產(chǎn)模式（Make-to-order，MTO）下供應(yīng)鏈的協(xié)調(diào)模型文獻(xiàn)還是比較少.隨著消費(fèi)水平的提高和市場競爭的加劇，顧客不再滿足于接受標(biāo)準(zhǔn)化產(chǎn)品，而傾向于對產(chǎn)品提出自己的個(gè)性化要求，進(jìn)行定制生產(chǎn)，Xiao與Shi等人針對單供應(yīng)商和單零售商組成的兩級供應(yīng)鏈，考慮客戶關(guān)心零售價(jià)格與交貨時(shí)間下，建立了雙頭壟斷市場下的博弈模型來研究供應(yīng)鏈與制造商之間的價(jià)格與交貨時(shí)間競爭，發(fā)現(xiàn)分散決策下供應(yīng)鏈的交貨時(shí)間增加了，而競爭對方的卻減少了，并設(shè)計(jì)對應(yīng)的契約來協(xié)調(diào)MTO模式下供應(yīng)鏈[10]；Xu等人研究了基于MTO模式下的生產(chǎn)與定價(jià)問題[11]，但這些作者們并沒考慮需求隨機(jī)波動的影響.而當(dāng)一些破壞使價(jià)格敏感系數(shù)和生產(chǎn)成本同時(shí)發(fā)生變化時(shí)，XIE等人研究了怎樣協(xié)調(diào)供應(yīng)鏈，結(jié)果發(fā)現(xiàn)：當(dāng)破壞滿足某個(gè)給定的條件，原始的生產(chǎn)計(jì)劃不需要調(diào)整，僅僅需要調(diào)節(jié)零售價(jià)；當(dāng)破壞超過給定的標(biāo)準(zhǔn)點(diǎn)時(shí)，那么生產(chǎn)計(jì)劃需要調(diào)整[12].但XIE等人是基于彈性需求進(jìn)行研究的.而且，MTO生產(chǎn)模式高個(gè)性化需求更加大了市場需求波動性，加上需求市場的一些偶然因素或事件，導(dǎo)致企業(yè)的運(yùn)營管理變得更為艱巨.如何應(yīng)對MTO生產(chǎn)模式需求波動帶來的干擾也顯得尤為重要.假設(shè)所研究的供應(yīng)鏈由單制造商和單零售商組成，邊際生產(chǎn)成本也因市場需求波動而受到干擾.那么在這種情況下，供應(yīng)鏈作為一個(gè)整體應(yīng)該如何決策商業(yè)行為才能實(shí)現(xiàn)供應(yīng)鏈的利潤最大化目標(biāo)？而當(dāng)供應(yīng)鏈的成員作為獨(dú)立的決策主體時(shí)，作為供應(yīng)鏈的領(lǐng)導(dǎo)企業(yè)又該如何引導(dǎo)上下游跟隨企業(yè)做出有利于自身又利于其他成員的決策，同時(shí)還能保證供應(yīng)鏈的利潤最大化的目標(biāo)？這些都是時(shí)下眾多MTO生產(chǎn)模式企業(yè)面臨重大挑戰(zhàn)，鑒于此，本文討論MTO生產(chǎn)模式下需求波動的供應(yīng)鏈契約協(xié)調(diào)模型.

2 符號說明

下面給出本文所涉及的相關(guān)變量和參數(shù)的定義：

c：需求沒有波動情況下的邊際生產(chǎn)成本；

p：供應(yīng)鏈的零售價(jià)格，即零售商向客戶收取的產(chǎn)品價(jià)格；

ω：制造商向零售商交貨的批量價(jià)格；

D：單位時(shí)間的市場需求量；

a：市場的潛在需求；

b：客戶對價(jià)格的敏感強(qiáng)度；

ε：需求的隨機(jī)波動；

c－αε：需求波動ε∈［A，0］時(shí)，產(chǎn)品的邊際生產(chǎn)成本；

c＋βε：需求波動ε∈（0，B］時(shí)，產(chǎn)品的邊際生產(chǎn)成本；

φ：收益共享協(xié)調(diào)契約下，制造商分享零售商收益的比例；

Π：整個(gè)供應(yīng)鏈的單位時(shí)間利潤；

Πr：零售商的單位時(shí)間利潤；

Πm：分散決策情況下，制造商單位時(shí)間利潤.

在后文中，變量下腳標(biāo)“c”表示集中決策情況，“d”表示分散決策情況，“w”表示批量價(jià)格協(xié)調(diào)契約決策情況，“r”表示收益共享協(xié)調(diào)契約決策情況，上角標(biāo)“*”表示最優(yōu)值或者極大值.

3 主要結(jié)論

如圖1所示，本文研究單制造商和單零售商組成的二級供應(yīng)鏈，信息完全共享，成員完全理性，以MTO模式進(jìn)行生產(chǎn).首先，零售商作為供應(yīng)鏈與外部需求的接口，以零售價(jià)格p接收客戶訂單，并將客戶訂單上傳給上游的制造商.然后，制造商按照客戶要求定制產(chǎn)品，以批量價(jià)格ω向零售商交貨.本文采用文獻(xiàn)[13]的加法需求模型，假設(shè)單位時(shí)間市場需求率關(guān)于價(jià)格是單調(diào)遞減，且受到一定波動的干擾，即

圖1 供應(yīng)鏈結(jié)構(gòu)

其中ε是[A，B]上的隨機(jī)變量，其均值為0，方差為δ2，A＜0，B＞0，其概率密度函數(shù)和分布函數(shù)分別為f（x）和F（x）.

另外，在現(xiàn)實(shí)生產(chǎn)中往往會出現(xiàn)這種情況，當(dāng)需求下降時(shí)，由于制造商配置的物力、財(cái)力和人力等資源閑置的原因，造成制造商單位產(chǎn)品的生產(chǎn)成本上升.而當(dāng)需求突然增加時(shí)，產(chǎn)品的邊際生產(chǎn)成本會變得相對復(fù)雜.若制造商的生產(chǎn)能力有限，需求增加只能通過加班趕工，停止本應(yīng)該進(jìn)行的機(jī)器保養(yǎng)或者員工培訓(xùn)，或者采用外包處理等方式完成，那么需求增加會導(dǎo)致產(chǎn)品的邊際生產(chǎn)成本上升.若制造商生產(chǎn)能力柔性比較強(qiáng)，需求增加不僅不會導(dǎo)致邊際生產(chǎn)成本上升，還會由于規(guī)模經(jīng)濟(jì)的原因降低邊際生產(chǎn)成本.所以，綜上所述，假設(shè)如下，當(dāng)需求波動ε∈［A，0］，邊際生產(chǎn)成本為c－αε，若α＞0故有c－αε＞c成立；而當(dāng)需求波動ε∈（0，B］時(shí)，邊際生產(chǎn)成本為c＋βε，若β＞0，則有c＋βε＞c，說明需求增加會導(dǎo)致邊際生產(chǎn)增加，若β＜0，則有c＋βε＜c，說明需求增加會降低邊際生產(chǎn)成本.為了方便起見，稱β為制造商生產(chǎn)力柔性系數(shù).

3.1 集中決策

首先討論集中決策的情況，假設(shè)供應(yīng)鏈中存在一個(gè)決策者，掌握了整個(gè)制造商和零售商的所有信息，該決策者不以單個(gè)企業(yè)的利潤為目標(biāo)，而是從全局考慮，以整個(gè)供應(yīng)鏈的利潤最大為目標(biāo)，做出最優(yōu)的產(chǎn)品定價(jià)，從而實(shí)現(xiàn)整個(gè)供應(yīng)鏈的利潤最大化.供應(yīng)鏈的單位時(shí)間利潤為

從而，供應(yīng)鏈的決策模型為

定理3.1在生產(chǎn)成本受需求波動影響的情況下，集中決策模型供應(yīng)鏈的單位時(shí)間利潤是關(guān)于零售價(jià)格的凹函數(shù)，其中最優(yōu)零售價(jià)格為

證明對決策模型（1）的目標(biāo)函數(shù)關(guān)于零售價(jià)格p求一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù)，得到

由于b＞0，則（4）式小于零，從而推出E[Πc（p）]是關(guān)于零售價(jià)格p的凹函數(shù)，因此存在最優(yōu)的零售價(jià)格使E[Πc（p）]取得最大值.令（3）式等于零，得到最優(yōu)零售價(jià)格

從而定理3.1得證.

定理3.2在生產(chǎn)成本受需求波動影響和集中決策情況下，最優(yōu)零售價(jià)格分別關(guān)于參數(shù)a、c、α和β單調(diào)遞增，而關(guān)于參數(shù)b單調(diào)遞減；而且，調(diào)價(jià)的幅度與客戶對價(jià)格敏感強(qiáng)度密切相關(guān)，客戶對價(jià)格越敏感，調(diào)價(jià)幅度越小，反之，調(diào)價(jià)幅度越大.

證明對最優(yōu)零售價(jià)格（5）分別求參數(shù)a，b，c，α和β的一階偏導(dǎo)，得到

從上面的一階偏導(dǎo)的正負(fù)很容易得到定理3.2的前半部分結(jié)論，而，因此，定理3.2得證.

從最優(yōu)零售價(jià)格關(guān)于參數(shù)a的偏導(dǎo)函數(shù)可以發(fā)現(xiàn)：當(dāng)市場潛在需求a增加時(shí)，企業(yè)會提價(jià)來增加企業(yè)單位時(shí)間利潤，相反，當(dāng)市場潛在需求a減小時(shí)，企業(yè)會降價(jià)來刺激需求，減少企業(yè)單位時(shí)間利潤下降量.最優(yōu)零售價(jià)格關(guān)于參數(shù)b的偏導(dǎo)函數(shù)說明零售價(jià)格與客戶對價(jià)格的敏感強(qiáng)度是方向相反的，當(dāng)客戶對價(jià)格越來越敏感時(shí)，零售價(jià)格應(yīng)該適當(dāng)下降，相反，企業(yè)可以適當(dāng)提高零售價(jià)格.最優(yōu)零售價(jià)格關(guān)于穩(wěn)定情況下的邊際生產(chǎn)成本c的變化情況比較簡單，兩者的變化方向一致，而且，當(dāng)c發(fā)生變化時(shí)，零售價(jià)格只需向同方向調(diào)動c的變化量的一半即可.從最優(yōu)零售價(jià)格關(guān)于α和β的一階偏導(dǎo)表明零售價(jià)格對二者的敏感強(qiáng)度相同，而且與需求波動的分布規(guī)律有關(guān).

3.2 分散決策

在分散決策情況下，供應(yīng)鏈上兩個(gè)企業(yè)都是理性而自私的，不考慮同一供應(yīng)鏈上下游企業(yè)的利潤情況，都是以各自的利潤最大化為目標(biāo).接下來采用Stackelberg博弈來分析分散情況下供應(yīng)鏈上下游兩個(gè)企業(yè)之間博弈問題.假設(shè)制造商是領(lǐng)導(dǎo)者，零售商是跟隨者，制造商以批量價(jià)格ω向零售商交貨，零售商再根據(jù)制造商提供批量價(jià)格確定最優(yōu)的零售價(jià)格使自身單位時(shí)間利潤最大化.采用逆序歸納法分析，首先考慮零售商在批量價(jià)格ω給定的情況下選擇最優(yōu)的零售價(jià)格使其單位時(shí)間利潤最大化.

3.2.1 零售商的決策模型

零售商單位時(shí)間銷售利潤為

其決策模型為

定理3.3在生產(chǎn)成本受需求波動影響和分散決策情況下，制造商作為領(lǐng)導(dǎo)者，零售商作為跟隨者，當(dāng)制造商以批量價(jià)格ω向零售商交貨時(shí)，零售商最優(yōu)零售價(jià)格為

證明對決策模型（7）中的目標(biāo)函數(shù)關(guān)于零售價(jià)格p求一階導(dǎo)和二階導(dǎo)，得到

由于目標(biāo)函數(shù)關(guān)于零售價(jià)格的二階導(dǎo)函數(shù)小于零，所以零售商單位時(shí)間利潤是關(guān)于零售價(jià)格的凹函數(shù).令（9）式等于零，得到在分散決策情況下零售商的最優(yōu)零售價(jià)格為

從而證明了定理3.3.

3.2.2 制造商的決策模型

制造商單位時(shí)間的利潤為

將零售價(jià)格表達(dá)式（8）代入上述表達(dá)式，再對其取期望得到，從而，制造商的決策模型為

下面以定理的形式給出分散決策情況下制造商最優(yōu)批量價(jià)格的表達(dá)式.

定理3.4在生產(chǎn)成本受需求波動影響和分散決策情況下，制造商作為領(lǐng)導(dǎo)者，零售商作為跟隨者時(shí)，制造商的最優(yōu)批量價(jià)格為

證明對制造商單位時(shí)間平均利潤表達(dá)式（12）關(guān)于批發(fā)價(jià)格w求一階導(dǎo)和二階導(dǎo)，得到

由于d2E[Πdm（ω）]/dω2＜0，所以E[Πdm（ω）]是關(guān)于批量價(jià)格ω的凹函數(shù)，故存在最優(yōu)的ω'使E[Πdm（ω）]最大化，令（13）式等于零，從而得到

定理得證.

將（12）式代入（8）式得零售商的零售價(jià)格為

比較（2）式與（15）式，可以發(fā)現(xiàn)：當(dāng)且僅當(dāng)a－bc＋2bΘ=0時(shí)，有成立，然而此時(shí)有成立，即零售商以批量價(jià)格銷售產(chǎn)品能使供應(yīng)鏈的單位時(shí)間利潤達(dá)到最大值，但是此時(shí)零售單位時(shí)間利潤為零，顯然零售商不會以批量價(jià)格銷售產(chǎn)品.零售商選擇的零售價(jià)格必然大于批量價(jià)格，從而得到

由于整個(gè)供應(yīng)鏈的單位時(shí)間利潤是關(guān)于零售價(jià)格的凹函數(shù)，其中是其最大值點(diǎn)，所以當(dāng)零售價(jià)格為時(shí)，供應(yīng)鏈的利潤必然小于零售價(jià)格為時(shí)，造成這種現(xiàn)象的原因便是供應(yīng)鏈中通常說的“雙重邊際效應(yīng)”.

定理3.5與集中決策情況相比，分散決策情況下最優(yōu)零售價(jià)格關(guān)于a和b的靈敏性強(qiáng)度比大，而關(guān)于c、α和β的靈敏性強(qiáng)度卻減弱了.

從定理3.5的結(jié)論可以看到，分散決策情況下，外部參數(shù)——市場潛在需求a和客戶對零售價(jià)格的敏感系數(shù)b對零售價(jià)格的影響比集中決策情況下的影響更大，相反，系統(tǒng)參數(shù)——產(chǎn)品的平穩(wěn)邊際生產(chǎn)成本c、α和β對零售價(jià)格的影響則減弱了.造成這種結(jié)果的原因是在分散決策情況下供應(yīng)鏈的“雙重邊際效應(yīng)”引起的.在分散決策情況下，供應(yīng)鏈的成員更多的是關(guān)注于自己利潤的變化，零售商最關(guān)心的是市場需求的變化，因?yàn)槭袌鲂枨笞兓菍?dǎo)致零售商利潤變化最直接的原因，而對制造商生產(chǎn)成本的關(guān)注相對較弱.

將（12）式和（15）式代入（7）式和（11）式得分散決策情況下零售商和制造商單位時(shí)間最大利潤分別為

定理3.6生產(chǎn)力柔性系數(shù)β，集中決策情況下的供應(yīng)鏈整個(gè)單位時(shí)間最大利潤，分散決策情況下零售商單位時(shí)間最大利潤與分散決策情況下制造商單位時(shí)間最大利潤

滿足以下結(jié)論：

Compound 2 amorphous powder; [α]D25 +9.6 (c 0.10, CHCl3); IR (KBr) νmax = 2924, 1719, 1459, 1254, 1055 cm–1; 1H- and 13C NMR (CDCl3), see Table 1; HRESIMS m/z 635.3187 [M + Na]+ (Calcd for C35H48O9Na, 635.3184).

對分散決策情況下，零售商和制造商單位時(shí)間最大利潤分別關(guān)于β求偏導(dǎo)，即

將以上4種情況代入，可發(fā)現(xiàn)定理3.6得證.

從定理3.6的結(jié)論可以看到，無論是集中決策還是分散決策情況下，生產(chǎn)力柔性系數(shù)β越大，供應(yīng)鏈成員單位時(shí)間最大利潤越大，對供應(yīng)鏈的效益越有利；同時(shí)，分散決策情況下，零售商對生產(chǎn)力柔性系數(shù)的反應(yīng)較制造商敏感，這與實(shí)際情況是符合的.

3.3 契約協(xié)調(diào)

在沒有協(xié)調(diào)機(jī)制的情況下，需求波動造成的風(fēng)險(xiǎn)都是由制造商一方承擔(dān)，所以制造商會盡量抬高產(chǎn)品的批量價(jià)格來提高單位產(chǎn)品的剩余利潤，從而減小波動風(fēng)險(xiǎn)對自身利潤的影響.由于供應(yīng)鏈的成員都是理性的，所以成員之間進(jìn)行合作的前提是彼此獲得的利潤至少比分散決策情況下大，這是確保供應(yīng)鏈的成員單位時(shí)間利潤在契約協(xié)調(diào)下都是Pareto改進(jìn).在這里主要討論批量價(jià)格協(xié)調(diào)契約和收益共享協(xié)調(diào)契約.

首先，看看最簡單的協(xié)調(diào)契約——批量價(jià)格協(xié)調(diào)契約.能否使供應(yīng)鏈的單位時(shí)間利潤最大化，關(guān)鍵就是看契約能否協(xié)調(diào)零售商以最優(yōu)零售價(jià)格銷售產(chǎn)品.所以，根據(jù)上文式子（2）和（8），令，從而得到

即批量價(jià)格契約無法保證制造商的Pareto改進(jìn)，從而批量價(jià)格契約不會被制造商接受.造成這種結(jié)果的原因是需求波動造成的風(fēng)險(xiǎn)都是由制造商一方承擔(dān)，零售商銷售單位產(chǎn)品的利潤始終都是接下來，采用收益共享契約的形式來協(xié)調(diào)供應(yīng)鏈的成員之間合作，讓供應(yīng)鏈的成員共同承擔(dān)需求波動造成的風(fēng)險(xiǎn).

對其取期望，得到

定理3.7在生產(chǎn)成本受需求波動影響的情況下，收益共享協(xié)調(diào)契約決策模型中，當(dāng)制造商以批量價(jià)格

向零售商交貨時(shí)，供應(yīng)鏈的單位時(shí)間利潤最大，其中φ是制造商和零售共同協(xié)調(diào)決定的收益分批比例.

證明：分別對（20）求一階導(dǎo)和二階導(dǎo)，得到

由式（23）可知，E[Πr（p）]是關(guān)于零售價(jià)格p的凹函數(shù)，故存在最優(yōu)零售價(jià)格使E[Πr（p）]取得最大值.令（22）式等于零，可得到最優(yōu)零售價(jià)格為

為了確保供應(yīng)鏈的成員單位時(shí)間利潤在收益共享契約協(xié)調(diào)下都是Pareto改進(jìn)，下面討論收益共享契約參數(shù)φ的取值范圍.首先，在收益共享契約協(xié)調(diào)下，制造商和零售商單位時(shí)間的平均利潤至少比分散決策情況下大，即

聯(lián)合兩個(gè)不等式，得到

將（21）式和（24）式代入（20）式，得到

根據(jù)上面求得的結(jié)果，下面以定理的形式歸結(jié)供應(yīng)鏈的收益共享分配比例.

定理3.8在生產(chǎn)成本受需求波動影響的情況下，收益共享協(xié)調(diào)契約決策模型中，當(dāng)批量價(jià)格，收益比例φ∈[1/2，3/4]時(shí)，供應(yīng)鏈的單位時(shí)間利潤最大，同時(shí)也能保證制造商和零售商單位時(shí)間利潤不小于分散決策情況下的利潤.

證明將（6）式和（17）式代入（25）式，得到

再將（2）式代入上式，從而得到φmin=1/2.同理，將（17）式和代入（26）式，得到φmax=3/4，定理證畢.

收益共享契約最終實(shí)施分配比例φ是由制造商和零售商談判決定的，具體取值看制造商和零售商在供應(yīng)鏈中的影響力大小.制造商的影響力越大，最終實(shí)施分配比例φ也越大，反之，φ越小.本文考慮的情況是制造商作為領(lǐng)導(dǎo)者，在供應(yīng)鏈中占有主導(dǎo)地位，從而制造商占有供應(yīng)鏈的利潤也偏大.對于零售商作為供應(yīng)鏈的領(lǐng)導(dǎo)者的情況可做相似討論.在收益共享契約協(xié)調(diào)下，供應(yīng)鏈的單位時(shí)間利潤能達(dá)到最大值，同時(shí)制造商和零售單位時(shí)間利潤都滿足Pareto改進(jìn)，說明該契約能夠使供應(yīng)鏈實(shí)現(xiàn)了完美協(xié)調(diào).

4 數(shù)值分析

接下來，采用數(shù)值算例的方式對前文已經(jīng)取得解析結(jié)果做進(jìn)一步分析，更為直觀地描述收益共享契約的協(xié)調(diào)作用，以及生產(chǎn)成本和需求波動強(qiáng)弱對零售價(jià)格和單位時(shí)間利潤的影響.

假設(shè)A公司是一家汽車制造商，和下游的零售商B公司組成一個(gè)供應(yīng)鏈，以面向訂單生產(chǎn)方式按照客戶要求進(jìn)行生產(chǎn).假設(shè)市場日需求量D（p，ε）=10000－0.05p＋ε輛/天，其中ε服從正態(tài)分布，均值為0，方差為δ2，平穩(wěn)狀態(tài)下單位產(chǎn)品生產(chǎn)成本為c=50 000元/輛，α=100元/輛.

首先考慮生產(chǎn)成本對零售價(jià)格和單位時(shí)間利潤的影響，假設(shè)需求干擾ε的方差δ2=100，生產(chǎn)力柔性系數(shù)β=100（單位：元/輛），生產(chǎn)成本c從50 000變化到100 000（單位：元/輛），制造商和零售商達(dá)成的收益分配比例是φ=5/8.

圖2 零售價(jià)格關(guān)于平穩(wěn)生存成本的變化規(guī)律

圖3 單位時(shí)間利潤關(guān)于平穩(wěn)生存成本的變化規(guī)律

從圖2可以看到，隨著c的增大，無論是集中決策還是分散決策，零售價(jià)格都隨之增大.而且，在集中決策環(huán)境下，零售價(jià)格對c的增加更敏感，隨著c的增加增加得更快.這從二者關(guān)于c的偏導(dǎo)數(shù)可以解釋，由于，所以比對c的變化更敏感.造成這種現(xiàn)象的原因是，在集中決策情況下，決策者從全局考慮，當(dāng)生產(chǎn)成本增加時(shí)，為了維持供應(yīng)鏈的利潤，決策者必然會適當(dāng)提高產(chǎn)品價(jià)格.然而在分散決策情況下，由于產(chǎn)品價(jià)格是由零售商決定的，而生產(chǎn)成本卻是由制造商承擔(dān)的，所以當(dāng)生產(chǎn)成本增加時(shí)，首先導(dǎo)致是制造商提高批量價(jià)格，然后才是零售商根據(jù)提高的批量價(jià)格再提高零售價(jià)格，而批量價(jià)格對生產(chǎn)成本的敏感強(qiáng)度為，零售價(jià)格對批量價(jià)格敏感強(qiáng)度為，所以在分散決策情況下生產(chǎn)成本的影響是經(jīng)過制造商才過渡到零售商，零售商對生產(chǎn)成本的增加比集中決策情況下弱，而且相對滯后.

圖3刻畫了當(dāng)收益分配比例φ=5/8時(shí)，分散情況下和契約協(xié)調(diào)情況下制造商和零售單位時(shí)間利潤關(guān)于生產(chǎn)成本c的一個(gè)趨勢，從圖像中可見，，說明該契約很好地協(xié)調(diào)了供應(yīng)鏈的成員之間的合作.同時(shí)也發(fā)現(xiàn)，在該契約的協(xié)調(diào)下，同時(shí)滿足，從而保證了制造商和零售單位時(shí)間利潤都滿足Pareto改進(jìn)的.

接下來討論生產(chǎn)力柔性系數(shù)對集中決策情況下零售價(jià)格和供應(yīng)鏈的單位時(shí)間利潤的影響.假設(shè)平穩(wěn)生存成本c=80 000元/輛，生產(chǎn)力柔性系數(shù)β從－200變化到100，其他參數(shù)與上面的假設(shè)相同.

β反應(yīng)了制造商的柔性強(qiáng)弱，當(dāng)β＜0時(shí)表示制造商生產(chǎn)能力具有柔性，β越小，柔性越強(qiáng).當(dāng)制造商具有柔性時(shí)，需求增加非但不會增加邊際生產(chǎn)成本，相反，由于規(guī)模經(jīng)濟(jì)原因，制造商邊際生產(chǎn)成本隨著需求的增加而下降.而當(dāng)β＞0時(shí)表示制造商制造能力比較剛性，β越大，剛性越強(qiáng).在這種情況下，需求增加時(shí)，只能通過加班趕工，停止本應(yīng)該進(jìn)行的機(jī)器保養(yǎng)或者員工培訓(xùn)，或者采用外包等方式才能滿足客戶需求.表1反應(yīng)了制造商生產(chǎn)能力柔性越來越弱，剛性越來越強(qiáng)時(shí)，集中決策情況下，產(chǎn)品價(jià)格也是慢慢升高的.相反，由于制造商的柔性越來越差，導(dǎo)致邊際生產(chǎn)增加，所以供應(yīng)鏈的單位時(shí)間利潤也隨之慢慢下降.說明，柔性制造系統(tǒng)/柔性供應(yīng)鏈有利于抵抗需求波動造成的干擾.

表1 生產(chǎn)力柔性系數(shù)對集中決策決策情況下零售價(jià)格和供應(yīng)鏈的單位時(shí)間利潤的影響

最后分析需求波動強(qiáng)弱對集中決策情況下零售價(jià)格和供應(yīng)鏈的單位時(shí)間利潤的影響.假設(shè)平穩(wěn)邊際生產(chǎn)成本c=80 000元/輛，生產(chǎn)力柔性系β=100數(shù)元/輛，需求波動方差δ2從100變化1 000，其他參數(shù)與上面的假設(shè)相同.

表2給出的需求波動方差δ2從左到右是越來越大，說明需求波動越來越強(qiáng).從表2的數(shù)據(jù)可以看到，集中決策下，產(chǎn)品價(jià)格是隨波動強(qiáng)度增加而增加的，單位時(shí)間利潤卻是隨需求的波動而下降.當(dāng)需求波動增大時(shí)，邊際生產(chǎn)成本也隨之增大，單位產(chǎn)品剩余利潤下降，企業(yè)為了維持自身利益，必然會相應(yīng)的提高零售價(jià)格，盡可能地減小利潤下降趨勢.

表2 需求波動強(qiáng)弱對集中決策決策情況下零售價(jià)格和供應(yīng)鏈的單位時(shí)間利潤的影響

5 結(jié)論

需求波動是不可避免的，MTO高個(gè)性化需求更加大了市場需求波動.如何合理有效協(xié)調(diào)供應(yīng)鏈的成員共同分擔(dān)需求波動帶來的風(fēng)險(xiǎn)，實(shí)現(xiàn)供應(yīng)鏈的利潤最大化已成為當(dāng)下研究的熱點(diǎn)問題.本文以單制造商和單零售商組成的二級供應(yīng)鏈為研究對象，討論MTO邊際生產(chǎn)成本受需求波動干擾的供應(yīng)鏈的協(xié)調(diào)問題.

首先，討論了集中決策和分散決策情況下的最優(yōu)零售價(jià)格.研究發(fā)現(xiàn)，在分散決策情況下，由于“雙重邊際效應(yīng)”的原因，零售商過分關(guān)注市場參數(shù)變化，而輕視了系統(tǒng)參數(shù)的變化，導(dǎo)致供應(yīng)鏈營銷策略達(dá)不到最優(yōu)，供應(yīng)鏈的利潤也沒法實(shí)現(xiàn)最大化.然后，討論了批量價(jià)格協(xié)調(diào)機(jī)制，發(fā)現(xiàn)此機(jī)制下制造商利潤嚴(yán)重受損，無法實(shí)現(xiàn)協(xié)調(diào)的目的.最后，發(fā)現(xiàn)收益共享機(jī)制能夠很好地協(xié)調(diào)供應(yīng)鏈的成員合作，既實(shí)現(xiàn)了供應(yīng)鏈的最大利潤為目標(biāo)，又確保供應(yīng)鏈的成員利潤都是Pareto最優(yōu).

另外，本文也給出了諸多可操控的管理啟示.最優(yōu)零售價(jià)格關(guān)于潛在需求的靈敏強(qiáng)度與自身無關(guān)，而與客戶對價(jià)格的敏感系數(shù)呈負(fù)相關(guān).當(dāng)潛在需求發(fā)生單位變化時(shí)，可沿相同方向調(diào)整客戶對價(jià)格的敏感系數(shù)的0.5倍.最優(yōu)零售價(jià)格關(guān)于客戶對價(jià)格的敏感系數(shù)的敏感強(qiáng)度即與自身相關(guān)，又與潛在需求相關(guān).當(dāng)邊際生產(chǎn)成本發(fā)生變化時(shí)，只需沿相同方向?qū)α闶蹆r(jià)格調(diào)整生產(chǎn)成本的一半即可.在收益共享協(xié)調(diào)機(jī)制下，制造商作為領(lǐng)導(dǎo)企業(yè)時(shí)，制造商分享零售的收益比例必須在區(qū)間[0.5，0.75]時(shí)，供應(yīng)鏈才能得到協(xié)調(diào)，供應(yīng)鏈的成員利潤也能保證Pareto最優(yōu).而且，當(dāng)制造商分享零售的收益比例越高時(shí)，制造商提供給零售商的批量價(jià)格也越低，并且兩者的變化比例相同.

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Coordination of a MTO Supply Chain with Marginal Production Costs Influenced by Demand Disruption

LI Zhongping1,CHEN Yan2
（1.Department of Mathematics,Shantou University,Shantou 515063,Guangdong,China; 2.Department of Natural Sciences,Shantou Polytechnic,Shantou 515078,Guangdong,China）

In the commodity market,demands not only are sensitive to price,but also are disrupted by some haphazard factors,such as the financial crisis,the new tax policy,the promotion of substitutable products,and so on.In the make-to-order setting,marginal production costs usually are imposed considerable deviation due to demand disruption.In this paper,the coordination of a make-to-order supply chain is discussed where marginal production costs are imposed deviation due to demand disruption.At first,the optimal retail prices for the centralized supply chain and the decentralized one,respectively.Then,setting the maximum profit of centralized supply chain as the target,a reasonable and effective coordination contract is proposed which can achieve the target and realize Pareto optimization for the profits of the supply chain members,simultaneously.At last,the analytic results which have been obtained above are described by a numerical study.

supply chain coordination;demand disruption;marginal production costs;revenue sharing contract

C934

A

1001-4217（2017）01-0063-13

2015-12-02

李忠萍（1989—），女，安徽人，研究生，研究方向：最優(yōu)化理論與方法.E-mail：amandalizp@outlook.com

陳彥（1962—），男，廣東人，副教授，研究方向：隨機(jī)模型理論與方法.E-mail：13643031811@126.com.