唐 泉 萬(wàn)映秋

(1.咸陽(yáng)師范學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院,陜西 咸陽(yáng) 712000；2.李約瑟研究所,英國(guó)劍橋,CB3 9AF； 3.咸陽(yáng)師范學(xué)院文學(xué)與傳播學(xué)院,陜西 咸陽(yáng) 712000)

《五大歷數(shù)全書(shū)匯編》(Pacasiddhāntikā)是古代印度一部重要的數(shù)理天文學(xué)著作。該書(shū)作者伐羅訶密西羅(Varhamihira)生年不詳,約卒于公元587年,是印度早期最重要的天文學(xué)家和星占學(xué)家之一,其研究興趣涉及數(shù)理天文學(xué)、星占學(xué)和年代學(xué)等多個(gè)方面?！段宕髿v數(shù)全書(shū)匯編》所取近距歷元為公元505年,按照當(dāng)時(shí)印度天文學(xué)著作的習(xí)慣,其成書(shū)年代略晚于其所取近距歷元,由此推測(cè)《五大歷數(shù)書(shū)匯編》大約成書(shū)于公元6世紀(jì)中葉。

作為古代印度一部重要的數(shù)理天文學(xué)著作,《五大歷數(shù)全書(shū)匯編》一直受到科學(xué)史家的高度關(guān)注,先后出現(xiàn)了三個(gè)影響較大的英文譯本[1- 3]。G.Thibaut和M.S.Dvivedi的英譯本出版于1889年,該譯本對(duì)部分術(shù)文沒(méi)有翻譯,并且除了譯文沒(méi)有注釋和說(shuō)明。D.Pingree的英譯本于1970年出版,與G.Thibaut和M.S.Dvivedi的英譯本相比,D.Pingree的英譯本內(nèi)容相對(duì)比較完整,并且作為姊妹篇,D.Pingree和O.Neugebauer合作出版了專門(mén)研究《五大歷數(shù)全書(shū)匯編》的著作[4]。T.S.Kuppanna Sastry的英譯本于1993年出版,盡管該譯本有許多印刷錯(cuò)誤,但它糾正了前兩個(gè)譯本的許多錯(cuò)誤,并附有非常詳細(xì)的注釋說(shuō)明及算例。上述三個(gè)英譯本在釋讀某些術(shù)文時(shí),還存在較大的分歧,但總體來(lái)說(shuō),T.S.Kuppanna Sastry的英譯本相對(duì)較好。本文的討論主要基于T.S.Kuppanna Sastry的英譯本,同時(shí)參考了另外兩個(gè)英譯本?；谏鲜鋈齻€(gè)英譯本,科學(xué)史家對(duì)《五大歷數(shù)全書(shū)匯編》中的太陽(yáng)運(yùn)動(dòng)理論、月球運(yùn)動(dòng)理論和行星理論都有較為系統(tǒng)的研究[5- 9]。

全面研究《五大歷數(shù)全書(shū)匯編》,不僅對(duì)我們?nèi)媪私庠缙谟《葦?shù)理天文學(xué)的基本思想、方法與精度具有重要的意義,而且對(duì)我們探討巴比倫和希臘天文學(xué)在印度的流傳與影響以及印度對(duì)域外天文學(xué)的接納程度具有重要意義。此外,通過(guò)對(duì)《五大歷數(shù)全書(shū)匯編》的研究,還有助于我們開(kāi)展早期中印數(shù)理天文學(xué)比較,并探討中印天文學(xué)交流與傳播的痕跡。

在《五大歷數(shù)全書(shū)匯編》收錄的五部著作中,只有《太陽(yáng)歷數(shù)書(shū)》、《寶莉莎歷數(shù)書(shū)》和《沃西斯特歷數(shù)書(shū)》三部著作討論了行星理論。這三部著作中的行星理論分為兩個(gè)系統(tǒng),《太陽(yáng)歷數(shù)書(shū)》中的行星運(yùn)動(dòng)理論采用“雙本輪模型”,以三角函數(shù)作為主要計(jì)算工具,來(lái)推求任意時(shí)刻行星的位置,屬于印度行星理論的主流傳統(tǒng)；而《寶莉莎歷數(shù)書(shū)》和《沃西斯特歷數(shù)書(shū)》則完全使用代數(shù)方法計(jì)算行星的位置,其中行星在一個(gè)會(huì)合周期內(nèi)的動(dòng)態(tài)表,以及利用相減相乘算法計(jì)算行星中心差修正算法的方法,在印度其他數(shù)理天文學(xué)著作中都非常少見(jiàn)。按照《五大歷數(shù)全書(shū)匯編》的編排方式,被收錄的五部著作并不是完全獨(dú)立的,各部著作中內(nèi)容相同的章節(jié)通常放在一起敘述,例如《寶莉莎歷數(shù)書(shū)》和《沃西斯特歷數(shù)書(shū)》中的行星理論就是放在一起討論的,并且數(shù)據(jù)及算法完全相同。因此為敘述方便,在下面的討論中,我們僅以《寶莉莎歷數(shù)書(shū)》為例,而不再提及《沃西斯特歷數(shù)書(shū)》。

在《寶莉莎歷數(shù)書(shū)》中,最先討論的是金星,然后是木星、土星、火星和水星,這個(gè)順序基本上是按照計(jì)算難易程度來(lái)排序的。這五個(gè)行星的處理方法也不相同,金星計(jì)算由于未涉及中心差而比較簡(jiǎn)單；木星和土星的處理方式相同,都是先根據(jù)行星動(dòng)態(tài)表計(jì)算行星的平位置,然后考慮行星中心差修正；而火星和水星的五星動(dòng)態(tài)表與中心差混雜在一起,計(jì)算最為復(fù)雜。本文試圖對(duì)《寶莉莎歷數(shù)書(shū)》中的五星動(dòng)態(tài)表、中心差修正算法以及黃經(jīng)計(jì)算精度進(jìn)行初步探討。由于現(xiàn)有的英譯本對(duì)水星動(dòng)態(tài)表的解讀尚不完整,因此本文的討論不包含水星。

1 行星始見(jiàn)時(shí)刻及位置

《寶莉莎歷數(shù)書(shū)》中行星理論的核心目的,是推算任意時(shí)刻行星的黃經(jīng)。與印度其他數(shù)理天文學(xué)著作一樣,《寶莉莎歷數(shù)書(shū)》將“始見(jiàn)”作為行星會(huì)合周期的起點(diǎn),推算行星始見(jiàn)時(shí)刻及位置是行星運(yùn)動(dòng)理論中的第一個(gè)算法。印度歷法一般取近距歷元,《寶莉莎歷數(shù)書(shū)》所取近距歷元為釋迦427年制呾邏月(Caitra)白半一日亞歷山大日落時(shí)分,換算成公歷為公元505年3月20日。*釋迦紀(jì)年為古代印度的一種紀(jì)年方法,釋迦元年為公元78年,故釋迦427年即為公元505年。制呾邏月(Caitra)為印度歷一月,相當(dāng)于公歷三月。古代印度將一個(gè)朔望月分為兩半,其中月盈到滿稱為白分,又叫白半或白博叉,月虧到晦叫黑分,又叫黑半或黑博叉?！段宕髿v數(shù)書(shū)匯編》在第15章([3],288頁(yè))討論日界問(wèn)題時(shí)指出,天文學(xué)家根據(jù)不同的習(xí)慣對(duì)日界的選擇不同,日落、夜半和日出都可作為一日的開(kāi)始?！秾毨蛏瘹v數(shù)書(shū)》以日落作為日界,公元505年3月20日日落即為3月21日開(kāi)始,按3月21日為禮拜一,符合《寶莉莎歷數(shù)書(shū)》所稱歷元從禮拜一起算,因此《寶莉莎歷數(shù)書(shū)》所取歷元應(yīng)為公元505年3月20日亞歷山大城日落時(shí)分。文獻(xiàn)[3]在討論水星運(yùn)動(dòng)時(shí),明確指出《寶莉莎歷數(shù)書(shū)》所取歷元為505年3月20日([3],341頁(yè))。

1.1 金星始見(jiàn)算法

若已知?dú)v元以來(lái)積日和行星的會(huì)合周期,則行星在歷元后始見(jiàn)的次數(shù)和行星在會(huì)合周期內(nèi)的位置即可求出。以金星為例,其術(shù)文稱：

置歷元以來(lái)積日,減去174,余數(shù)除以584,所得商數(shù)即為金星偕日升的次數(shù)。它在每個(gè)周期內(nèi)運(yùn)行7r5°30′20″。

當(dāng)金星運(yùn)行至處女宮26°,亦即5宮26°時(shí),從西方升起。將商數(shù)的1/11,加到剩余的日數(shù)內(nèi),其運(yùn)動(dòng)(可從3- 5節(jié)所給表中求出)。([3],312頁(yè))

1.2 木星和土星始見(jiàn)算法

《寶莉莎歷數(shù)書(shū)》計(jì)算木星始見(jiàn)的方法與金星略有不同,其術(shù)文稱：

置歷元以來(lái)積日,減去34日34nādikās,除以399,得到偕日升的次數(shù),余數(shù)為(始見(jiàn)后的)日數(shù)。

剩余的日數(shù)加偕日升次數(shù)的1/9。偕日升的次數(shù)乘以36,加上18,除以391,余數(shù)的單位為padas。([3],316頁(yè))

術(shù)文中的pada是《寶莉莎歷數(shù)書(shū)》中的一個(gè)技術(shù)名詞。古代巴比倫天文學(xué)家主要依據(jù)以下關(guān)系來(lái)處理行星的周期運(yùn)動(dòng)：427個(gè)恒星年內(nèi)，木星與太陽(yáng)會(huì)合391次，同時(shí)木星繞黃道36圈；265個(gè)恒星年內(nèi)，土星與太陽(yáng)會(huì)合256次，同時(shí)土星繞黃道9圈；284個(gè)恒星年內(nèi)，火星與太陽(yáng)會(huì)合133次，同時(shí)火星繞黃道151圈。[10]《寶莉莎歷數(shù)書(shū)》采用了完全相同的關(guān)系來(lái)處理行星運(yùn)動(dòng)。按木星在391個(gè)會(huì)合周期內(nèi)繞黃道36圈，則它在一個(gè)會(huì)合周期內(nèi)繞黃道36/391圈。因此《寶莉莎歷數(shù)書(shū)》將黃道一周分為391padas，木星在一個(gè)會(huì)合周期內(nèi)運(yùn)行36padas，轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的黃經(jīng)增量為360°×36/391。

1.3 火星始見(jiàn)算法

《寶莉莎歷數(shù)書(shū)》計(jì)算火星晨始見(jiàn)算法稱：

置歷元以來(lái)積日,減去256;40,除以780,即為火星晨見(jiàn)次數(shù)。

用161vinādis乘以晨見(jiàn)次數(shù),加上剩余的日數(shù)。晨見(jiàn)次數(shù)乘以18,加上85,除以133,將所得余數(shù)轉(zhuǎn)化為黃道十二宮,即得到火星始見(jiàn)時(shí)的位置。按照整宮或不滿整宮的度數(shù),可相繼求出火星的真位置。([3],328～329頁(yè))

《寶莉莎歷數(shù)書(shū)》認(rèn)為，火星在133個(gè)會(huì)合周期內(nèi)繞黃道151圈，則在一個(gè)會(huì)合周期內(nèi)繞黃道151/133圈。為計(jì)算方便，《寶莉莎歷數(shù)書(shū)》將黃道一周分為133padas，火星在一個(gè)會(huì)合周期內(nèi)運(yùn)行151padas，則火星在一個(gè)會(huì)合周期內(nèi)黃經(jīng)增量為151-133=18padas，又根據(jù)術(shù)文，歷元后火星第一次始見(jiàn)時(shí)的黃經(jīng)為85padas，因此火星在歷元后第m+1次始見(jiàn)時(shí)的黃經(jīng)為360°×(m×18+85)/133。類似地，若(m×18+85)>133，則需從(m×18+85)中減去133的整數(shù)倍再將其換算為相應(yīng)的黃經(jīng)。

2 行星動(dòng)態(tài)表

如果不考慮行星和太陽(yáng)的不均勻運(yùn)動(dòng)，則行星在一個(gè)會(huì)合周期內(nèi)的運(yùn)動(dòng)是有規(guī)律的。將行星在一個(gè)會(huì)合周期內(nèi)的運(yùn)動(dòng)劃分為若干段目，用來(lái)刻畫(huà)行星的順、逆、遲、疾運(yùn)動(dòng)，這是《寶莉莎歷數(shù)書(shū)》處理行星平運(yùn)動(dòng)的基本思路。五星動(dòng)態(tài)表是中國(guó)古代行星理論中必備的天文表格，但古代印度的數(shù)理天文學(xué)著作中，除《寶莉莎歷數(shù)書(shū)》和《沃西斯特歷數(shù)書(shū)》這兩部采用代數(shù)方法計(jì)算行星運(yùn)動(dòng)的著作設(shè)計(jì)了類似的五星動(dòng)態(tài)表以外，其他根據(jù)本輪模型計(jì)算行星運(yùn)動(dòng)的著作都未設(shè)計(jì)類似的動(dòng)態(tài)表。

《寶莉莎歷數(shù)書(shū)》將金星、木星和土星在一個(gè)會(huì)合周期內(nèi)的運(yùn)動(dòng)分為若干段目，并給出了行星在每個(gè)段目?jī)?nèi)運(yùn)行的時(shí)間和距離。金星動(dòng)態(tài)表從夕始見(jiàn)開(kāi)始，到晨伏行結(jié)束，共17個(gè)段目，其中11個(gè)段目順行，6個(gè)段目退行，且從上合到下合與從下合到上合的運(yùn)行狀態(tài)呈鏡面對(duì)稱。木星和土星的動(dòng)態(tài)表均從晨見(jiàn)開(kāi)始，伏行結(jié)束，共8個(gè)段目，其中6個(gè)段目順行，2個(gè)段目退行。

曲安京在討論中國(guó)古代行星理論時(shí)[11]，曾用幾何方法構(gòu)建了五星動(dòng)態(tài)表的數(shù)學(xué)模型。唐泉在討論中國(guó)古代五星動(dòng)態(tài)表中“留”與“退”這兩個(gè)段目的精度時(shí)[12]，從運(yùn)動(dòng)學(xué)的角度推出了入平合度β與入平合日t之間的關(guān)系，若令r表示行星的軌道半長(zhǎng)徑，vp和ve分別表示行星和地球繞太陽(yáng)公轉(zhuǎn)的平均角速度，x=rcos(vpt)+cos(vet)和y=rsin(vpt)+sin(vet)分別表示行星在以地球?yàn)樵c(diǎn)，平合方向?yàn)閤軸正向的直角坐標(biāo)系中的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)，則入平合度β可以表示為

(1)

利用式(1)，可以討論《寶莉莎歷數(shù)書(shū)》金星、木星和土星動(dòng)態(tài)表的誤差。由于《寶莉莎歷數(shù)書(shū)》中金星、木星和土星動(dòng)態(tài)表均以始見(jiàn)作為會(huì)合周期的起點(diǎn)，而式(1)給出的數(shù)學(xué)模型是從“合”起算的，為討論方便，我們將金星夕始見(jiàn)和木星與土星晨始見(jiàn)之前伏行時(shí)間和度數(shù)分別平分，即可得到從“合”開(kāi)始的行星動(dòng)態(tài)表。其中木星和土星的動(dòng)態(tài)表從合開(kāi)始，金星的動(dòng)態(tài)表從上合開(kāi)始，根據(jù)對(duì)稱性，我們僅給出金星從上合到下合的動(dòng)態(tài)表，另一半完全對(duì)稱。

在計(jì)算理論結(jié)果時(shí)，我們?nèi)〗鹦恰⒛拘呛屯列堑能壍腊腴L(zhǎng)徑分別為0.723、5.205和9.576天文單位，公轉(zhuǎn)周期分別為224.701、4332.589和10759.2日，地球的公轉(zhuǎn)周期為365.256日。[13]令Δt表示“常日”，意為行星在各段目?jī)?nèi)的運(yùn)行時(shí)間，t表示“入平合日”，亦即“常日”的累加值；ω和ω′分別表示“常度”的歷法結(jié)果和理論結(jié)果，意為行星在各段目?jī)?nèi)的視位移，β和β′分別表示“入平合度”的歷法結(jié)果和理論結(jié)果，其值分別為ω和ω′的累加值。我們將計(jì)算所得結(jié)果列為表1～表3，表中第2列“常日”Δt與第4列“常度”ω?cái)?shù)據(jù)取自《寶莉莎歷數(shù)書(shū)》，第3列“入平合日”t由第2列“常日”Δt累加得到，第7列“入平合度”的歷法結(jié)果β由第4列“常度”ω累加得到，第5列ω′和第8列β′數(shù)據(jù)系筆者根據(jù)式(1)計(jì)算所得，其中β′為ω′的累加值。Δω=ω-ω′表示“常度”誤差，Δβ=β-β′表示“入平合度”誤差。表1～表3中，Δt和t的單位為“日”，ω、ω′、Δω、β、β′和Δβ的單位為“°”。

表1 金星動(dòng)態(tài)表精度

表2 木星動(dòng)態(tài)表精度

表3 土星動(dòng)態(tài)表精度

從表1～表3可以看出，金星、木星和土星各段目常度絕對(duì)誤差的最大值分別為3.65°、4.17°和2.30°。由于行星的入平合度是各段目常度的累加值，而各段目常度的誤差可正可負(fù)，因此入平合度的誤差與常度的誤差一般并不同步，也就是說(shuō)，常度誤差最大時(shí)，對(duì)應(yīng)的入平合度誤差并非最大，反之亦然。表1～表3中的數(shù)據(jù)表明，金星、木星和土星入平合度的絕對(duì)誤差的最大值分別為3.60°、2.56°和1.76°，分別小于相應(yīng)常度的最大誤差。由于行星動(dòng)態(tài)表是計(jì)算行星平位置的基礎(chǔ)，因此金星、木星和土星入平合度的誤差較好地反映了《寶莉莎歷數(shù)書(shū)》金星、木星和土星平位置計(jì)算精度。

《寶莉莎歷數(shù)書(shū)》設(shè)計(jì)火星動(dòng)態(tài)表的思路與金星、木星和土星不同。金星、木星和土星動(dòng)態(tài)表中，行星在各段目?jī)?nèi)運(yùn)行的時(shí)間和視位移是固定的?！秾毨蛏瘹v數(shù)書(shū)》將火星在一個(gè)會(huì)合周期內(nèi)的運(yùn)動(dòng)分為8個(gè)段目，火星在各段目?jī)?nèi)的視位移分別為：“疾行”(146°)、“遲行”(18°)、“遲退”(18°)、“疾退”(18°)、“遲順”(18°)、“疾順”(150°)、“合前伏順”(60日內(nèi)運(yùn)行43°)、“合后伏順”(60日內(nèi)運(yùn)行43°)?；鹦窃诟鞫文可系囊曃灰齐m然確定，但火星在各段目?jī)?nèi)的速度則根據(jù)火星的黃經(jīng)而變化，從而導(dǎo)致火星在各段目?jī)?nèi)運(yùn)行的時(shí)間并非常數(shù)。火星在各段目?jī)?nèi)的速度隨黃經(jīng)變化(表4)。表4中數(shù)據(jù)單位均為“°/日”。

表4 火星在各段目?jī)?nèi)的視行速

續(xù)表4

從表4中的數(shù)據(jù)可以看到，當(dāng)火星運(yùn)行在除“疾順”外的其他7個(gè)段目?jī)?nèi)時(shí)，其速度根據(jù)它在黃道十二宮中的位置分為6組，若用vi表示火星在第i宮中的速度，則有：v1=v12，v2=v3，v4=v5，v6=v7，v8=v9，v10=v11，這個(gè)關(guān)系對(duì)“疾順”段并不滿足。

此外，根據(jù)《寶莉莎歷數(shù)書(shū)》術(shù)文，當(dāng)火星在“遲退”、“疾退”、“遲順”、“合前伏行”和“合后伏行”這五個(gè)段目?jī)?nèi)運(yùn)行時(shí)，其視位移與表4中所給數(shù)據(jù)并不完全吻合。例如，當(dāng)火星在表4中“遲退”、“疾退”和“遲順”這三個(gè)段目?jī)?nèi)運(yùn)行時(shí)，其運(yùn)行時(shí)間和視位移均由火星黃經(jīng)所決定，以火星逆行在白羊?qū)m內(nèi)為例，其運(yùn)行狀態(tài)如下：42天內(nèi)逆行7°，42天內(nèi)逆行9°，然后在60天內(nèi)順行16°，其逆行和順行的度距均為16°，而非18°；當(dāng)火星運(yùn)行在“合前伏順”和“合后伏順”兩個(gè)段目?jī)?nèi)時(shí)，由于火星運(yùn)行的速度隨黃經(jīng)而變化，因此火星運(yùn)行43°的時(shí)間也并不一定等于60天。

顯然，與金星、木星和土星不同，火星動(dòng)態(tài)表實(shí)際上已經(jīng)考慮了火星中心差影響，因此不能用式(1)討論火星動(dòng)態(tài)表的精度。

3 行星位置計(jì)算的基本思路

行星中心差修正算法是《寶莉莎歷數(shù)書(shū)》行星理論中的核心算法。由于金星中心差較小，《寶莉莎歷數(shù)書(shū)》在討論金星運(yùn)動(dòng)時(shí)忽略了中心差，金星在任意時(shí)刻的黃經(jīng)由其始見(jiàn)時(shí)的黃經(jīng)以及動(dòng)態(tài)表即可求出。但是，木星、土星和火星計(jì)算都涉及中心差修正算法，因此計(jì)算比較復(fù)雜。計(jì)算木星和土星黃經(jīng)的方法完全相同，以木星為例，其基本思路可以概括為如下四個(gè)步驟：

(1)計(jì)算木星在歷元后某次始見(jiàn)時(shí)的平位置λ0；

(2)計(jì)算木星始見(jiàn)x日后與中心差相關(guān)的變量cp；

(3)根據(jù)木星動(dòng)態(tài)表，求出木星在平見(jiàn)后x-cp日內(nèi)的視位移λ(x-cp)；

(4)求出木星地心真黃經(jīng)λ=λ0+λ(x-cp)+cp。

根據(jù)《寶莉莎歷數(shù)書(shū)》木星始見(jiàn)算法，木星于歷元后首次始見(jiàn)時(shí)的位置為18padas，木星在一個(gè)會(huì)合周期內(nèi)運(yùn)行36padas，因此木星于歷元后第m+1次始見(jiàn)時(shí)的黃經(jīng)為(m×36+18)×360°/391，若m×36+18>391，則需從m×36+18中減去391的整數(shù)倍后再將其換算為相應(yīng)的黃經(jīng)。

在上述四個(gè)步驟中，第二個(gè)步驟——即計(jì)算cp——最為關(guān)鍵。cp是《寶莉莎歷數(shù)書(shū)》設(shè)計(jì)的一個(gè)與行星中心差有關(guān)的函數(shù)，其值為

cp=λt-λm

(2)

(3)

λm中的p和式(3)中的p均代表padas?！秾毨蛏瘹v數(shù)書(shū)》將木星在一個(gè)恒星周期(391padas)內(nèi)的運(yùn)動(dòng)分為三段，分別為(0～180)、(181～375)和(376～391)，其中第一段和第三段稱為減速段，對(duì)應(yīng)木星從近日點(diǎn)到遠(yuǎn)日點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，第二段稱為加速段，對(duì)應(yīng)木星從遠(yuǎn)日點(diǎn)到近日點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)。

(4)

顯然，根據(jù)《寶莉莎歷數(shù)書(shū)》所給算法求出的cp，并非現(xiàn)代天文學(xué)意義上的中心差，而是為修正中心差而設(shè)計(jì)的一個(gè)函數(shù)。從cp對(duì)木星和土星黃經(jīng)計(jì)算的影響效果來(lái)看，其涵義和功能與中國(guó)古代行星理論中的五星盈縮差算法非常類似。關(guān)于中國(guó)古代五星盈縮差算法的天文意義與數(shù)學(xué)模型，唐泉有比較詳細(xì)的論述[14〗。

為了考察cp對(duì)木星和土星黃經(jīng)計(jì)算誤差的影響，我們從木星和土星的減速段起點(diǎn)開(kāi)始，以30°為間隔，分別計(jì)算出木星和土星在一個(gè)恒星周期內(nèi)的12組cp值，結(jié)果如表5所示。

表5 木星和土星的cp

續(xù)表5

表5中的數(shù)據(jù)表明，木星和土星的中心差修正函數(shù)cp的曲線形狀均接近正弦函數(shù)曲線，不過(guò)與標(biāo)準(zhǔn)的正弦函數(shù)曲線位置相比，木星的cp曲線沿y軸約下移3°左右，而土星的cp曲線沿y軸約上移3°左右。在后面的討論中我們將會(huì)看到，對(duì)木星和土星而言，與中心差有關(guān)的修正項(xiàng)cp對(duì)其黃經(jīng)計(jì)算誤差的影響是非常明顯的。

在《寶莉莎歷數(shù)書(shū)》中，計(jì)算火星黃經(jīng)的算法與金星、木星和土星都有所不同。根據(jù)火星始見(jiàn)算法以及火星動(dòng)態(tài)表，即可求出火星在某次晨見(jiàn)后x日的黃經(jīng)λ(x)。根據(jù)《寶莉莎歷數(shù)書(shū)》火星算法，以上述方法求出火星黃經(jīng)λ(x)后，還要對(duì)其進(jìn)行修正，該修正算法稱：

若平位置大于真位置，則將二者之差加入“所得余數(shù)”；若平位置小于真位置，則需從“所得余數(shù)”中減去二者之差；做完這些，我將根據(jù)(火星)每段運(yùn)動(dòng)給出(火星)真運(yùn)動(dòng)。([3]，328～329頁(yè))

4 行星黃經(jīng)計(jì)算精度

討論行星黃經(jīng)的計(jì)算精度，首先需要一份高精度的行星歷表。本文采用天文軟件Skymap Pro 10*關(guān)于Skymap的精度，已有學(xué)者進(jìn)行過(guò)專門(mén)討論。江曉原和鈕衛(wèi)星在討論武王伐紂的年代和日程表時(shí)，曾用DE系列的星歷表DE404檢驗(yàn)了Skymap Pro 3.2的精度，發(fā)現(xiàn)在前推3000余年時(shí)，其誤差也僅在角秒量級(jí)。(江曉原、鈕衛(wèi)星：《以天文學(xué)方法重現(xiàn)武王伐紂之年代及日程表》，《科學(xué)》，1999年5期)。寧曉玉和劉次沅用一些專業(yè)天文軟件，如DE系列、Sumer、LUNE等，檢驗(yàn)了包括Skymap Pro 7和Skymap Pro 3.2在內(nèi)的一些商業(yè)天文軟件的精度，認(rèn)為Skymap與專業(yè)歷表軟件的外行星位置符合相當(dāng)好，內(nèi)行星位置在遠(yuǎn)距歷元處有0.1°以內(nèi)的誤差，因此無(wú)論從數(shù)據(jù)精確度和長(zhǎng)期穩(wěn)定性，還是從功能的強(qiáng)大程度來(lái)說(shuō)，Skymap都是值得推廣的天文計(jì)算軟件，并建議選擇Skymap作為古天文研究的主要參考軟件。(寧曉玉、劉次沅：《適用于古天文研究的計(jì)算機(jī)軟件》，《時(shí)間頻率學(xué)報(bào)》，2006年1期)來(lái)獲取行星位置的理論結(jié)果。需要說(shuō)明，由于Skymap Pro 10只提供行星的赤經(jīng)和赤緯而無(wú)黃經(jīng)和黃緯，因此本文在計(jì)算行星的理論黃經(jīng)時(shí)，首先由Skymap Pro 10獲取行星的赤經(jīng)和赤緯，然后再將赤經(jīng)轉(zhuǎn)化為黃經(jīng)。

作為例子，我們計(jì)算公元505年10月1日夜半木星的黃經(jīng)及其誤差。由前面討論知，《寶莉莎歷數(shù)書(shū)》所取近距歷元公元505年3月20日亞歷山大城的日落時(shí)分，該日對(duì)應(yīng)的儒略日序?yàn)?905588，木星在505年4月24日19nādikās始見(jiàn)，對(duì)應(yīng)儒略日序?yàn)?905623，505年10月1日對(duì)應(yīng)儒略日序?yàn)?905783。下面給出具體計(jì)算步驟：

(1)計(jì)算木星始見(jiàn)時(shí)的黃經(jīng)λ0。由術(shù)文，λ0=18×360°/391=16.57°。

(3)根據(jù)木星動(dòng)態(tài)表，計(jì)算木星在平見(jiàn)后x-cp日內(nèi)的視位移λ(x-cp)。x-cp=160.68-1.99=158.69。根據(jù)木星動(dòng)態(tài)表(表2)，可求出木星始見(jiàn)后158.69日的視位移λ(158.69)=18°+(158.69-124)/56×(-6°)=14.28°。

(4)計(jì)算木星在505年10月1日夜半時(shí)的黃經(jīng)λ。根據(jù)《寶莉莎歷數(shù)書(shū)》計(jì)算木星黃經(jīng)的思路，λ=λ0+λ(x-cp)+cp=16.57°+14.28°+1.99°=32.84°。

(5)計(jì)算505年10月1日夜半木星黃經(jīng)的理論值λ′。查亞歷山大經(jīng)度為東經(jīng)29°55′，屬東二區(qū)，該地地方時(shí)比世界時(shí)早2小時(shí)。使用Skymap Pro10查得505年10月1日22時(shí)木星的赤經(jīng)為2h 4m 45.39s，赤緯為+11°15′01.7″，按公元505年黃赤夾角為23.63°，轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的黃經(jīng)為λ′=32.94°。

(6)計(jì)算505年10月1日夜半木星黃經(jīng)誤差Δλ。Δλ=λ-λ′=32.84°-32.94°=-0.10°。

為充分考察中心差對(duì)行星黃經(jīng)計(jì)算精度的影響，我們根據(jù)《寶莉莎歷數(shù)書(shū)》術(shù)文，用Matlab語(yǔ)言將金星、木星、土星和火星黃經(jīng)計(jì)算全部程序化。我們從歷元后首次始見(jiàn)當(dāng)天夜半開(kāi)始，共計(jì)算了金星、木星和土星在11000*金星、木星和土星的公轉(zhuǎn)周期分別為224.701、4332.589、10759.2日，本文在計(jì)算金星、木星和土星的黃經(jīng)時(shí)，所選時(shí)間跨度均為11000日，其數(shù)值非常接近土星公轉(zhuǎn)周期。日內(nèi)每日夜半的地心黃經(jīng)，并與理論結(jié)果進(jìn)行比較。由于火星在各段目?jī)?nèi)運(yùn)行的時(shí)間和距離均與黃經(jīng)有關(guān)，計(jì)算較為復(fù)雜，且火星的公轉(zhuǎn)周期較短，因此我們只計(jì)算了火星在一個(gè)會(huì)合周期(780日)內(nèi)每天夜半的黃經(jīng)，并與理論結(jié)果進(jìn)行比較。由于已有的三個(gè)英譯本對(duì)火星中心差修正算法解讀存在較大分歧，且該算法的意義不太明確，因此在計(jì)算火星黃經(jīng)時(shí)，未考慮中心差修正算法。我們對(duì)計(jì)算結(jié)果進(jìn)行誤差分析，結(jié)果如表6所示。表6中的數(shù)據(jù)比較客觀地反映了《寶莉莎歷數(shù)書(shū)》中的行星計(jì)算精度。

表6 《寶莉莎歷數(shù)書(shū)》行星計(jì)算精度

為了更直觀地考察《寶莉莎歷數(shù)書(shū)》中的行星計(jì)算精度，我們根據(jù)計(jì)算結(jié)果分別繪出金星、木星、土星和火星的黃經(jīng)誤差散點(diǎn)圖(圖1～圖4)。圖1～圖4中縱坐標(biāo)表示行星黃經(jīng)絕對(duì)誤差(歷法值-理論值)，單位為“°”，橫坐標(biāo)表示行星從歷元后首次始見(jiàn)當(dāng)日夜半起算的日數(shù)，單位為“日”。根據(jù)前面對(duì)行星始見(jiàn)時(shí)刻的討論，圖1中橫坐標(biāo)始于505年9月10日夜半，圖2中橫坐標(biāo)始于505年4月24日夜半，圖3中橫坐標(biāo)始于505年8月18日夜半，圖4中橫坐標(biāo)始于505年12月2日夜半。

圖1 金星黃經(jīng)絕對(duì)誤差散點(diǎn)圖

圖2 木星黃經(jīng)絕對(duì)誤差散點(diǎn)圖

圖3 土星黃經(jīng)絕對(duì)誤差散點(diǎn)圖

圖4 火星黃經(jīng)絕對(duì)誤差散點(diǎn)圖

從圖1～圖4可以看出，木星和土星黃經(jīng)計(jì)算精度大體相當(dāng)，其中木星和土星黃經(jīng)計(jì)算誤差基本能控制在6°以內(nèi)，只在極少數(shù)點(diǎn)，木星黃經(jīng)計(jì)算誤差超過(guò)6°。金星和火星黃經(jīng)計(jì)算精度大體相當(dāng)，其最大誤差均超過(guò)了15°，且金星黃經(jīng)有明顯的后天現(xiàn)象，而火星黃經(jīng)有明顯的先天現(xiàn)象。此外，從圖2可以看出，由于行星的近點(diǎn)周期運(yùn)動(dòng)，木星誤差曲線的波動(dòng)周期與其公轉(zhuǎn)周期基本吻合，不過(guò)對(duì)于金星、土星和火星，看不到類似的波動(dòng)曲線，因?yàn)槲覀兛疾焱列呛突鹦屈S經(jīng)計(jì)算精度時(shí)，其時(shí)間跨度分別接近各自的公轉(zhuǎn)周期，而金星的公轉(zhuǎn)周期較小，又未考慮中心差。

為了考察《寶莉莎歷數(shù)書(shū)》中木星和土星中心差修正算法效果，我們僅僅根據(jù)木星和土星動(dòng)態(tài)表，而不考慮中心差修正算法，得到木星和土星黃經(jīng)計(jì)算誤差散點(diǎn)圖(圖5～圖6)。

圖5 木星黃經(jīng)絕對(duì)誤差散點(diǎn)圖(不考慮中心差)

圖6 土星黃經(jīng)絕對(duì)誤差散點(diǎn)圖(不考慮中心差)

從圖5和圖6可以看出，如果不考慮中心差，則木星黃經(jīng)的最大誤差達(dá)到了9°左右，土星黃經(jīng)的最大誤差達(dá)到了12°左右，其精度明顯低于考慮中心差時(shí)的情形，這說(shuō)明木星和土星中心差修正算法的效果還是比較明顯的。另外，從圖5和圖6也容易看出，木星黃經(jīng)先天現(xiàn)象嚴(yán)重，而土星黃經(jīng)后天現(xiàn)象嚴(yán)重。但是前面的討論表明，木星和土星的中心差修正函數(shù)cp的曲線形狀均接近正弦函數(shù)曲線，但與標(biāo)準(zhǔn)的正弦函數(shù)曲線位置相比，木星中心差修正曲線大約沿y軸下移3°左右，而土星曲線沿y軸約上移3°左右。正是因?yàn)檫@個(gè)原因，圖2和圖3中木星和土星的黃經(jīng)并未出現(xiàn)特別明顯的先天或后天現(xiàn)象。

5 分析及結(jié)論

本文對(duì)《寶莉莎歷數(shù)書(shū)》中金星、木星、土星和火星的動(dòng)態(tài)表、中心差修正算法和黃經(jīng)計(jì)算方法及精度進(jìn)行了初步討論。根據(jù)前面的討論，我們可以得出如下一些結(jié)論：

(1)根據(jù)表6中的數(shù)據(jù)，《寶莉莎歷數(shù)書(shū)》中木星和土星黃經(jīng)最大誤差分別為6.50°和5.36°，木星和土星黃經(jīng)平均絕對(duì)誤差分別為2.12°和2.20°，這表明《寶莉莎歷數(shù)書(shū)》中木星和土星的計(jì)算精度大體相當(dāng)。與木星和土星相比，火星和金星黃經(jīng)計(jì)算誤差則要大得多。金星和火星黃經(jīng)最大誤差分別為18.41°和16.29°，約為木星和土星黃經(jīng)最大誤差的3倍。金星和火星黃經(jīng)最大誤差雖然相差不大，但是金星和火星黃經(jīng)平均絕對(duì)誤差分別為3.42°和10.02°，這表明金星黃經(jīng)計(jì)算誤差要明顯小于火星黃經(jīng)計(jì)算誤差。另外，當(dāng)金星、木星、土星和火星分別運(yùn)行至各自的會(huì)合周期中逆行段目前后時(shí)，黃經(jīng)計(jì)算誤差最大。對(duì)古代天文學(xué)家而言，由于內(nèi)行星不易觀測(cè)且其速度較快，故計(jì)算難度較大，而火星在三個(gè)外行星中軌道偏心率最大，計(jì)算也明顯比木星和土星復(fù)雜?！秾毨蛏瘹v數(shù)書(shū)》中的行星計(jì)算精度，較為真實(shí)地反映了各個(gè)行星的計(jì)算難度。

(2)行星動(dòng)態(tài)表是影響《寶莉莎歷數(shù)書(shū)》行星計(jì)算精度的一個(gè)主要因素。行星動(dòng)態(tài)表是《寶莉莎歷數(shù)書(shū)》計(jì)算行星平位置的基礎(chǔ)，因此行星動(dòng)態(tài)表設(shè)計(jì)是否合理會(huì)直接影響行星計(jì)算精度。根據(jù)《寶莉莎歷數(shù)書(shū)》行星始見(jiàn)算法，可以求出金星、木星、土星和火星的會(huì)合周期分別為583.91、398.89、378.10和779.96日，與之相應(yīng)的理論結(jié)果分別為583.92、398.88、378.09和779.94日，絕對(duì)誤差取整至分鐘分別為-14、14、14和29分鐘，其精度明顯高于中國(guó)隋代《開(kāi)皇歷》(584)及其以前諸歷對(duì)五星會(huì)合周期的測(cè)定，即使與唐代《麟德歷》等歷法測(cè)定的五星會(huì)合周期相比，也豪不遜色。另外，根據(jù)現(xiàn)代天文學(xué)理論，行星在各段目?jī)?nèi)的速度是逐日變化的，而《寶莉莎歷數(shù)書(shū)》設(shè)計(jì)的行星動(dòng)態(tài)表中，行星在各段目?jī)?nèi)勻速運(yùn)行，而造成行星速度在各段目節(jié)點(diǎn)處會(huì)發(fā)生較大跳躍。根據(jù)表1～表3，金星、木星和土星入平合度的最大誤差分別為3.60°、2.56°和1.76°，金星誤差明顯高于木星和土星，其原因在于金星會(huì)合周期較長(zhǎng)且作為內(nèi)行星不易觀測(cè)。金星、木星和土星入平合度的誤差較好地反映了《寶莉莎歷數(shù)書(shū)》金星、木星和土星平位置計(jì)算精度。

(3)行星中心差修正算法是影響《寶莉莎歷數(shù)書(shū)》行星計(jì)算精度的另外一個(gè)主要因素。金星的入平合度的最大誤差雖然只有3.60°，但是由于《寶莉莎歷數(shù)書(shū)》在計(jì)算金星黃經(jīng)時(shí)并未考慮中心差，從而使得金星黃經(jīng)計(jì)算誤差急劇增大，最大誤差甚至超過(guò)了18°。盡管木星和土星中心差修正函數(shù)的設(shè)計(jì)還存在一些缺陷，但是通過(guò)對(duì)木星和土星黃經(jīng)計(jì)算誤差的討論，我們發(fā)現(xiàn)木星和土星的中心差修正算法確實(shí)有效提高了木星和土星的黃經(jīng)計(jì)算精度?！秾毨蛏瘹v數(shù)書(shū)》將火星動(dòng)態(tài)表與行星的黃經(jīng)相聯(lián)系，實(shí)際上是將火星的動(dòng)態(tài)表與中心差混合在一起，其做法與隋代及初唐時(shí)期歷法中的火星動(dòng)態(tài)表的設(shè)計(jì)非常類似。由于已有的英譯本在解讀火星中心差修正算法時(shí)，還存在很大分歧，故火星中心差修正算法的天文涵義還有待深入研究。

(4)造成火星黃經(jīng)計(jì)算誤差較大的原因，主要有以下幾點(diǎn)：其一，在計(jì)算火星黃經(jīng)時(shí)，并未考慮火星中心差修正算法；其二，火星在歷元后首次始見(jiàn)當(dāng)日夜半黃經(jīng)的理論結(jié)果為220.07°，而根據(jù)《寶莉莎歷數(shù)書(shū)》計(jì)算結(jié)果為230.49°，二者之間有10°左右的誤差；其三，《寶莉莎歷數(shù)書(shū)》設(shè)計(jì)的動(dòng)態(tài)表中，火星在一個(gè)會(huì)合周期內(nèi)運(yùn)行400°，相應(yīng)的理論結(jié)果為408.72°，其誤差為8.72°。另外，從圖4可以看到，如果不考慮火星的中心差修正算法，則火星的黃經(jīng)計(jì)算誤差能控制在17°以內(nèi)。作為對(duì)照，我們按照文獻(xiàn)[3]對(duì)火星中心差修正算法的解讀，重新計(jì)算了火星在一個(gè)會(huì)合周期內(nèi)的黃經(jīng)誤差，結(jié)果表明，火星中心差修正算法不僅未提高火星黃經(jīng)計(jì)算精度，反而使火星黃經(jīng)計(jì)算精度大幅度降低，其最大誤差達(dá)到了36.21°。這或許說(shuō)明，文獻(xiàn)[3]對(duì)火星中心差修正算法的解讀可能有誤。

與早期印度一些影響較大的數(shù)理天文學(xué)著作，如《阿耶波多歷數(shù)書(shū)》(5世紀(jì))、《歷法甘露》(7世紀(jì))和《蘇利亞歷》(公元8、9世紀(jì))等著作采用本輪模型計(jì)算行星位置的主流傳統(tǒng)相比，《寶莉莎歷數(shù)書(shū)》行星理論中強(qiáng)烈的代數(shù)傳統(tǒng)顯得格外引人注目。事實(shí)上，《寶莉莎歷數(shù)書(shū)》中的行星理論雖然與印度主流行星理論傳統(tǒng)不同，但卻與古代巴比倫和中國(guó)行星理論傳統(tǒng)非常相似。如果對(duì)《寶莉莎歷數(shù)書(shū)》和隋唐時(shí)期中國(guó)歷法中的行星理論進(jìn)行比較，不難發(fā)現(xiàn)二者確實(shí)有許多相似之處。例如，二者均采取分段處理方案來(lái)設(shè)計(jì)行星在一個(gè)會(huì)合周期內(nèi)的運(yùn)動(dòng)；在設(shè)計(jì)火星動(dòng)態(tài)表時(shí)，二者均將火星動(dòng)態(tài)表與火星中心差混雜在一起。[15]江曉原[16]認(rèn)為在公元6世紀(jì)前后，巴比倫天文學(xué)——特別是太陽(yáng)理論和行星理論方面——很可能通過(guò)某種途徑對(duì)中國(guó)天文學(xué)產(chǎn)生過(guò)影響，那么，印度天文學(xué)是否在巴比倫天文學(xué)影響中國(guó)天文學(xué)的過(guò)程中，扮演了一個(gè)重要角色呢？這個(gè)問(wèn)題仍然值得深入研究。

致謝兩位審稿專家指出了本文的一些疏漏之處,并提出了寶貴的修改意見(jiàn)。在本文的修改過(guò)程中,作者曾與日本大橋由紀(jì)夫博士進(jìn)行了有益的討論。在此一并表示誠(chéng)摯的感謝!

5 Abraham G. The motion of the Sun in the Vsisa Siddhnta[J].ArchiveforHistoryofExactScience, 1980, 22(1～2): 1～3.

6 Abraham G. Algebraic Formulae for the Moon, Saturn and Jupiter in the Pacasiddhntik[J].ArchiveforHistoryofExactSciences, 1982, 26(4): 287～297.

7 Abraham G. Length of the Year in Pre-epicyclic Planetary Theory[J].ArchiveforHistoryofExactSciences, 1984, 30(3～4): 189～195.

8 Abraham G. Theories for the Motion of the Sun in the Pacasiddhntik[J].ArchiveforHistoryofExactSciences, 1985, 34(3): 221～230.

9 Waerden B L V. On the Romaka-Siddhnta[J].ArchiveforHistoryofExactSciences, 1988, 38(1): 1～11.

10 江曉原, 鈕衛(wèi)星. 天文西學(xué)東漸集[M]. 上海：上海書(shū)店出版社, 2001. 51.

11 曲安京. 中國(guó)古代的行星運(yùn)動(dòng)理論[J]. 自然科學(xué)史研究, 2006, 25(1): 1～17.

12 唐泉. 中國(guó)古代五星動(dòng)態(tài)表的精度——以“留”與“退”兩個(gè)段目為例[J]. 內(nèi)蒙古師范大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)漢文版), 2013, 42(4): 463～470.

13 中國(guó)大百科全書(shū)出版社編輯部. 中國(guó)大百科全書(shū)·天文學(xué)卷[M]. 北京: 中國(guó)大百科全書(shū)出版社, 1980. 477.

14 唐泉. 再論中國(guó)古代的五星盈縮差算法[J]. 自然科學(xué)史研究, 2011, 30(4): 393～408.

15 魏征, 令狐德棻. 隋書(shū)·律歷志下[M]. 北京：中華書(shū)局, 1973. 492～493.

16 江曉原. 巴比倫天文學(xué)與古代中國(guó)天文學(xué)[J]. 自然辯證法通訊, 1988, 10(1): 26.