陳志輝

(內(nèi)蒙古師范大學科學技術(shù)史研究院，呼和浩特 010022)

1 問題的提出

因第一次鴉片戰(zhàn)爭戰(zhàn)敗，中國被迫開放了上海等五個口岸城市，大量商人和傳教士以這些通商口岸為據(jù)點，開展商業(yè)、宗教、科學和文化等活動。與中國人和中國歷史文化的接觸日漸頻密，來華西人得以切切實實地了解中國本土的學術(shù)與文化，從而使得他們能夠?qū)χ袊拿髋c西方文明進行更直接而深入的比較。與此同時，科學正在歐洲快速發(fā)展并取得新穎成果，因而科學知識中西比較也成為比較史學的重要議題。傳教士偉烈亞力(Alexander Wylie，1815～1887，1847年來華)，便是較早進行中西科學比較的重要學者。1852年秋，偉烈亞力在《北華捷報》上連載了英文長文《中國科學略記·算術(shù)及代數(shù)學》(JottingsontheScienceoftheChinese.Arithmetic，以下簡稱《略記》)*此文并無統(tǒng)一的中文譯名。根據(jù)影響偉烈亞力甚深的《便士百科全書》“算術(shù)”條(Arithmetic)，狹義的arithmetic指算術(shù)，廣義的arithmetic則包括很大一部分代數(shù)學內(nèi)容[1]。從《略記》內(nèi)容可知，偉氏在標題中所用的是廣義的arithmetic。，介紹了中國古代數(shù)學以及當時中國數(shù)學的進展。文章隨即在西方引起了較大反響，前輩學者多有論及[2- 4]。

《略記》在《北華捷報》上共分9期連載，這9部分內(nèi)容按實際刊登時間大致如下：1)緒論、數(shù)學在中國的起緣、7世紀前的算書；2)7世紀到14世紀的算書；3)數(shù)碼與基本算術(shù)運算，《九章算術(shù)》(上)；4)《九章算術(shù)》(下)；5)秦九韶(1208～1261)大衍術(shù)(上)；6)大衍術(shù)(下)；7)天元術(shù)、開方術(shù)；8)四元術(shù)、借根方，19世紀初古算之復(fù)興；9)當時中國的數(shù)學研究、結(jié)語。*A. Wylie，“Jottings”，in The North China Herald，No. 108，111，112，113，116，117，119，120，121(August-November， 1852).被視為“中國代數(shù)學”的部分占據(jù)了第七和第八兩次連載，體量可觀。據(jù)偉氏在引言中稱，他撰寫此文有三個目的：1)對中國的數(shù)學成就形成更加公平的觀點；2)引起人們對中國數(shù)學科學的興趣；3)改正當時出版物中一些錯誤的描述[5]。*以下若無特殊說明，引用均據(jù)1897年重印本。為了達到這些目的，偉烈亞力在文章中對中西方的數(shù)學做了多方面的比較，該文也成為他中西比較科學史研究的最早實踐成果之一。筆者由此產(chǎn)生的疑問是，偉氏是如何進行中西數(shù)學比較的，比較重點是什么？與此密切相關(guān)的是，這些深入比較的背后，他對中國和西方的數(shù)學與數(shù)學史知識的理解又從何而來，所依賴的具體文獻有哪些？*前輩學者對此問題的研究也有一些成果，如汪曉勤通過比較確定了，偉烈亞力是通過楊輝《詳解九章算法》、吳敬《九章算法比類大全》和程大位《算法統(tǒng)宗》等算書，獲知《九章算術(shù)》的大致內(nèi)容并作出介紹的([3]，14～16頁)。解答這些問題，有助于我們進一步理解偉烈亞力的比較數(shù)學史學實踐和思想。

1859年，偉烈亞力與李善蘭(1810～1882)合作翻譯并出版了英國代數(shù)學家棣么甘(Augustus De Morgan，1806～1871，今譯為德摩根)的《代數(shù)學》(ElementsofAlgebra)。正如本文將要描述的，在《代數(shù)學》的英文和中文序言中*并非所有版本的《代數(shù)學》均附有偉烈亞力的英文序言[6]，前輩學者對這一材料也較少使用。，偉烈亞力延續(xù)了其史學方法，對中國和印度、阿拉伯和西歐的代數(shù)學進行了歷史比較。在偉烈亞力看來，代數(shù)學及其歷史是十分重要的，因而本文焦點集中在他關(guān)于代數(shù)學的比較史學上。汪曉勤已指出偉烈亞力所介紹的東西方數(shù)學史知識與德摩根的數(shù)學史著述，如英國實用知識傳播學會的《便士百科全書》數(shù)學詞條等密切相關(guān)[7]，但他尚未對《略記》和詞條進行比對，因而對于這些書籍和文本如何具體地影響偉烈亞力的比較代數(shù)學史編撰的情況，尚可作進一步展開。

2 “實用知識傳播學會”出版物：偉烈亞力的西方數(shù)學與數(shù)學史知識來源

2.1 英國實用知識傳播學會的大眾教育理念、出版物與來華新教傳教士

實用知識傳播學會(Society for the Diffusion of Useful Knowledge，SDUK，1826～1846)，是在約翰·羅素(Lord John Russell，1792～1878)等一批教育改革家的支持下，由英國輝格黨政治家布魯厄姆(Lord Henry Brougham，1778～1868)創(chuàng)立于倫敦的一個團體，旨在為廣大公眾——特別是貧窮低下階層提供實用知識教育。在教育被全面普及之前的時代，該學會通過其廉價的出版物，為一般民眾提供了自學的機會[8]。在偉烈亞力尚未來華的青年時代，正是該學會擁有廣泛影響力的鼎盛時期。

英國實用知識傳播學會(以下或簡稱為“英國學會”)出版了多種實用知識叢書、年歷、地圖、期刊和人物傳記辭典等出版物，比較有影響力的有“趣味知識叢書”(The Library of Entertaining Knowledge)、《便士百科全書》(PennyCyclopaedia，以下簡稱《全書》)、《便士雜志》(ThePennyMagazine)等。*更詳細的目錄見文獻[8]，242～243頁?！度珪芬云錀l目文章標題的英文首字母為序編排，正編27卷、補編2卷、續(xù)補1卷，從1833年開始一直出版至1858年。為了編輯出版《全書》，學會在世界各地設(shè)有“地方委員會”，包括在中國的廣州。1833年，《全書》的廣州地方委員會委員為德庇時(John Francis Davis，1795～1890)；自1837到1841年，怡和洋行商人渣甸(William Jardine，1784～1843)任《全書》廣州地方委員會主席，傳教士裨治文(Elijah C. Bridgman，1801～1861)、郭實臘(Karl Gützlaff，1803～1851)和馬儒翰(John Robert Morrison，1814～1843)任秘書[9]。這些人當中，馬儒翰是第一位入華的新教傳教士馬禮遜(Robert Morrison，1782～1834)之子，是英國倫敦會(London Missionary Society)成員；其他人也是與倫敦會有著密切關(guān)系的商人或傳教士。在此期間，與英國學會名稱完全相同的“在華實用知識傳播學會”(Society for the Diffusion of Useful Knowledge in China，1834～1839)由郭實臘等人在廣州創(chuàng)立，旨在以科學等實用知識影響當時停滯不前、保守排外的中國。*關(guān)于此學會之成立，見文獻[10]。由此可見，早期來華的倫敦會傳教士及其收集和傳播知識的工作，與英國學會和《全書》編撰之間有著密切的聯(lián)系。*除了為《全書》提供有關(guān)中國的知識外，有學者認為廣州的在華實用知識傳播學會還在鴉片戰(zhàn)爭期間的信息收集上發(fā)揮了重要的作用[11]。

正因為英國學會在大眾當中影響很大，且與倫敦會有著密切的聯(lián)系，以致到了1871年，在廣州和倫敦的兩個實用知識傳播學會雖已結(jié)束多時，稍晚的來華傳教士如艾約瑟(Joseph Edkins，1823～1905)、偉烈亞力等又再一次在中國成立了同名的學會，并仿效《便士雜志》，在中國發(fā)行《中西聞見錄》([2]，59頁)。另一方面，偉烈亞力本人并沒有正式接受高等教育，在離開文法學校后即成為細木工學徒[12]，英國學會的出版物當是他繼續(xù)學習的重要參考書之一。這一系列事實都顯示出，實用知識傳播學會出版物對偉烈亞力近代科學知識體系的形成有著重要的影響。

2.2 《略記》中對英國學會出版物的引用

偉烈亞力的近代科學知識來源更體現(xiàn)在《略記》對英國學會出版物的引用上?！堵杂洝分芯陀袃商幟鞔_地引用自《全書》：第一處為談及數(shù)字的位值制時，在正文中引用《全書》“算術(shù)”條(Arithmetic)和德庇時《中國人》(TheChinese)共同持有的中國人并無位值制書寫方法的論斷([5]，169頁)。*巧合的是，《中國人》也是學會所出版的“趣味知識寶庫”叢書中的一種 [13]。第二處則是在比較四元術(shù)中的“物元”與歐洲“物術(shù)”時，以腳注形式引用《全書》“代數(shù)學”條(Algebra)([5]，186頁，詳見3.3小節(jié))。

圖1 《略記》中霍納法圖解([5]，185頁)

《全書》中關(guān)于數(shù)學的條目是由德摩根所撰寫的。德摩根于1860年寄與《保險雜志》(TheAssuranceMagazine)編輯的一通信函中明確指出，所有出現(xiàn)在英國學會出版物中的數(shù)學文章均出自他的手筆[14]。*感謝林力娜教授向筆者提示這則材料。前輩學者的研究也確認了德摩根為《全書》撰寫數(shù)學和天文學條目超過10年([15]，205～206頁)。在《略記》中還有兩次明確提及德摩根：一次以腳注形式引用他的《論數(shù)學的學習與困難》(OntheStudyandDifficultiesofMathematics)([5]，183頁)，此書最初也是由學會于1831年出版的[16]。另一次是在比較秦九韶開玲瓏乘方法與霍納法時，引用了德摩根的論斷，即霍納(William George Horner，1786～1837)“發(fā)現(xiàn)了為前人所忽視而又簡單普適”的“任意高次方程解法”([5]，185頁)。然而此引文并未標明出處，筆者查得是出自《全書》“乘方與開方”條(Involution and Evolution)[17]。在比較秦九韶開方術(shù)與霍納法時，偉烈亞力展示了霍納法的圖解(圖1)。該圖解豎欄整齊，所求得的減根方程的每項系數(shù)后加上分號辨別，與“乘方與開方”條中第一例的圖解(圖2)布置極為相似，而沒有使用霍納1819年論文中[18]，各例圖解都具有的標志性的連線(圖3)。*隨著數(shù)字位數(shù)的增多，《全書》“乘方與開方”條中各例圖解并不全如第一例那樣整齊，但所有圖解均沒有連線以顯示數(shù)字之間的聯(lián)系。事實上，在偉烈亞力所編撰的《數(shù)學啟蒙》中，“開諸乘方又捷法”節(jié)里的霍納法圖解，除了使用中文數(shù)字外，同樣是德摩根式的[19]。這也說明，不但偉烈亞力對霍納的優(yōu)先權(quán)評論來源于德摩根([7]，164～165頁)，就連他對于霍納法的理解也是從德摩根所撰寫的《全書》詞條而習得的，而不是直接來自于霍納本人的論文。正是基于這樣的理解，偉烈亞力才能與中算中的增乘開方術(shù)做出對比(詳見3.1小節(jié))。

圖2 《全書》“乘方與開方”條霍納法圖解([17]，8頁)

圖3 霍納1819年論文的圖解[18]

《略記》還有四次以腳注形式引用西方文獻，分別為衛(wèi)三畏(Samuel Wells Williams，1812～1884)《中國總論》(TheMiddleKingdom)、穆雷(Hugh Murray，1779～1846)的《中國的歷史與現(xiàn)狀綜述》(AnHistoricalandDescriptiveAccountofChina)、1817年11月號的《愛丁堡評論》雜志(TheEdinburghReview，orCriticalJournal)和納皮爾(John Napier，1550～1617)的《籌算》(Rabdologi)([5]，161、167、180、193頁)。從引用數(shù)量上也可以看出，《略記》對學會出版物的引用占了很大的比例。

2.3 《代數(shù)學中文序》與《全書》中的西方代數(shù)學史內(nèi)容

偉烈亞力不但在《略記》中引用《全書》中的西方數(shù)學和數(shù)學史，還在他與李善蘭合作翻譯的《代數(shù)學》的中文序言中引用了相關(guān)的內(nèi)容。該序稱：

〔代數(shù)學〕創(chuàng)自何國何人，莫可考已。當中國六朝時，希臘有丟番都者傳其法，但用數(shù)不用記號。而天竺已先有之，且精于丟氏，能推一次、二次式，并有求一法，甚賅備，幾與秦九韶大衍術(shù)相埒。波斯、天方皆傳其法，而精不逮焉。及元時，以大利薄那洗學自天方，以傳于其國，歷三百年，習者寥寥。至明嘉靖、萬歷間，思鐵法利以其法傳于日耳曼，白勒得利傳于法蘭西，立可傳于英國，由是其學漸盛。初，天竺代未知數(shù)用五色名，波斯、天方則各用方言之“物”字。傳入歐羅巴也，以大利、英國仍用“物”字，故即名“物術(shù)”云。是時，惟未知數(shù)用字代，已知數(shù)皆用本數(shù)。至肥乙大始盡以字代，是為今代數(shù)術(shù)之始。厥后學者，精益求精，創(chuàng)為方程式，即借根方之相等法也。[20]

引文中所提到的丟番都即丟番圖(Diophantus，約3世紀)，希臘化時期亞力山大里亞數(shù)學家；薄那洗即斐波那契(Leonardo Fibonacci，1175～1250)，曾向阿拉伯人學習數(shù)學，是極具影響的中世紀意大利數(shù)學家；思鐵法利即施蒂費爾(Michael Stifel，1487～1567)，白勒得利即佩爾捷(Jacques Peletier du Mans，1517～1582)，立可即雷科德(Robert Recorde，約1512～1558)，三人分別在16世紀的德國、法國和英國地區(qū)傳播和發(fā)展代數(shù)學；肥乙大即法國數(shù)學家韋達(Fran?ois Viète，1540～1603)，他首先運用符號代替已知量解決問題，近代代數(shù)學由此開端。

相當重要的一點是，上面所引一段代數(shù)學簡史的描述源于《全書》“代數(shù)學”條。在該詞條中，德摩根同樣按丟番圖、印度、波斯-阿拉伯到歐洲這一順序來勾勒代數(shù)學演進的框架。因為丟番圖問題(Diophantine)與印度代數(shù)的高度相似性，而后者“更為高明”，德摩根認為要么是丟番圖從東方學習到了印度人的代數(shù)知識，要么是印度人在5世紀后對希臘代數(shù)學做出了很大的改進。除了提供印度與阿拉伯地區(qū)代數(shù)學的一些歷史細節(jié)外，他還推薦了一些東方學家——如科爾布魯克*科爾布魯克(Henry Thomas Colebrooke，1765～1837)，英國梵文學家，曾翻譯印度代數(shù)學經(jīng)典《比賈加尼塔》(Bija Ganita或Vija-ganita)并為之撰寫長篇序言。等人的相關(guān)工作。在簡述13世紀以降以字(詞)代數(shù)的方法在歐洲各國的發(fā)展后，德摩根提出韋達所在的時代是代數(shù)學“現(xiàn)代形式開始的時間”[21]。從演進的框架到定性的結(jié)論，序言中對代數(shù)學源流的“略述”，基本上是對“代數(shù)學”條相關(guān)內(nèi)容的翻譯和縮寫?；凇度珪匪榻B的西方代數(shù)學簡史，偉烈亞力也得以與中國古算進行比較，并把這些比較適時地穿插在中文序?qū)ξ鞣酱鷶?shù)學史的描述中。*這樣的比較也存在于《略記》和《代數(shù)學》英文序言當中，而且更加詳細(詳見3.2小節(jié))。

3 偉烈亞力著述中對中國、印度和歐洲代數(shù)學的比較

3.1 增乘開方術(shù)與歐洲霍納法之比較

傳統(tǒng)中算把求數(shù)值方程正根的方法統(tǒng)稱為開方術(shù)，要求解的數(shù)值方程稱為開方式。《略記》中第一次論及開方，是在介紹《九章算術(shù)》少廣章的時候，偉烈亞力意譯少廣為evolution，并認為少廣章中的開方方法與英格蘭的教科書所用方法相同([5]，172頁)。更詳細的討論則是以秦九韶開方術(shù)為代表的宋元增乘開方術(shù)與霍納法的比較。

前文提及《略記》引用了《全書》“Involution and Evolution”條的“霍納法”——高次數(shù)值方程解法，因而《略記》把開方譯為evolution是十分妥貼的，但在翻譯增乘開方術(shù)這一術(shù)語的時候則出現(xiàn)了一些問題。在《略記》中，偉烈亞力是這樣介紹秦九韶的開方術(shù)的：

這些名目(按：指實、方、廉、隅等)排列好以后，未知數(shù)通過一個叫“玲瓏開方”(Harmoniously Alternating Evolution)的簡單程序被求解出來，這一知識在歐洲還是相當新穎的。從秦書大量例子中拿出一個，可以很好地說明?，F(xiàn)在要開-x4+1534464x2-526727677600的根，或求x的值。([5]，184頁)

偉烈亞力提及的這個解方程的例子源于《數(shù)書九章》“望敵圓營”題：

……俱以約之，得五千二百六十七億二千七百五十七萬七千六百為定實；一百五十三億四千四百六十四為從上廉，一為定益隅，開玲瓏三乘方。[22]*汪曉勤首先揭示此方程的來源([3]，18頁)。

這里描述的是一個開方式，偉氏把這段文字轉(zhuǎn)化為近代代數(shù)學語言“開-x4+1534464x2-526727677600的根，或求x的值”*注意常數(shù)項的十萬位數(shù)字從“5”被誤寫為“6”外，但所列算圖不誤。，并稱解方程的方法為“玲瓏開方”，但這不是準確的傳統(tǒng)中算的說法。檢秦九韶原書，“玲瓏”一詞一共只出現(xiàn)6處，且其中4處均以“開玲瓏某乘方”的形式表述*除前揭引文外，還分別有：“以一為益隅，開玲瓏翻法三乘方”(卷5)；“以一為益隅，開玲瓏三乘方”(卷6)；“以北里乘上廉為實，開玲瓏九乘方”(卷8)([22]，493、505、523頁)。，一處為類似的“開某乘玲瓏方”*“一為定益隅，開連枝三乘玲瓏方，得營徑”([22]，530頁)。，還有一處則是對“玲瓏方”或“玲瓏乘方”的定義性表述：

草曰：以一為從隅；以……一十五里為從七廉；以……七十二為從五廉；以……八百六十四系負差，所乘者為益三廉；……以……得三萬四千九百九十二為實，各置實、廉、隅，玲瓏空耦位。([22]，524～525頁)

由此可知“玲瓏開方”實際上并不是一種開方的程序，“玲瓏(乘)方”相當于高次方程中奇次冪系數(shù)均為零的一種特殊情況，而“開玲瓏某(乘)方”則是指求這種特殊方程的根[23]。其中“玲瓏”所指的是開方式中偶數(shù)位為空，猶如結(jié)構(gòu)巧妙、玲瓏通透的鏤空之物。偉烈亞力將之譯為“有規(guī)律地交錯”(Harmoniously Alternating)，也是可以接受的，但是在偉烈亞力所表述的代數(shù)式中，我們已看不到“玲瓏”的形象。而在《數(shù)書九章》當中，無論是求解玲瓏乘方式還是其他開方式，秦九韶所采用的方法均為“增乘開方法”，即在估出根的第一位數(shù)字后，利用隨乘隨加的方式，求出減根方程中各項的系數(shù)，其特點正是乘法和加法運算交錯運用?；蛟S正因如此，偉烈亞力誤認為“有規(guī)律地交錯”所修飾的是開方或解方程的過程，而不是開方式或者方程本身。

在比較了霍納法與所謂“玲瓏開方”后，偉烈亞力提到：

盡管秦是我們發(fā)現(xiàn)的完整發(fā)展出解決復(fù)雜方程的第一人，但也應(yīng)該注意到，他的一位同時代作者楊輝在他對《九章》的分析中，雖然沒有算例，但給出了極為相似的開平方根和立方根的規(guī)則，被稱為“增乘方”(Accumulating Involution)，此法引自賈憲。([5]，186頁)

這里的“增乘方”當是對《詳解九章算法·纂類》中“增乘〔開立〕方法”[24]沿用，并被偉烈亞力誤讀為“增/乘方/法”。而另一方面，因為“開方”(Evolution)的定義依賴于“乘方”(Involution)，《全書》把這兩個在操作上互逆的概念置于同一詞條，并在該詞條中介紹了霍納法，偉烈亞力或是受此影響而混淆了“乘方”和等價于霍納法的增乘開方法。

然而，盡管偉烈亞力對玲瓏開方式或增乘開方法字面含義的理解有偏差，卻對隱藏其中的復(fù)雜的方法內(nèi)涵有著準確的判斷，并給出了所謂“玲瓏開方”的圖解(圖4)。以下的推測或許可以解釋這個矛盾：偉烈亞力是通過與霍納法圖解的比較進而理解增乘開方術(shù)的；但他所展示的中式開方圖解明顯不是來自《數(shù)書九章》，而很可能是來源于《四元釋例》中的“開方釋例”(圖5)。

圖4 偉烈亞力對“玲瓏開方”的圖解([5]，184頁)

圖5 易之瀚“開方釋例”中的開方術(shù)圖解([27]，19a～b頁)

《四元釋例》最初是易之瀚為羅士琳(1789～1853)《四元玉鑒細草》(1837)而作，主要以《四元玉鑒》中的問題為例，詳細解釋開方術(shù)、天元術(shù)和四元術(shù)等數(shù)學方法所要注意的規(guī)則。易之瀚把該書分為“開方釋例”、“天元釋例”、“四元釋例”，附于羅士琳《四元玉鑒細草》后刊行。到了1839年，羅士琳改刊《四元玉鑒細草》，又為附于后的《四元釋例》添加了“補增諸例”，流傳廣泛[25]。

《略記》中明確提到“羅茗香近年在揚州出版的《四元玉鑒》全書細草(minute illustrations)及三卷釋例(three volumes of rules)”([5]，190頁)*實際上羅士琳的《四元玉鑒細草》為三卷，《四元釋例》為一卷。，顯示出偉烈亞力在寫作《略記》時曾看過羅士琳的《四元釋例》。1882年，牛津大學博德利圖書館購入原屬于偉烈亞力的中文古書[26]。筆者在這批古書中發(fā)現(xiàn)，1839年版《四元釋例》的三個半葉的天頭上有若干條鉛筆筆記。筆記包含了一些代數(shù)式和演算步驟，以印度-阿拉伯數(shù)字和拉丁字母形式表示，是對該葉正文籌式和演草轉(zhuǎn)寫的嘗試([27]，6b、7b、8a頁)。筆者認為，這些筆記在偉烈亞力購入此書前就存在的可能性相當?shù)?，加上筆記的筆跡和偉氏本人簽名的筆跡也有相似之處，它們應(yīng)該是屬于偉氏本人的。

易之瀚和偉烈亞力的開方法圖解的特點，是把計算減根方程各項系數(shù)時的所有加法程序都布置在同一個縱欄里。這種形式的圖解最先由李銳《開方說》中創(chuàng)造[28]，易之瀚在“開方釋例”中加以沿用。*李儼曾指出易氏《釋例》中的部分內(nèi)容“系點竄李銳《開方說》”[29]。通過對比釋例中的增乘開方法圖解“乘方與開方”條中的霍納法圖解，偉烈亞力可以很容易地看出兩者的相似之處，因而對“玲瓏開方”和“增乘方”等術(shù)語的理解偏差并不影響他對增乘開方術(shù)內(nèi)涵的理解。

3.2 天元術(shù)與印度和歐洲代數(shù)學之比較

天元術(shù)的實質(zhì)，是根據(jù)題意立天元一(未知數(shù))并列出兩個等價的天元式(含未知數(shù)的多項式)，然后使兩個天元式相減構(gòu)造出一個開方式的解題方法([23]，128頁)。偉烈亞力認為，13世紀印有“立天元一”(Setting up the Celestial Monad)的算書代表了“數(shù)學的一個新的分支”，并“可以合理地被稱為中國代數(shù)學”；“天元一”中用的“一”(unity或monad)用以表示一個未知數(shù)；這種表示法“與位值理論的延伸運用相結(jié)合”，可以表示未知數(shù)的連續(xù)次冪([5]，181～182頁)。

在這里，偉烈亞力把“立天元一”中的“一”譯為monad或其同義詞unity，并認為它相當于西方代數(shù)學中的未知數(shù)x，表明他對“立天元一”中之“一”為“借一算”的深刻理解。這一理解很可能就是來源于《四元釋例》中“天元借一，其兆實肇于劉徽《九章》‘少廣’所謂‘借一步之’”([27]，2a頁)的判斷。

對于天元式的表達方法，《略記》是這樣描述的：

〔天元〕一有一個“元”字寫在旁邊，以區(qū)分它在算式(column)中的位置。緊接在“元”下面的是自然數(shù)的位置，以漢字“太”標示，意指這是“太極”或無窮極限之位。緊接在“元”上面的是平方項；再接著上面是立方項；再上面是四次方項，如此向上類推?！趯嶋H操作中，用“太”字就省略“元”字；或者用“元”字就省略“太”字。值得注意的是，歐洲最受尊敬的權(quán)威鄭重其事地斷言，中國人不懂位值制的重要意義，我們發(fā)現(xiàn)在此正正相反，他們把這一原理加以推演，到達西方未曾達到的精益求精的程度。([5]，182～183頁)

這里也有兩點能顯示出偉氏對天元術(shù)的理解與《四元釋例》之間的關(guān)聯(lián)。第一，偉烈亞力把天元術(shù)與位值理論相聯(lián)系。他并沒有詳細說明他何以有這樣的判斷，而《四元釋例》“天元釋例”中的第二則，正是十進定位法則([27]，58b頁)。另一方面，在宋代數(shù)學的學習上，李善蘭曾為偉烈亞力提供過幫助[30]。李善蘭在《四元解》中，也針對《四元玉鑒》首四問撰寫了數(shù)條“算例”。他首先指出“凡算式皆自左而右，步而左為十、百、千、萬，步而右為分、厘、毫、絲……”；在算例的第三條則明晰各元次冪所代表的位置——即他所說的“算格”及其排列[31]。因而認識位值在李善蘭看來十分重要，以致他后來更認為中國的四元術(shù)/天元術(shù)與西方代數(shù)學的區(qū)別只是“四元別以位次，代數(shù)以別以記號，法雖殊，理無異也”[32]。偉烈亞力受其影響，在此特別提出“位值理論”，我們也就不難理解了。

第二，偉烈亞力對天元式表達和運算的描述與《四元釋例》相類似。在上述引文后，偉烈亞力解釋道，如果將一個天元式“乘以〔天元〕一，則算式中的每一項(term)上移一層；如果乘以〔天元〕一的平方，則上移兩層；如果是立方，則三層，如此類推”([5]，182～183頁)。這一描述有“天元釋例”的影子：

凡逐層布算之法，以虛數(shù)為天元，旁記元字；真數(shù)為太極，旁記太字。元上必太，太下必元。故有元字不記太字，有太字不記元字。元下一層則元自乘數(shù)，又下一層則元再乘數(shù)。每下一層則增一乘。

……

凡乘法，亦齊其左右兩行，對列互乘。以左行下方一層起自下而上徧乘右行，為乘第一次。又于左行轉(zhuǎn)上一層亦徧乘右行，為乘第二次，所得較第一次所得遞進一層?！?[27]，60a頁)

顯然，偉烈亞力運用了“層”(stage)這一術(shù)語，這與羅士琳、易之瀚，以及李善蘭《四元解》算例中的用法都是一致的。*如“凡除法，若僅有天元或僅有三元者則可以天元除。以除天元一層得太一層；以除太一層得太上一層”([31]，969頁)。對于天元式的乘法運算本身，也恰恰是對“天元釋例”中天元式與天元式相乘的一般情況的理解和翻譯，偉氏認為實際的操作是天元式中的每一項上移(釋例中的“遞進”)若干層。對于他所舉出的特殊情況，更為合理的操作似乎正如郭書春所言：“天元式的表示采取位置值制，故乘除數(shù)為天元冪的乘除法，只要上下移動‘元’字或‘太’字即可”([23]，131頁)。

總的來說，偉烈亞力和李善蘭二人對天元式的描述有不少一致性，這背后蘊藏著他們對相關(guān)問題已有的交流與互動，《四元釋例》極可能是他們在交流過程中的重要參考書籍。

《略記》中只涉及天元術(shù)表示法與歐洲代數(shù)方程的比較，在《代數(shù)學》的英文序言中，偉烈亞力更進一步，把天元術(shù)與古代印度代數(shù)進行比較：

《比賈加尼塔》(原注：據(jù)科爾布魯克譯本第219頁。)的一個注釋本，是寫于1463年一部印度代數(shù)學著作，﹝我選出﹞當中的一個表達式，與古代中國與現(xiàn)代歐洲的方法是等價的，這將使我們對其各自表達方式的特點有一些概念。

印度：

中國：

| 1

歐洲：

x4+6x3+5x2-12x+4

在印度的表示中，術(shù)語yavv等是一些詞的首字母，即ya代表yvat-tvat“數(shù)量”，是未知量的符號，vv代表4次方，gh代表立方，v代表平方，而ru代表rúpa“絕對數(shù)字”(absolute number)?！麄€天元式乘或除以〔天元一的〕多少次方，就上下移動“太”字多少層。[33]

正如偉烈亞力自己所引用的，他給出的例子來自于婆什迦羅第二(Bhskara II)《比賈加尼塔》科爾布魯克譯本，其實是第五章第145條中的一個算式，系數(shù)也完全相同[34]；對術(shù)語的解釋則來自于科氏的注釋([34]，139頁)?！度珪贰按鷶?shù)學”條已向讀者提示參閱科氏譯本，可以推斷偉烈亞力也是根據(jù)這一提示而閱讀科氏譯著，進而展開對印度、中國和歐洲代數(shù)學的比較。

3.3 四元術(shù)與歐洲近代代數(shù)學之比較

四元術(shù)是從天元術(shù)發(fā)展而來的多元聯(lián)立高次方程組代數(shù)學解法，包括四元術(shù)表示法和四元消法兩部分內(nèi)容([23]，131頁)。《略記》沒有涉及四元消法，但描述了偉烈亞力所理解的四元術(shù)表示法：

朱世杰約于1303年出版其《四元玉鑒》；在書中，他運用了“一”來代替未知量和已知量，比起其同時代的學者大大向前推進。四個“一”分別用天、地、人和物來表示。前三個一般用以(但并非必須)表示已知量，而最后一個“物”(偉烈亞力原注：“波斯人和阿拉伯人運用他們各自語言中表示‘物’的單詞表示未知數(shù)，而出于同一目的，意大利人用cosa一詞：由此代數(shù)學在意大利被稱為RegoladelaCosa，在英格蘭就被稱為CossikeArt?！薄侗闶堪倏迫珪罚硪?，325頁。這一巧合令人稱奇。)表示未知量。這里，我們再一次必須承認中國人的優(yōu)先性，因為直到韋達所生活的16世紀以前的歐洲，任意的數(shù)字代表符號并未被用來表示任意數(shù)，而只是表示所求的量?！?/p>

由此，簡單四元式或a+b+c+x被寫成以下形式：

上式的平方，或a2+2ab+2ac+2ax+b2+2bc+2bx+c2+2cx+x2，如下：

一個小小的練習就足以使任何一個人很好地熟悉此算法中的一些術(shù)語。左邊的是地元一或b，被移動到距離“太”有兩層的那個1為b2；旁邊一列，最上的2占據(jù)在與物元一的位置，代表地元與物元的兩倍乘積，即2bx；……([5]，186～187頁)

這里的兩個四元式示例是正確的，源于《四元玉鑒》“四元自乘演段之圖”后解說文字中的兩個四元籌式，偉烈亞力只是把籌式數(shù)字轉(zhuǎn)寫為印度-阿拉伯數(shù)字。在清代較早的宛委別藏本和何刻本《四元玉鑒》中*關(guān)于《四元玉鑒》的版本，參見文獻[25]，33～40頁。，這兩個四元籌式都是不正確的[35- 36]，后來羅士琳在《四元玉鑒細草》中首次做出校正，但并沒有詳細的解釋校正的依據(jù)[37]。而在《四元釋例》“四元釋例”一章中，第一例恰恰就是解釋前一籌式自乘后如何得出后籌式，即天、地、人、物四元自乘及兩兩相乘后如何定位([27]，68a～69a頁)。由此，我們不難推想偉烈亞力仍是通過“四元釋例”的這部分內(nèi)容，然后加以翻譯、介紹的。

偉烈亞力不把天、地、人、物四元解釋為四個未知量，而解釋為一個未知量、三個已知量，推論出中國人先于韋達用字母表示常數(shù)；同時，他又把物元而不是天元解釋為主要的未知量x，并暗示其與“物術(shù)”之間的聯(lián)系。這一結(jié)論并不正確。其原因在于“四元自乘演段之圖”后有文字說明“立勾三股四弦五黃方二”，合并后得第一個籌式；之后所有涉及四元的7個問題則均分別以天元一、地元一、人元一代勾、股、弦，而以物元一為“開數(shù)”即題目所問之數(shù)——盡管勾、股、弦在題目中均為未知([25]，59，63～64，143～144頁)?；蛟S是偉烈亞力的先入為主的觀念，屬于直角三角形三邊的勾、股、弦常以a、b和c代表，于是物元一便以x代表，因而出現(xiàn)了上述并不正確的比較和結(jié)論。這也說明偉烈亞力對于四元術(shù)還沒有全面理解，而且直到1859年《代數(shù)學》出版時，他的這一理解并無太大改變：仍然認為天元一、地元一和人元一所代表的是已知量，僅物元一代表未知量，但不再提及與歐洲“物術(shù)”之間的聯(lián)系([33]，ii～iv頁)。

4 偉烈亞力的比較數(shù)學史觀及其來源

4.1 德摩根的數(shù)學史觀

由前面的論述可知，偉烈亞力對宋元代數(shù)學的理解和描述，在很大程度上受到《四元釋例》的影響。相對地，他對于西方代數(shù)學史的發(fā)展脈絡(luò)的理解則明顯來源于德摩根。關(guān)于德摩根的數(shù)學史觀，理查德茲有以下評論：

19世紀上半葉，德摩根處于其影響力的最高點之時，歷史研究在英國正盛行。……德摩根生于偉大政治史家涌現(xiàn)的時代，他們通過援引英國的歷史而合理化并贊頌英國的現(xiàn)在。在德摩根的數(shù)學史觀中，他體現(xiàn)了同樣的進步精神。……他甚為流行的作品富于歷史的假想與闡釋，這證明了他堅信：數(shù)學常常能通過其歷史而被人作出最好的理解。[38]

也就是說，德摩根受到英國當時盛行的“歷史的輝格解釋”(the Whig interpretation of history)，即贊揚新教徒和輝格黨人成功的革命、強調(diào)歷史上那些導致進步的原則的史學傾向[39- 40]。德摩根和偉烈亞力都共同引用過科爾布魯克所翻譯的《比賈加尼塔》，事實上，這一譯本收于科氏《婆羅摩笈多和婆什迦羅梵文文獻中的代數(shù)，以及算術(shù)與測量》(Algebra，withArithmeticandMensuration，fromtheSanscritofBrahmeguptaandBhscara)當中。在這部著作的開頭，科氏有一篇《論述》，關(guān)于為何要撰寫代數(shù)學史這個問題，《論述》是這樣說的：

科學的歷史，如果它想要有政治史和宏大敘事那樣蕩人心魄的吸引力，它也不能完全拒斥趣味性和知識性。值得贊美的好奇心促使人們探尋知識的來源；而對這一過程的回顧，為相同或相近領(lǐng)域的研究的向前發(fā)展提供指示?！?/p>

在數(shù)學科學的歷史上，一個問題問之有年：代數(shù)分析的發(fā)明歸功于誰？是在什么人群、什么地域當中被發(fā)明出來？由誰來改進和發(fā)展？或者說，由誰的工作讓它成形和成一體系？而最后，這一知識的傳播從什么地區(qū)開始的呢？無疑，人們對為現(xiàn)代歐洲所立即接受知識來源抱有興趣，盡管傳播的渠道仍是一大問題。我們比較確定，阿拉伯人是我們這一研究的間接或直接的導師。但是阿拉伯人幾乎不自詡他們發(fā)現(xiàn)了代數(shù)學?？偟膩碚f，在他們的科學文化極盛的短暫時期，他們不是發(fā)明者而是學者。而代數(shù)分析的最早的萌芽可以在希臘人中找到，雖然不能準確定年，但還是遠遠古于阿拉伯文明最早興起的時代；而這一科學以一個更為高級的狀態(tài)在印度人當中維持，早于阿拉伯人向近代歐洲傳播的最早時代。[41]

顯然，這樣的一種數(shù)學史研究過程，是對現(xiàn)代數(shù)學的“尋根”之旅。科爾布魯克通過對梵文數(shù)學典籍的翻譯和研究，希臘—印度—阿拉伯—歐洲這樣一個數(shù)學知識流傳譜系得以清晰地描繪，這一研究成果成為德摩根理解近代代數(shù)學的思想資源之一，固定在他為《全書》所撰寫的詞條當中，成為近代代數(shù)學知識的一部分?？梢哉f，科爾布魯克影響了德摩根，又間接地影響了偉烈亞力。當科氏的這一譜系在19世紀初的英國形成之時，對這些文明歷史上的數(shù)學知識之間比較研究也在同時進行。但是選擇什么來比較？在輝格史學的框架下，那些與近代數(shù)學相一致的部分就自然被首先選擇出來。如前所述，偉烈亞力在《略記》當中對中西代數(shù)學中相一致的部分描繪相當準確而精彩；而那些因外表相似而產(chǎn)生的錯誤比較，也與他受輝格史學影響，特別強調(diào)中西代數(shù)學知識的相似部分，有著密切關(guān)聯(lián)。

4.2 偉烈亞力的比較數(shù)學史研究在知識和宗教上的實用取向

輝格史觀的另一表現(xiàn)特征是對當下的極大重視。無論是科爾布魯克還是德摩根，都抱有數(shù)學史應(yīng)為當前數(shù)學研究服務(wù)的實用取向。因而，德摩根在實用知識傳播學會出版物中的數(shù)學史知識也成為實用知識之一種。具體到深受其影響的偉烈亞力身上，后者的比較數(shù)學史編撰則兼具知識實用和宗教實用兩重意義。

通過比較中西代數(shù)學，偉烈亞力認為，明清之際耶穌會傳教士把歐洲的舊代數(shù)法“借根方”傳入中國時，“西國于此術(shù)尚未深焉，殆不及天元、四元”，而到了19世紀中葉歐洲人“能如此精絕者”，乃是“好學之效”([20]，序2a頁)。其言下之意，就是說中國人一向有研究這些學問的傳統(tǒng)，但耶穌會士不能把更高級的科學知識帶給中國人，但以他為代表的新教傳教士通過翻譯近代科學著作，就能引起他們的興趣，幫助他們發(fā)展新科學。偉烈亞力在《代數(shù)學》英文序中寫道：

許多本國學者對天元〔術(shù)〕的使用駕輕就熟，這足以證明他們有把握更精深的數(shù)學分支的天賦才能；同時他們近來的一些工作很清楚地顯示，因為缺乏靈活的觀念，他們在巨大的障礙下苦干?，F(xiàn)在的這本譯作擔負著一個期望：通過讓他們掌握一種簡單的方法，使他們可以發(fā)展出他們的數(shù)學理念，從而把他們從困難中解放出來；由于他們被迫采用的方法有所不足，這些理念常常不是十分完美地被陳述出來?！?/p>

一本比德摩根著作要簡單的書無疑已被選擇〔出版〕*指偉烈亞力所編寫的《數(shù)學啟蒙》，即文獻[19]?！坏?，本國學者們顯示出意欲探究原理并演繹結(jié)果的傾向，據(jù)此，有這一特點的一部作品，可能比許多僅有形式規(guī)則的書，更切實地有助于向這門科學的最高級研究邁進；……([33]，iv頁)

正是通過對歷史上的數(shù)學與古代和當下的歐洲數(shù)學做出比較，偉烈亞力一方面承認了中國人的數(shù)學天賦和傳統(tǒng)，另一方面也指出當時中國數(shù)學研究的困境，而《代數(shù)學》的翻譯能夠幫助中國數(shù)學研究走出這一困境。這就是他的比較數(shù)學史在知識進步上的實用意義。偉氏之所以選擇翻譯德摩根的作品，除了德摩根是著名數(shù)學家外，還有中國學者“意欲探究原理并演繹結(jié)果的傾向”這一重要原因。這是偉烈亞力在輝格式的解釋框架下，以其比較數(shù)學史觀考察從中國代數(shù)學史后，總結(jié)出來的數(shù)學研究傳統(tǒng)。因而偉烈亞力向中國引入歐洲近代的代數(shù)學，與其對中國數(shù)學史的理解是密切相關(guān)的。

實用的知識同時可以轉(zhuǎn)化為新教傳教士們在華開展傳教事業(yè)的有利資源。與偉烈亞力同為倫敦會傳教士的艾約瑟重申了明末清初耶穌會士所傳播的是過時的科學知識，認為“科學的極大增長”優(yōu)勝于“中國學問中錯誤的科學”，使得基督教徒及其支持者“占有了一個最有利的位置”，“以更少的困難來說服中國人放棄其傳統(tǒng)觀念”來應(yīng)對儒家的攻擊。[42]作為倫敦會的傳教士，偉烈亞力除了通過描述歷史贊頌現(xiàn)在，他還通過描述數(shù)學史贊頌上帝。在《略記》的最后，他寫道：

難道我們不希望，如果〔中國人〕能得到正確的引導，致使他們尋求科學真理的、別無二致的探尋精神，同樣能教導他們，使他們有所準備，在一個更高、更重要的知識領(lǐng)域進行研究嗎？——甚至使他們了解自身，以及他們的存在與上帝之間的關(guān)系——上帝之名他們依然保留，但其知識已經(jīng)失傳。([5]，194頁)

而在《代數(shù)學》中文序中，偉烈亞力更明確地指出：

抑余自歐洲航海七萬里來中土者，實愛中土之人，欲令明耶穌教，以救厥靈焉。夫帝子降世，舍生救民，乃教中至要之道，《圣經(jīng)》言之甚詳。而余顧汲汲譯此書者，蓋上帝賜人以智能，當用之務(wù)盡，以大顯于世。故凡耶穌之徒，恒殫其心思，以考上帝精微之理。已知者，即以告人；未知者，益講求之。斯不負賦畀之恩。若有智能而不用，或用之而不盡，即為自暴自棄，咎實大焉。此書之譯，所以助人盡其智能，讀此書者，見己心之靈妙，因以感上帝之恩，而思有以報之。是余之深望也夫。([20]，序2b～3a頁)

韓琦首先注意到這兩段文字，并從中揭示出偉烈亞力一如明清之際的耶穌會士，以強調(diào)和傳播科學為手段，實現(xiàn)他們在中國傳播福音的宗教理想([2]，67頁)。耶穌會士與偉氏雖然都以科學作為傳教手段，但他們對中國科學的歷史和現(xiàn)狀的關(guān)注點是不同的。利瑪竇關(guān)注中國所無：批評中國人“沒有邏輯規(guī)則的概念”，“沒有人會愿意費勁去鉆研數(shù)學或醫(yī)學”[44]；又認為歐洲“格物窮理之法視諸列邦為獨備”[45]，當中最基礎(chǔ)的幾何學更是中國所缺乏的，因而翻譯了《幾何原本》。偉烈亞力則關(guān)注中國與歐洲所共有：認為當時歐洲代數(shù)學所取得的成績乃由上帝所賜的“智能”所致，通過書寫可與歐洲比肩的中國數(shù)學史，他就證明了中國人同樣是受上帝眷顧而被賜與智能的人([30]，ii頁)，同樣是能發(fā)展出相關(guān)“抽象科學”*關(guān)于偉烈亞力對“抽象”一詞的理解和運用以及其數(shù)學史學含義，見Karine Chemla，“Abstraction as a value in the historiography of mathematics in ancient Greece and China∶A Historical approach to comparative history of mathematics”， forthcoming.的人群。由此，他可以更好地向中國士人介紹歐洲近代科學，進而讓他們皈依上帝。這是其比較數(shù)學史在宗教傳播上的實用意義。

5 余 論

通過以上的分析，我們現(xiàn)在已經(jīng)可以基本明確，英國德摩根《便士百科全書》數(shù)學詞條，是偉烈亞力比較數(shù)學史學的重要來源。同時，在撰寫《略記》時，特別是進行代數(shù)學中西比較的過程中，偉烈亞力很可能在李善蘭的幫助下，主要參考易之瀚和羅士琳的《四元釋例》，形成了對中國古算的一些洞見。

《略記》的產(chǎn)生與偉烈亞力隨后一系列數(shù)學翻譯出版活動密切關(guān)聯(lián)。事實上有一些代數(shù)學名詞的翻譯，如上文提到的“開方”(evolution)和“乘方”(involution)等，首先就是《略記》在描述中算史時在《全書》中找到對應(yīng)的英譯，然后在《代數(shù)學》的翻譯中直接使用。*關(guān)于《代數(shù)學》中數(shù)學名詞的翻譯，參見文獻[43]。另外，關(guān)于未知數(shù)次冪的表示方式，《代數(shù)學》并未使用拉丁字母上標印度- 阿拉伯數(shù)字的方式，如x3在譯本中表示成“天三”，而后者正是李善蘭《四元解》“算格”中天元位次的表達方式。

至此，我們還可以引申出另一個問題：偉烈亞力是在1847年來華前就已經(jīng)學習代數(shù)、微積分等近代數(shù)學知識，還是來華以后，為了進行中西數(shù)學史的比較才學習相關(guān)知識？筆者傾向于后者。從上可知，偉烈亞力的近代數(shù)學知識首先來源于《全書》，而《全書》作為一部30卷本的洋洋巨著，他并無必要也無可能記住《全書》中所有的數(shù)學詞條。更大的可能是，《全書》或其他的西方百科全書，是當時來華傳教士的案頭工具書，他們能根據(jù)需要迅速地從中獲取相關(guān)知識。*感謝林力娜教授向筆者提示這一十分合理的猜測。當然，偉烈亞力在來華以前也曾努力自學關(guān)于中國的知識[46]([12]，1～3頁)，我們也可以很合理地推測，他主要是以《全書》以及其他學會出版物作為入門的門徑。

理查德·約認為，百科全書傳統(tǒng)是中世紀后期以降的知識傳統(tǒng)：百科全書包羅上帝的真理，當中對自然界的揭示，正是伽利略所稱的除《圣經(jīng)》外“上帝的第二本書”[47]。因為實用知識傳播學會的影響，偉力亞烈從這“第二本書”中獲得當時最新的數(shù)學知識，而同時又通過比較研究，把中國古代數(shù)學納入到這本“書”里面。在這種知識傳統(tǒng)的引領(lǐng)下，偉烈亞力與中國學者合作，產(chǎn)生了眾多影響深遠的工作。

致謝本文部分內(nèi)容曾分別于2015年6月1日巴黎七大古代世界的數(shù)學科學(Mathematical Sciences in the Ancient World)項目討論會和同年9月11日內(nèi)蒙古師范大學科學史大衍論壇上報告，林力娜(Karine Chemla)、Agathe Keller和郭世榮教授等給予了有益的意見和建議。在論文構(gòu)思和撰寫的過程中，筆者曾與林力娜教授多次討論，獲益良多。牛津大學博德利圖書館中文部主管何大偉(David Helliwell)先生在我查閱資料的過程中提供了很大幫助。潘澍原博士幫助斟酌用詞和表述。在此向諸位師友謹致謝忱。

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21 De Morgan A. Algebra[C]//ThePennyCyclopaedia. Vol.I. London: Charles Knight, 1833. 325～326.

22 秦九韶. 數(shù)書九章[M]. 卷8. 影印清“宜稼堂叢書”本//郭書春. 中國科學技術(shù)典籍通匯·數(shù)學卷. 第一分冊. 鄭州: 河南教育出版社, 1993. 530.

23 郭書春. 中國古代數(shù)學[M]. 北京: 商務(wù)印書館, 1997. 116.

24 楊輝. 詳解九章算法[M]. 影印清“宜稼堂叢書”本//郭書春. 中國科學技術(shù)典籍通匯·數(shù)學卷. 第一分冊. 鄭州: 河南教育出版社, 1993. 1023.

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26 Helliwell D.ACatalogueoftheOldChineseBooksintheBodleianLibrary[M]. Vol.2. Alexander Wylie’s Books. Oxford: The Bodleian Library, 1985. vi.

27 易之瀚, 羅士琳. 四元釋例[M]. 清“觀我生室匯稿”本(博德利圖書館藏). 1839.

28 李銳. 開方說[M]. 影印清“白芙堂算學叢書”本//郭書春. 中國科學技術(shù)典籍通匯·數(shù)學卷. 第五分冊. 鄭州: 河南教育出版社, 1993. 5～65.

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32 李善蘭. 代微積拾級序[A]//[美]羅密士. 代微積拾級[M]. 偉烈亞力, 李善蘭, 譯. 上海: 墨海書館, 1859. 1a.

33 Wylie A. English preface of the translation of De Morgan’sAlgebra[M]//[英]棣么甘. 代數(shù)學[M]. 偉烈亞力, 李善蘭, 譯. 上海: 墨海書館, 1859. ii～iii.

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35 朱世杰. 新編四元玉鑒[M]//宛委別藏. 第69冊. 南京: 江蘇古籍出版社, 1988. 4.

36 朱世杰. 新編四元玉鑒[M]. 清何元錫刻本. 1818～1822. 圖2b.

37 羅士琳. 四元玉鑒細草[M]. 清“觀我生室匯稿”本. 1839. 圖2b.

38 Richards J L. De Morgan, the History of Mathematics, and the Foundations of Algebra[J].Isis, 1987, 78(1): 17.

39 Butterfield H. Preface[M]//TheWhiginterpretationofhistory. London: G. Bell and sons, reprint. 1959. v.

40 劉兵. 克麗奧眼中的科學: 科學編史學初論[M]. 上海: 上?？萍冀逃霭嫔? 2009. 36～51.

41 Colebrooke H T. Dissertation[M]//Algebra,withArithmeticandMensuration,fromtheSanscritofBrahmeguptaandBhscara. London: Jonh Murray, 1817. i.

42 Edkins J. The future attitude of China towards Christianity[J].TheChineseRecorder, 1886, 17(11): 413.

43 趙栓林, 郭世榮. 《代數(shù)學》和《代數(shù)術(shù)》中的術(shù)語翻譯規(guī)則[J]. 內(nèi)蒙古師范大學學報(自然科學漢文版), 2007, 36(6): 687～693.

44 利瑪竇, 金尼閣. 利瑪竇中國札記[M]. 何高濟, 王遵仲, 李申, 譯. 北京: 中華書局, 1983. 31, 34.

45 利瑪竇. 幾何原本序[C]//郭書春. 中國科學技術(shù)典籍通匯·數(shù)學卷. 第五分冊. 鄭州: 河南教育出版社, 1993. 1151.

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