厚度 寬度 深度：數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)需要審視的三重維度

呂程+++李洵

【摘 要】當(dāng)下對數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗(yàn)的研究，陷入了教育理論和實(shí)踐探索的兩難。要破解這一難題，首先應(yīng)該正確把握數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)的內(nèi)在本質(zhì)。在此基礎(chǔ)上，從以下三個方面在教學(xué)中加以落實(shí)：1.在反復(fù)經(jīng)歷的過程中，增加學(xué)生數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)的厚度；2.關(guān)注不同能力的學(xué)習(xí)者的活動體驗(yàn)，拓展數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)的寬度；3.充分經(jīng)歷推理的過程，加深數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)的深度。

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn) 三重維度 厚度 寬度 深度

在數(shù)學(xué)教育史上，傳統(tǒng)的“雙基”教學(xué)影響了我國幾代人的成長，然而《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》（以下簡稱《課標(biāo)》）中在原有“雙基”的基礎(chǔ)上，拓展為了“四基”，即“基礎(chǔ)知識、基本技能、基本思想、基本活動經(jīng)驗(yàn)”。其中《課標(biāo)》中，明確提出了相應(yīng)的課程理念，即“教師教學(xué)應(yīng)該以學(xué)生認(rèn)知發(fā)展水平和已有的經(jīng)驗(yàn)為基礎(chǔ)，面向全體學(xué)生，注重啟發(fā)式和因材施教……使學(xué)生理解和掌握基本的數(shù)學(xué)知識與技能，體會和運(yùn)用數(shù)學(xué)思想與方法，獲得基本的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)”。[1]可見，基本活動經(jīng)驗(yàn)的提出，是新課標(biāo)中重要的變化之一，同時學(xué)生活動經(jīng)驗(yàn)的積累也是當(dāng)前一線教學(xué)中重要的教學(xué)目標(biāo)之一，正因?yàn)榇?，關(guān)于數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)的研究至今仍是熱點(diǎn)問題。

“數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)”在《課標(biāo)》中提出，已有四年，那么一線的數(shù)學(xué)教師是不是真正提升了有關(guān)數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)的認(rèn)識，從而更好地指導(dǎo)教學(xué)實(shí)踐了呢？基于一線教師的問題，數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)又該如何去真正認(rèn)識，從而更有利于學(xué)生能夠更好地獲得數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)?zāi)?？筆者將在教育理論和實(shí)踐的層面，試圖從數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)的三重維度，來進(jìn)一步探討教師如何正確認(rèn)識數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)，以及如何促進(jìn)學(xué)習(xí)者獲得數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)的有效策略。

一、困惑：數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)的理論與實(shí)踐探索的兩難

（一）教師有數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)的培養(yǎng)意識，但實(shí)踐困難

從當(dāng)前一線教學(xué)的層面來看，有研究者對當(dāng)前小學(xué)數(shù)學(xué)教師數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)的教學(xué)情況做過調(diào)查研究。[2]從收集的數(shù)據(jù)來看，有97.9%的教師認(rèn)為教學(xué)中需要重視數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)的發(fā)展程度，有79.5%的教師了解數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)的作用?？梢姅?shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)對于學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要程度，已被一線教師認(rèn)可，并且對數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)有所認(rèn)知?？闪硗庖唤M數(shù)據(jù)就不那么樂觀了，有62.7%的數(shù)學(xué)教師認(rèn)為在實(shí)際的日常教學(xué)中去培養(yǎng)小學(xué)生的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)比較困難，甚至無從下手。從以上一組數(shù)據(jù)來看，在實(shí)踐層面，數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)的相關(guān)研究成果并未轉(zhuǎn)化為教師指導(dǎo)實(shí)踐的有利手段。

（二）數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)的研究成果眾多，但未及本質(zhì)

從中國知網(wǎng)的文獻(xiàn)搜索結(jié)果來看，有關(guān)數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)的研究多達(dá)443篇。從文獻(xiàn)的數(shù)量角度，也反映了數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)受到了眾多教學(xué)研究人員、一線教師的廣泛關(guān)注。對于數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)的相關(guān)教學(xué)，涌現(xiàn)了不少頗有價值的想法。如：吳正憲認(rèn)為教師需要幫助學(xué)生在數(shù)學(xué)活動探索、解決問題的過程中不斷積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)；[3]賁友林認(rèn)為數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)不僅可以在學(xué)生的親自體驗(yàn)中獲得，同時可以在替代性經(jīng)驗(yàn)中獲得；[4]郭青松以“圖形與幾何”領(lǐng)域?yàn)槔?，讓學(xué)生在“經(jīng)歷”到“經(jīng)驗(yàn)”的過程中獲得數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)；[5]宋煜陽以等積變形問題為例，談到過程性則是數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)積累的根本原則。[6]類似的研究，或結(jié)合課例，或以某個數(shù)學(xué)領(lǐng)域?yàn)槔?，或以某個數(shù)學(xué)問題，給一線教師提供了一些操作性的建議。但從這些文獻(xiàn)來看，都出現(xiàn)了一個值得商榷的問題，即都避談了什么是數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)而去研究怎樣積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)。簡言之，拋開了數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)的本質(zhì)，去思考教學(xué)實(shí)踐問題，從一定層面上來說，讓數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)的研究走向了一個誤區(qū)。

二、思源：數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)本質(zhì)的再認(rèn)

筆者的研究團(tuán)隊(duì)在對多地教研人員和一線教師的訪談中發(fā)現(xiàn)，當(dāng)前數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)研究的兩難問題，究其原因在于數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)的本質(zhì)未被一線教育者所明確。又因?yàn)閷τ跀?shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)的不同理解，從而衍生出了不同的對數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)積累的操作性建議，以至于出現(xiàn)了對數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)教學(xué)盲從的當(dāng)下局面。

回歸《課標(biāo)》，筆者發(fā)現(xiàn)第四部分實(shí)施建議中，提及了“數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)的積累是提高學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的重要標(biāo)志”“幫助學(xué)生積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要目標(biāo)，是不斷經(jīng)歷、體驗(yàn)各種數(shù)學(xué)活動過程的結(jié)果”?？磥怼墩n標(biāo)》未明確涉及數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)的本質(zhì)。再通過對《課標(biāo)》解讀來看，提到了對數(shù)學(xué)活動形式的闡述，如觀察、試驗(yàn)、猜測、驗(yàn)證、推理與交流等，要求學(xué)生能將相關(guān)的經(jīng)驗(yàn)遷移運(yùn)用到后續(xù)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中去[7]。由此可見對《課標(biāo)》的解讀也未進(jìn)一步明確數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)本質(zhì)是什么，如何去正確認(rèn)識。但是筆者在《課標(biāo)》（實(shí)驗(yàn)稿）中找到了有關(guān)數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)本質(zhì)的線索。在《課標(biāo)》（實(shí)驗(yàn)稿）中提到數(shù)學(xué)知識包括數(shù)學(xué)事實(shí)和數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)?？梢?，數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)是一類知識。筆者的研究團(tuán)隊(duì)，經(jīng)過多年來的教學(xué)實(shí)踐和與多位資深數(shù)學(xué)教育專家的交流，得出結(jié)論：數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)的本質(zhì)是一種具有過程性、個體性、實(shí)踐性的隱性知識。同時根據(jù)數(shù)學(xué)活動的存在形式的劃分，數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)可以分為數(shù)學(xué)操作活動經(jīng)驗(yàn)（以下簡稱操作經(jīng)驗(yàn)）和數(shù)學(xué)思維活動經(jīng)驗(yàn)（以下簡稱思維經(jīng)驗(yàn)）。在之前的研究中，筆者提出了思維經(jīng)驗(yàn)應(yīng)當(dāng)在教學(xué)實(shí)踐中被作為數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)的內(nèi)在精髓，[8]隨后史寧中先生也以思維經(jīng)驗(yàn)為研究對象，對初中學(xué)生數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行了進(jìn)一步的量化研究。[9]至今有關(guān)思維經(jīng)驗(yàn)的研究仍被作為研究數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)的熱點(diǎn)問題。

三、突圍：基于數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)本質(zhì)的教學(xué)建議

通過上述的研究，筆者將在數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)的本質(zhì)特征的前提下，從理論和實(shí)踐的角度，去進(jìn)一步探討如何幫助學(xué)生積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)。

（一）在反復(fù)經(jīng)歷的過程中，增加學(xué)生數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)的厚度

[案例一]三年級數(shù)學(xué)活動課“對折問題”

師：老師這里有一張和黑板上一樣的紙條，你會對折嗎？誰來幫老師對折一下？咱們先想象一下，對折打開，會把這張長方形紙條怎么樣呢？

生（小結(jié)）：對折就是把長方形紙條平均分成了2份。

師：那同樣的紙條，我們把剛才對折后的紙條，再對折，也就是對折了幾次？（兩次），長方形紙條平均分成了幾份呢？估一估。到底是不是這樣，看來還得動手折，驗(yàn)證一下。

生（小結(jié)）：對折再對折，就是把紙條平均分成了4份。

師：那么接下去，你們知道老師會提什么問題嗎？

生：對折3次，平均分成了幾份。（師折，學(xué)生先不折）

師（追問）：先想一想，對折3次平均分成了幾份呢？誰來猜一猜？

師：看來意見不統(tǒng)一，怎么辦？

生自己折一折，驗(yàn)證。

生猜后，匯報(bào)交流。

小結(jié)：對折3次其實(shí)就是把長方形平均分成8份。

師：回過頭來看，把紙條平均分成2份，我們是怎么折的？平均分成4份，怎么折的呢？8份又是怎么折的？（隨機(jī)板書）

師小結(jié)：看來對折和我們學(xué)過的什么知識有關(guān)??？（板書：平均分）

師：對折1次，平均分成了2份；對折2次，平均分成4份；對折3次平均分成8份……觀察一下，對折兩次的前后份數(shù)變化，有沒有什么規(guī)律?。?/p>

生（總結(jié)）：對折前的份數(shù)，是對折后份數(shù)的一半。

這是在學(xué)習(xí)完三年級“平均分”之后的一堂校本數(shù)學(xué)活動課，本堂課讓學(xué)生在經(jīng)歷折紙的過程中，去感悟折紙的次數(shù)與平均分的關(guān)系，體現(xiàn)了生活與數(shù)學(xué)的聯(lián)系。在多次反復(fù)的折紙過程中，同時伴隨著對問題的反思，學(xué)生積累的不僅僅是“折”這一數(shù)學(xué)操作活動經(jīng)驗(yàn)，而更多的是“折”的背后所蘊(yùn)含的折的次數(shù)與平均分份數(shù)之間的關(guān)系?？梢姺磸?fù)的伴隨思維的數(shù)學(xué)活動，可以在習(xí)得數(shù)學(xué)知識的同時，內(nèi)化數(shù)學(xué)操作活動經(jīng)驗(yàn)。

（二）關(guān)注不同能力的學(xué)習(xí)者的活動體驗(yàn)，拓展數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)的寬度

關(guān)于數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)，陳佑清也認(rèn)為數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)屬于個體知識的范疇，[10]那么數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)就存在著個體性的特征。換句話說，不同（能力）的學(xué)習(xí)者在經(jīng)歷某個數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動的過程中，所獲得的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)的程度是不同的。

[案例2]蘇教版四年級綜合實(shí)踐課“探究多邊形的內(nèi)角和”

本課從特殊的四邊形內(nèi)角和開始，學(xué)生經(jīng)歷了從一般四邊行內(nèi)角和的驗(yàn)證到五邊形內(nèi)角和的探索，再到其他多邊形內(nèi)角和的拓展。其中有一個細(xì)節(jié)，當(dāng)學(xué)生自主探索到四邊形內(nèi)角和（180°×2）之后，教師放手讓學(xué)生自主探索其他多邊形的內(nèi)角和公式，蘇教版教材提供了一個表格（見表1）。

而有的學(xué)優(yōu)生可以通過對四邊形的內(nèi)角和的探索，能夠通過類比、歸納，運(yùn)用數(shù)學(xué)直覺得出其他邊形的內(nèi)角和公式，從而得出結(jié)論，而有的學(xué)困生在對八邊形的探索之后依舊無法發(fā)現(xiàn)規(guī)律。因此，教學(xué)中可以將表格適度調(diào)整為表2。

經(jīng)過這樣調(diào)整，給予學(xué)生更多的操作空間。學(xué)生可以基于之前積累的數(shù)學(xué)操作經(jīng)驗(yàn)，自主發(fā)現(xiàn)更多的多邊形內(nèi)角和公式，從而便于得出一般多邊形的內(nèi)角和的公式；而這樣的調(diào)整，可以關(guān)照到部分學(xué)困生，讓其有更多的空間去操作，感悟多邊形內(nèi)角和的數(shù)學(xué)模型。所以在教學(xué)中關(guān)注不同學(xué)習(xí)者在數(shù)學(xué)活動中的體驗(yàn)，拓展數(shù)學(xué)活動的寬度，也是以人為本、尊重學(xué)習(xí)者個別差異性這一理念的重要體現(xiàn)。

（三）充分經(jīng)歷推理的過程，挖掘數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)的深度

數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)具備隱性知識的特征，就需要學(xué)習(xí)者思維的參與，尤其是需要讓學(xué)生在推理的過程中，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力，這是數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗(yàn)提出的初衷。[11]以“分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)”一課為例，在通常的教學(xué)中，執(zhí)教者設(shè)計(jì)看圖寫分?jǐn)?shù)并找出一些分子分母不同但大小相等的分?jǐn)?shù)，接著通過一些數(shù)學(xué)活動，尋找和相等的分?jǐn)?shù)并用等式表示，進(jìn)而讓學(xué)生在發(fā)現(xiàn)結(jié)論的基礎(chǔ)上揭示分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)。

【環(huán)節(jié)2】在經(jīng)過學(xué)生自由驗(yàn)證一個分?jǐn)?shù)的分子和分母同時乘相同的數(shù)，分?jǐn)?shù)的大小不變的時候，教師進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生從已有的結(jié)論中通過適當(dāng)變換、聯(lián)想，同樣可以形成新的猜想進(jìn)而得到新的結(jié)論。比如分?jǐn)?shù)的分子和分母還可以同時……進(jìn)而自主地引發(fā)學(xué)生對“一個分?jǐn)?shù)的分子和分母同時除以相同的數(shù)，分?jǐn)?shù)的大小不變”這一規(guī)律的猜想和驗(yàn)證。

通過環(huán)節(jié)1，我們發(fā)現(xiàn)，在探索一個分?jǐn)?shù)的分子和分母同時乘相同的數(shù)，分?jǐn)?shù)的大小不變的時候，第一次經(jīng)歷了“猜想—驗(yàn)證”的過程，從而發(fā)現(xiàn)規(guī)律；而環(huán)節(jié)2，則是基于第一次數(shù)學(xué)思維活動的經(jīng)驗(yàn)，再一次探索分?jǐn)?shù)的分子和分母同時除以相同的數(shù)，分?jǐn)?shù)的大小不變。從這兩個細(xì)節(jié)中學(xué)生發(fā)現(xiàn)規(guī)律并不是教師有意識的引導(dǎo)達(dá)成的，而是學(xué)生的主動建構(gòu)，同時是伴隨著數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)的積累，而且在驗(yàn)證過程中，學(xué)生經(jīng)歷了歸納推理的過程，從而實(shí)現(xiàn)了數(shù)學(xué)知識的再創(chuàng)造。數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)作為一種隱性知識，也正是在學(xué)生不斷深入的思維過程中得以顯性化，進(jìn)而獲得數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)。

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（江蘇省南京市建鄴實(shí)驗(yàn)小學(xué) 210019江蘇省南京市教育科學(xué)研究所 210002）