侯守武

(1. 中國電子科技集團(tuán)公司第三十八研究所, 安徽 合肥 230088； 2. 國家級工業(yè)設(shè)計(jì)中心， 安徽 合肥 230088)

引 言

平面陣天線定向性強(qiáng)，易于根據(jù)實(shí)際需求形成單波束、多波束、賦形波束和錐狀波束，還可以通過掃描的方式使其主波瓣指向空間的任一方向，現(xiàn)已廣泛應(yīng)用于雷達(dá)跟蹤、制導(dǎo)、地物測繪、氣象探測和導(dǎo)航等軍民雷達(dá)領(lǐng)域[1]。為保證平面陣天線的電性能指標(biāo)，單元的安裝精度具有較高的要求。在振動(dòng)、重力、溫度等環(huán)境載荷下，雷達(dá)陣面的變形誤差引起天線單元的相對位置發(fā)生變化，影響天線的增益、旁瓣電平和指向精度[2]。因此，在設(shè)計(jì)過程中需要對雷達(dá)天線在振動(dòng)載荷下的變形進(jìn)行分析，嚴(yán)格控制天線變形量。文獻(xiàn)[3]利用有限元法分析了某相控陣天線在重力和溫度載荷下的變形，基于最佳吻合平面算法獲得天線陣面的靜態(tài)平面度誤差和方位指向誤差。文獻(xiàn)[4]通過建立隨機(jī)振動(dòng)對機(jī)載雷達(dá)陣列天線電性能影響的數(shù)學(xué)模型，分析了隨機(jī)振動(dòng)對雷達(dá)天線電性能的影響，提出了一種考慮隨機(jī)振動(dòng)影響的機(jī)載雷達(dá)機(jī)電綜合設(shè)計(jì)方法。

本文提出利用最小二乘法評定平面度來分析平面陣的變形誤差，采用坐標(biāo)變換方法獲得變形平面的轉(zhuǎn)動(dòng)角度和平動(dòng)位移，評估平面陣的變形特性。通過計(jì)算某平面陣?yán)走_(dá)的振動(dòng)變形，提取雷達(dá)陣面的變形位移，利用最小二乘法擬合變形后的平面，獲得陣面的平面度，并進(jìn)一步分析雷達(dá)陣面的整體轉(zhuǎn)動(dòng)角度和平動(dòng)位移，全面評估雷達(dá)在振動(dòng)環(huán)境下的變形特性。

1 最小二乘法評定平面度

最小二乘法評定平面度的方法是采用實(shí)際測量平面的最小二乘中心平面作為理想基準(zhǔn)平面，平面度為實(shí)際平面相對理想平面的變動(dòng)量[5]。

平面方程的表達(dá)式為：

z=ax+by+c

(1)

(2)

根據(jù)極限定理，有：

(3)

簡化式(3)并寫成矩陣形式：

AT=B

(4)

式中：

則：

T=A-1B

(5)

根據(jù)點(diǎn)到平面距離公式：

(6)

可以計(jì)算出所有測點(diǎn)到最小二乘中心平面的距離，中心平面一側(cè)的點(diǎn)的距離為正值，另一側(cè)為負(fù)值，實(shí)際平面的平面度為max(d)-min(d)。

2 空間坐標(biāo)變換方法評定平面剛性位移

2.1 空間坐標(biāo)變換

平面變形前后的坐標(biāo)值均在全局坐標(biāo)系中得到，變形后平面轉(zhuǎn)動(dòng)的評定基于變形前平面的坐標(biāo)系，因此，評定平面轉(zhuǎn)動(dòng)角度時(shí)，首先將變形前后平面的全局坐標(biāo)值變換到變形前平面的局部坐標(biāo)系中。

設(shè)全局坐標(biāo)系和局部坐標(biāo)系分別為O-XYZ和O′-X′Y′Z′(見圖1)，點(diǎn)O′在全局坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為(x0,y0,z0)，設(shè)局部坐標(biāo)系相對于X、Y、Z軸按右手定則旋轉(zhuǎn)的角度分別為α、β、γ，則由O-XYZ變換到O′-X′Y′Z′的變換公式為：

P=RP′+T

(7)

式中：全局坐標(biāo)P=[xyz]T，局部坐標(biāo)P′=[x′y′z′]T，平動(dòng)向量T=[x0y0z0]T，旋轉(zhuǎn)矩陣：

式中：

r11=cosβcosγ

r12=-cosαsinγ+sinαsinβcosγ

r13=sinαsinγ+cosαsinβcosγ

r21=cosβsinγ

r22=cosαcosγ+sinαsinβsinγ

r23=-sinαcosγ+cosαsinβsinγ

r31=-sinβ

r32=sinαcosβ

r33=cosαcosβ

當(dāng)轉(zhuǎn)角α、β、γ均很小時(shí)，r11=1，r12=-γ，r13=β，r21=γ，r22=1，r23=-α，r31=-β，r32=α，r33=1，α、β、γ的單位為弧度。

圖1 空間坐標(biāo)變換

2.2 變形平面的轉(zhuǎn)動(dòng)角度

(8)

(9)

n1和n2與X′軸正方向的夾角：

(10)

(11)

則n1至n2的轉(zhuǎn)角：

θZ′=θ2X′-θ1X′

(12)

同理可以求得繞X′軸和Y′軸的轉(zhuǎn)角θX′和θY′。

2.3 變形平面的平動(dòng)位移

變形后平面上各點(diǎn)均產(chǎn)生了相應(yīng)的位移，每個(gè)測點(diǎn)的位移值也不盡相同，為考察平面的平動(dòng)位移，以平面的形心在局部坐標(biāo)系中的平動(dòng)位移作為平面剛性變形量。

首先利用插值方法確定未變形平面形心PC的坐標(biāo)(xC,yC,zC)，或者將測點(diǎn)選定在平面形心，過形心且與最小二乘擬合平面垂直的直線方程為：

(13)

(14)

3 平面陣?yán)走_(dá)振動(dòng)變形特性分析

3.1 平面陣?yán)走_(dá)分析模型

某平面陣?yán)走_(dá)結(jié)構(gòu)如圖2所示，由機(jī)械結(jié)構(gòu)和陣面構(gòu)成，其中機(jī)械結(jié)構(gòu)包括支架、旋轉(zhuǎn)部件、框架。在有限元分析模型中，支架和陣面采用殼單元，框架和旋轉(zhuǎn)部件采用實(shí)體單元，框架上的負(fù)載以集中質(zhì)量模擬。定義模型坐標(biāo)系原點(diǎn)位于旋轉(zhuǎn)部件轉(zhuǎn)軸中心，陣面法向?yàn)閦軸方向，坐標(biāo)系符合右手定則，坐標(biāo)系方向如圖中所示。

3.2 雷達(dá)結(jié)構(gòu)振動(dòng)變形

雷達(dá)結(jié)構(gòu)振動(dòng)試驗(yàn)條件：20～500 Hz恒加速度正弦振動(dòng)，加速度幅值為2g。正弦振動(dòng)時(shí)，當(dāng)激勵(lì)頻率與固有頻率吻合時(shí)，結(jié)構(gòu)的振動(dòng)變形最大。以振動(dòng)試驗(yàn)載荷施加于支架安裝位置，計(jì)算雷達(dá)結(jié)構(gòu)的振動(dòng)響應(yīng)。

圖3給出了激勵(lì)載荷分別沿x、y、z向時(shí)，結(jié)構(gòu)發(fā)生主方向一階共振時(shí)的位移分布，最大位移分別為11.37 mm、1.797 mm和11.59 mm。最大變形均發(fā)生在遠(yuǎn)離支架一側(cè)的陣面端部，其中x向激勵(lì)時(shí)陣面繞z軸轉(zhuǎn)動(dòng)，y向激勵(lì)時(shí)陣面繞x軸轉(zhuǎn)動(dòng)，z向激勵(lì)時(shí)陣面繞x軸轉(zhuǎn)動(dòng)。

圖3 結(jié)構(gòu)共振時(shí)的變形分布

3.3 陣面變形特性分析

提取雷達(dá)陣面的振動(dòng)位移，利用最小二乘法評定陣面平面度，利用空間坐標(biāo)變換方法計(jì)算陣面的剛性位移。為全面反映雷達(dá)陣面的變形特性，在陣面表面選取均布的9行9列共81個(gè)節(jié)點(diǎn)。

圖4給出了雷達(dá)陣面變形平面與擬合平面的空間位置，各階模態(tài)共振時(shí)的平面度分別為0.25 mm、0.03 mm、0.16 mm，可見x向激勵(lì)共振時(shí)平面度最大，為0.25 mm。從圖中可以看出，x向激勵(lì)時(shí)陣面發(fā)生了沿對角的翹曲，y向激勵(lì)時(shí)陣面四角向下彎曲，z向激勵(lì)時(shí)陣面沿短邊向下彎曲。

圖4 不同方向激勵(lì)共振時(shí)陣面變形平面與擬合平面

x向激勵(lì)共振時(shí)，陣面繞各坐標(biāo)軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角度分別為0.234 6°、0.066 4°、1.652°，形心平動(dòng)位移分別為0.009 mm、0.003 3 mm、0.806 9 mm。y向激勵(lì)共振時(shí)，陣面繞各坐標(biāo)軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角度分別為0.134 6°、0.002 1°、0.000 7°，形心平動(dòng)位移分別為0 mm、0.001 mm、0.409 9 mm。z向激勵(lì)共振時(shí)，陣面繞各坐標(biāo)軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角度分別為1.778 2°、-0.010 7°、0.222 4°，形心平動(dòng)位移分別為0.000 5 mm、0.191 4 mm、6.169 1 mm。從雷達(dá)陣面變形前后的相對位移(圖5)可以明顯看出，x向激勵(lì)共振時(shí)，陣面表現(xiàn)為繞z軸轉(zhuǎn)動(dòng)的同時(shí)繞x軸轉(zhuǎn)動(dòng)，y向和z向激勵(lì)共振時(shí)，陣面表現(xiàn)為繞x軸轉(zhuǎn)動(dòng)的同時(shí)沿z軸上移。

圖5 不同方向激勵(lì)共振時(shí)陣面變形平面與原始平面

4 結(jié)束語

本文利用最小二乘法擬合變形平面的理想平面，評定變形平面的變形誤差，采用坐標(biāo)變換方法計(jì)算變形平面的剛性位移，獲得變形平面相對于原始平面的轉(zhuǎn)動(dòng)和平動(dòng)量，評估平面陣?yán)走_(dá)在振動(dòng)環(huán)境下的變形。通過計(jì)算某平面陣?yán)走_(dá)的平面度、剛性轉(zhuǎn)動(dòng)角度和平動(dòng)位移，全面分析了平面陣?yán)走_(dá)在振動(dòng)環(huán)境下的振動(dòng)變形特性。

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