李壽英+王世峰+陳政清

摘 要：采用數(shù)值方法，研究了阻尼器支架剛度對懸索橋吊索減振效果的影響.首先，將阻尼器支架簡化為彈簧振子模型，建立了吊索阻尼器支架系統(tǒng)的自由振動偏微分方程組.其次，對不連續(xù)的狄拉克函數(shù)進行近似處理，采用有限差分方法對該方程進行數(shù)值離散求解，研究了阻尼器支架剛度對無量綱阻尼比曲線、可實現(xiàn)的最優(yōu)阻尼比及其對應(yīng)的最優(yōu)阻尼系數(shù)等的影響，研究了阻尼器支架模態(tài)質(zhì)量的影響，并與相關(guān)文獻結(jié)果進行比較.研究結(jié)果表明，隨著阻尼器支架剛度的減小，能實現(xiàn)的最優(yōu)阻尼比減小，對應(yīng)的最優(yōu)阻尼系數(shù)也減小，會影響阻尼器效率；另外，各階模態(tài)的無量綱阻尼比曲線不一致，不能采用統(tǒng)一的無量綱阻尼比曲線來設(shè)計阻尼器參數(shù)；阻尼器支架的模態(tài)質(zhì)量對阻尼器效率影響很小.

關(guān)鍵詞：懸索橋吊索；阻尼器；支架剛度；阻尼

中圖分類號：TU973.3 文獻標志碼：A

大跨纜索承重橋梁中的索結(jié)構(gòu)，屬于細長結(jié)構(gòu)，阻尼小、質(zhì)量輕、頻率低，極易在風荷載或是橋面激勵的作用下發(fā)生大幅振動，如風雨激振[1-2]、渦激共振[3]、尾流弛振[4]和參數(shù)共振等，嚴重影響索結(jié)構(gòu)甚至橋梁整體結(jié)構(gòu)的安全.多座懸索橋的吊索，如日本明石海峽大橋、丹麥大海帶東橋和中國西堠門大橋[5]等，都出現(xiàn)了嚴重的風致振動.研究人員采用各種控制措施對索結(jié)構(gòu)振動進行控制，主要包括空氣動力學措施[6-7]和機械控制措施[8]，在索結(jié)構(gòu)端部安裝阻尼器就是最為常用的一種[8].

很多學者對索結(jié)構(gòu)端部安裝阻尼器的控制效果進行過研究.Kovacs[9]在張緊弦阻尼器系統(tǒng)的基礎(chǔ)上，對系統(tǒng)的最優(yōu)模態(tài)阻尼比及其相應(yīng)的最優(yōu)阻尼器阻尼系數(shù)做了近似研究；Pacheco和Fujino[10]運用Galerkin方法對水平緊張弦阻尼器系統(tǒng)進行離散，分別以無量綱的模態(tài)阻尼比和無量綱的阻尼器阻尼系數(shù)作為橫、縱坐標，得到了一條“統(tǒng)一近似曲線”，明確地給出了系統(tǒng)阻尼比與阻尼器阻尼系數(shù)的關(guān)系，這一關(guān)系在之后的索結(jié)構(gòu)阻尼器設(shè)置中得到了廣泛的應(yīng)用；Krenk[11]也以張緊弦模型為基礎(chǔ)，推導出“統(tǒng)一近似曲線”的解析式.以上述研究為理論基礎(chǔ)，阻尼器在實際的拉索振動控制中得到了廣泛的應(yīng)用，王修勇和陳政清等[12]通過數(shù)值仿真和現(xiàn)場試驗評估了磁流變阻尼器對斜拉橋風雨激振的減振性能；李壽英和顧明等[13]研究了阻尼器對斜拉橋風雨激振的減振效果.實際上，在橋梁上安裝阻尼器時，阻尼器效率受到多種因素的制約，如阻尼器支架剛度、阻尼器剛度及其非線性特性等，周亞剛和孫利民[14]以斜拉索三單元Maxwell阻尼器系統(tǒng)為基礎(chǔ)，研究阻尼器支架剛度、阻尼器剛度等對控制效率的影響.

斜拉橋拉索斜向布置，較低的阻尼器安裝位置即可獲得較大的模態(tài)阻尼比.與此不同的是，懸索橋吊索豎向布置，為實現(xiàn)較大的模態(tài)阻尼比，阻尼器支架應(yīng)設(shè)置較高，其剛度可能會對阻尼器的控制效率產(chǎn)生較大的影響.基于此，本文以彈簧和質(zhì)量振子分別模擬阻尼器支架剛度和模態(tài)質(zhì)量，建立了吊索阻尼器支架系統(tǒng)的運動微分方程，采用有限差分方法，對該系統(tǒng)進行了自由振動分析，研究了阻尼器支架剛度對懸索橋吊索振動控制效率的影響，并與已有文獻成果進行了比較研究.

1 吊索阻尼器支架系統(tǒng)的運動方程

吊索阻尼器支架系統(tǒng)如圖1所示.該模型將拉索簡化為張緊弦，將支架簡化成彈簧振子體系.其中拉索張力為T，長度為L，單位長度質(zhì)量為M，單位長度上內(nèi)阻尼系數(shù)為cl；阻尼器位于離拉索端部xc處，阻尼器阻尼系數(shù)為c；支架模態(tài)質(zhì)量為mz，剛度為kz.為減少篇幅，

尼比小于0.50，且各階模態(tài)的無量綱阻尼比曲線不重合，如kz=5×105 N/m時第1，2，3階模態(tài)的最優(yōu)無量綱阻尼比分別為0.30，0.24，0.18；kz=1×106時第1，2，3階最優(yōu)無量綱阻尼比分別為0.34，0.37，0.38.另外，從圖4（a）和（b）還可以看出，當剛度比較小時，低階模態(tài)的最優(yōu)阻尼比要大于高階模態(tài)的最優(yōu)阻尼比，并且剛度越小差異越大.

圖4給出了不同剛度下的一階模態(tài)無量綱阻尼比曲線.從圖4中可以看出，當支架剛度系數(shù)分別為kz=5×105 N/m，1×106 N/m，5×106 N/m，1×107 N/m以及∞時，一階模態(tài)最優(yōu)無量綱阻尼比分別為0.30，0.38，0.48，0.51和0.52，對應(yīng)的最優(yōu)無量綱阻尼系數(shù)分別為0.055，0.075，0.085，0.095，0.100.也就是說，隨支架剛度的增大，最優(yōu)模態(tài)阻尼比逐漸增大，最優(yōu)阻尼器阻尼系數(shù)也逐漸增大，這與周亞剛和孫利民[14]的結(jié)論相同.

周亞剛和孫利民[14]采用無量綱阻尼系數(shù)η=c/TM和支架無量綱柔度系數(shù)f=T/kzxc來繪制無量綱阻尼比曲線，其橫坐標為ηixc/L（圖3橫坐標c/MLω01·i·xc/L的1/π倍），縱坐標為ξi/xc/L（與圖3縱坐標同）.圖5給出了支架無量綱柔度系數(shù)分別為f=0，f=0.05，f=0.1，f=1時的無量綱阻尼比曲線（對應(yīng)剛度值分別為：kz=∞，kz=3.54×106 N/m，kz=1.77×106 N/m，kz=1.77×105 N/m），包括本文結(jié)果和文獻[14]結(jié)果.從圖5（a）中可以看出，可實現(xiàn)的最大無量綱阻尼比分別為0.52，0.48，0.43和0.175，對應(yīng)的文獻[14]的結(jié)果分別為0.50，0.485，0.45和0.25.當支架柔度很?。▌偠群艽螅r，本文結(jié)果與文獻[14]的結(jié)果較為接近；當支架柔度較大時，兩者結(jié)果相差較大.這主要是因為文獻[14]中的近似解析方法忽略了波數(shù)的微小攝動項，并假設(shè)xc/L趨于零.從總體上來說，本文和文獻[14]結(jié)果吻合較好.

[c/（MLω01）]i（xc/L）

3.2 最優(yōu)無量綱阻尼比

從圖6中可以看出，能實現(xiàn)的最優(yōu)阻尼比隨支架剛度的增大而增大，同時曲線斜率不斷減小，并且前三階模態(tài)下三條曲線基本重合（小剛度情況下稍有差異）.圖4中可以看出理想狀態(tài)下（kz→∞）能實現(xiàn)的最大無量綱阻尼比為0.52.因此可以推斷圖6中曲線的漸近線為ξMAX/xc/L=0.52.可以看出，當支架剛度增大到一定值以后，能實現(xiàn)的最大阻尼比增加量很小，所以一味增加支架剛度勢必會增加成本，這一點在支架設(shè)計時應(yīng)予以考慮.

3.3 最優(yōu)無量綱阻尼系數(shù)

該曲線變化規(guī)律與

3.4 支架模態(tài)質(zhì)量的影響

本文模型考慮了支架的模態(tài)質(zhì)量.圖8和圖9分別給出了不同支架模態(tài)質(zhì)量下最優(yōu)無量綱阻尼比及其對應(yīng)的最優(yōu)無量綱阻尼系數(shù)隨支架剛度的變化曲線.從圖8和圖9中可以看出，支架模態(tài)質(zhì)量對可實現(xiàn)的最優(yōu)阻尼比及其對應(yīng)的最優(yōu)阻尼器阻尼系數(shù)的影響很小，在實際設(shè)計中，支架質(zhì)量可以不予考慮.

3.5 算 例

圖10給出了國內(nèi)某橋上阻尼器鋼結(jié)構(gòu)支架的示意圖，通過兩塊鋼板焊接而成，截面自下而上收縮.以前述某橋吊索為例，阻尼器支架高度1.8 m，豎向設(shè)置，該支架剛度kz=2.8×106 N/m，無量綱剛度為kzxcT=13.58，對應(yīng)的最大無量綱阻尼比為ξMAXxc/L=0.45，為理想狀態(tài)下的87%.從圖11中可以看出，理想情況下最優(yōu)無量綱阻尼比所對應(yīng)的最優(yōu)無量綱阻尼系數(shù)與實際情況下的最優(yōu)無量綱阻尼系數(shù)并不相等，所以在實際設(shè)計中，如果按照理想狀態(tài)下的曲線來確定阻尼器的阻尼系數(shù)，實際得到的阻尼比為0.43，為理想狀態(tài)下的83%.如需對多階模態(tài)同時達到較好的效果，可實現(xiàn)的阻尼比還會進一步降低.

4 主要結(jié)論

建立了吊索阻尼器支架系統(tǒng)的運動微分方程，采用有限差分方法，對該系統(tǒng)進行了自由振動分析，得到如下主要結(jié)論：

1）阻尼器支架剛度較小時，可實現(xiàn)的最優(yōu)無量綱阻尼比遠小于0.5，且各階模態(tài)的無量綱阻尼比曲線不一致，不能采用統(tǒng)一的無量綱阻尼比曲線來設(shè)計阻尼器參數(shù).

2）隨著阻尼器支架剛度的減小，能實現(xiàn)的最優(yōu)阻尼比減小，最優(yōu)阻尼系數(shù)也減小，嚴重影響阻尼器效率.

3）阻尼器支架的模態(tài)質(zhì)量對阻尼器效率影響很小.

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