祝志文 袁濤+陳政清+鄧燕華??

摘 要：為研究平板氣動(dòng)力系統(tǒng)的非線性特征，基于非定常雷諾時(shí)均NavierStokes （RANS）方程和SST kω湍流模型，數(shù)值模擬了在單位位移激勵(lì)下平板非定常運(yùn)動(dòng)的繞流場(chǎng)，獲得了作用在平板上的氣動(dòng)力時(shí)程，并基于Volterra理論開(kāi)展了平板非線性氣動(dòng)力系統(tǒng)識(shí)別.研究表明，本文建立的平板非線性氣動(dòng)力模型能對(duì)一定頻率帶寬和一定幅值范圍的激勵(lì)產(chǎn)生合理的響應(yīng)；在本文研究的強(qiáng)迫運(yùn)動(dòng)位移幅值和頻率范圍內(nèi)，平板非線性氣動(dòng)力模型響應(yīng)沒(méi)有表現(xiàn)出對(duì)振動(dòng)幅值和頻率的明顯相關(guān)性，且其氣動(dòng)力的非線性效應(yīng)并不明顯，因而可以認(rèn)為小攻角下的平板繞流屬于氣動(dòng)力弱非線性系統(tǒng).本文研究證明了CFD模擬在橋梁主梁氣動(dòng)力系統(tǒng)識(shí)別上的明顯優(yōu)勢(shì).

關(guān)鍵詞：氣動(dòng)力非線性；平板；Volterra理論；CFD

中圖分類(lèi)號(hào)：U448.213 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

不斷突破橋梁跨徑記錄的跨江跨海工程需求和新材料、新結(jié)構(gòu)形式的應(yīng)用，可能會(huì)使得大跨度橋梁的頻率和阻尼不斷降低，因而導(dǎo)致結(jié)構(gòu)或其構(gòu)件對(duì)風(fēng)的敏感程度大大增加.合理評(píng)價(jià)大跨度橋梁氣動(dòng)性能，準(zhǔn)確預(yù)測(cè)橋梁風(fēng)致振動(dòng)穩(wěn)定性，對(duì)保障大跨度橋梁設(shè)計(jì)合理和運(yùn)營(yíng)安全具有深遠(yuǎn)意義.然而，現(xiàn)有橋梁抗風(fēng)研究涉及的風(fēng)荷載，均是建立在氣動(dòng)力的線性模型之上.以氣彈分析廣泛采用Scanlan自激力模型為例[1]，對(duì)二自由度橋梁斷面而言，其氣動(dòng)自激力表達(dá)為位移、速度與顫振導(dǎo)數(shù)的線形組合形式，也即氣彈自激力是通過(guò)線性疊加多項(xiàng)而得到，其中每一項(xiàng)與位移或速度有關(guān)，實(shí)際反映的是不同廣義位移對(duì)應(yīng)的相對(duì)攻角所產(chǎn)生的效應(yīng)，這是一種典型的線性顫振理論.因此，Scanlan這一橋梁顫振理論也是基于線性和小擾動(dòng)理論，沒(méi)有考慮橋梁氣動(dòng)外形對(duì)氣流場(chǎng)可能產(chǎn)生的大擾動(dòng)，以及大跨度橋梁大幅運(yùn)動(dòng)對(duì)氣流場(chǎng)的強(qiáng)烈干擾，如流動(dòng)分離、再附和渦系的相互作用.這些流動(dòng)現(xiàn)象是橋梁氣流場(chǎng)的非線性行為，將導(dǎo)致氣動(dòng)力響應(yīng)呈現(xiàn)非線性特性，這在Scanlan的早期研究中就有闡述，后續(xù)研究者也有類(lèi)似報(bào)導(dǎo)[2].流動(dòng)非線性對(duì)大跨度橋梁氣彈響應(yīng)和顫振穩(wěn)定性的影響目前并不清楚.因此，對(duì)氣動(dòng)外形明顯鈍化的橋梁主梁，或大幅度振動(dòng)的橋梁結(jié)構(gòu)，研究氣動(dòng)力的非線性，有助于給出大跨度橋梁風(fēng)致振動(dòng)穩(wěn)定性的合理評(píng)價(jià).

3.2 計(jì)算域網(wǎng)格及流動(dòng)條件

包含平板主梁模型的計(jì)算域及分區(qū)如圖4所示.采用圓形計(jì)算域，計(jì)算域外圓到平面中心的距離均為16B，對(duì)應(yīng)的模型堵塞度不到0.2%，因此無(wú)需考慮模型堵塞度帶來(lái)的影響.采用計(jì)算域分區(qū)劃分以控制網(wǎng)格的正交性和網(wǎng)格縮放比.在平板模型外第一個(gè)分區(qū)為橢圓形“剛性網(wǎng)格區(qū)”， CFD模擬模型運(yùn)動(dòng)時(shí)，該區(qū)域網(wǎng)格與模型剛性固定，在每一時(shí)間步上與模型同步運(yùn)動(dòng).該剛性網(wǎng)格區(qū)外邊界為橢圓，對(duì)該區(qū)域作四邊形結(jié)構(gòu)網(wǎng)格劃分.計(jì)算域的絕大部分區(qū)域?yàn)椤办o止網(wǎng)格區(qū)”，該區(qū)域外邊界是計(jì)算域外邊界，內(nèi)邊界為離開(kāi)剛性網(wǎng)格區(qū)外橢圓一定距離，且包圍剛性網(wǎng)格區(qū)的圓形.靜止網(wǎng)格區(qū)采用四邊形單元剖分，從內(nèi)到外采用合適的網(wǎng)格放大比例.靜止網(wǎng)格區(qū)和剛性網(wǎng)格區(qū)在CFD模擬過(guò)程中一直使用計(jì)算開(kāi)始時(shí)的網(wǎng)格系統(tǒng).在“靜止網(wǎng)格區(qū)”和“剛性網(wǎng)格區(qū)”之間為“動(dòng)網(wǎng)格區(qū)”，“動(dòng)網(wǎng)格區(qū)”采用三角形單元剖分.在每一時(shí)間步上，“動(dòng)網(wǎng)格區(qū)”根據(jù)橋梁斷面的運(yùn)動(dòng)位置并由設(shè)定的網(wǎng)格系統(tǒng)質(zhì)量要求可能需重新進(jìn)行網(wǎng)格劃分.緊靠橋梁斷面的區(qū)域流場(chǎng)變量變化劇烈，特別是斷面迎風(fēng)側(cè)和斷面法向，因此網(wǎng)格劃分適應(yīng)流場(chǎng)變量的變化程度，并沿各個(gè)方向采用適度的網(wǎng)格放大率，實(shí)現(xiàn)與動(dòng)網(wǎng)格區(qū)域網(wǎng)格的平順過(guò)渡，如圖5所示.計(jì)算域的網(wǎng)格總數(shù)為96 226.

邊界條件設(shè)置為：計(jì)算域入口水平均勻速度邊界，湍流度為零；下游出口施加流動(dòng)出口邊界條件；模型表面使用無(wú)滑移壁面條件；初始場(chǎng)采用入口速度初始化.數(shù)值計(jì)算采用非定常二階隱式格式，采用速度壓力解耦的SIMPLE算法，二階格式離散壓力方程，動(dòng)量、湍動(dòng)能和湍流耗散率方程均采用二階迎風(fēng)格式，數(shù)值模擬的Re=3.08×105，本文所有數(shù)值模擬均基于CFD專(zhuān)用程序Fluent 6.3.26開(kāi)展.

3.3 單位采樣激勵(lì)的實(shí)現(xiàn)

在CFD模擬中，連續(xù)型Volterra級(jí)數(shù)無(wú)法使用，需采用離散型的Volterra級(jí)數(shù)形式.對(duì)小攻角下平板模型，因其有較好的氣動(dòng)外形，氣動(dòng)力中的非線性可能并不顯著.對(duì)此類(lèi)弱非線性氣動(dòng)力系統(tǒng)，本文嘗試識(shí)別其一階核.

本文考慮橋梁豎向運(yùn)動(dòng)，計(jì)算由此產(chǎn)生的非線性氣動(dòng)力.根據(jù)本文公式（4）～（5）定義的離散時(shí)間域內(nèi)的單位脈沖和二維單位脈沖信號(hào)，編制UDF程序?qū)崿F(xiàn)單位位移激勵(lì).圖6為單位采樣函數(shù)，按照定義，作為位移量的u0的值應(yīng)該取1，也即為很短時(shí)間內(nèi)強(qiáng)迫橋梁斷面的豎向位移量.但當(dāng)賦予單位采樣函數(shù)實(shí)際物理意義時(shí)，本文將u0取值為0.002B.為了適應(yīng)數(shù)值計(jì)算，定義在τ時(shí)刻給予計(jì)算模型單位采樣激勵(lì)，而在τ+Δt時(shí)刻回到初始位置，其中Δt為非定常CFD計(jì)算時(shí)間步長(zhǎng)，本文為0.005 s.由于單位位移激勵(lì)作用的時(shí)間極短，這種極短的位移激勵(lì)在現(xiàn)有的風(fēng)洞試驗(yàn)條件下幾乎無(wú)法實(shí)現(xiàn)，但這在CFD模擬中可以方便地實(shí)現(xiàn)，這表明了CFD模擬的巨大優(yōu)勢(shì).

系統(tǒng)的一階核是時(shí)間的一維函數(shù)，一階核表示非線性系統(tǒng)的線性子系統(tǒng)響應(yīng)，它可以反映一定的非線性行為，與純粹的線性系統(tǒng)響應(yīng)是不一樣的.由公式（10）可知，在識(shí)別系統(tǒng)的一階核時(shí)，并不需要延時(shí)的激勵(lì)作用.CFD模擬時(shí)，強(qiáng)迫平板模型在很短的時(shí)間快速向上運(yùn)動(dòng)（為正），此時(shí)，模型將受到為負(fù)的氣動(dòng)升力作用.

圖7為平板模型非線性氣動(dòng)升力系數(shù)的一階核，前3個(gè)時(shí)間步出現(xiàn)波動(dòng)，這是突加模型運(yùn)動(dòng)導(dǎo)致的氣動(dòng)力振蕩.圖8為平板模型非線性氣動(dòng)扭矩系數(shù)的一階核，也在前兩個(gè)時(shí)間步出現(xiàn)波動(dòng).這種劇烈的波動(dòng)與CFD模擬的時(shí)間步長(zhǎng)和運(yùn)動(dòng)幅值有較大關(guān)系，過(guò)小的時(shí)間步長(zhǎng)和過(guò)大的運(yùn)動(dòng)幅值會(huì)加劇這種波動(dòng)，可能引起CFD模擬的數(shù)值誤差.因此，識(shí)別核時(shí)需要盡可能減少這種劇烈波動(dòng)，本文選取了最佳的時(shí)間步長(zhǎng)和運(yùn)動(dòng)幅值.從圖7和圖8時(shí)程的局部放大可知，一階核很快就衰減，說(shuō)明某一時(shí)間步的模型運(yùn)動(dòng)，僅對(duì)后續(xù)系統(tǒng)的氣動(dòng)力產(chǎn)生有限時(shí)間步的影響.

3.5 氣動(dòng)力模型仿真

設(shè)平板非線性氣動(dòng)力系統(tǒng)屬于時(shí)不變系統(tǒng).對(duì)弱非線性氣動(dòng)力系統(tǒng)，如不考慮二階及以上核，在獲得了非線性系統(tǒng)的一階核后，就可建立對(duì)應(yīng)的非線性氣動(dòng)力系統(tǒng)模型.該系統(tǒng)對(duì)于任何輸入u[t]的響應(yīng)w[t]，都可通過(guò)卷積公式（2）求得.為驗(yàn)證本文非線性氣動(dòng)力模型的合理性，可對(duì)氣動(dòng)力模型進(jìn)入輸入激勵(lì)，觀察模型的氣動(dòng)力響應(yīng).本文豎向運(yùn)動(dòng)激勵(lì)采用正弦位移輸入[12]：

u（t）=h0sin （2πfht） （18）

式中h0和fh分別為正弦位移輸入的幅值和頻率.

為考慮平板模型運(yùn)動(dòng)幅值和頻率的非線性特征，本文位移輸入的幅值考慮大幅和小幅情況，對(duì)應(yīng)的幅值分別為1×10-2B和5×10-2B，本文分別稱之為小幅運(yùn)動(dòng)和大幅運(yùn)動(dòng)狀態(tài)；模型運(yùn)動(dòng)的頻率分別取1 Hz和4 Hz，也即對(duì)應(yīng)低頻運(yùn)動(dòng)和高頻運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，運(yùn)動(dòng)幅值和頻率的組合分別稱之為小幅低頻運(yùn)動(dòng)和大幅高頻運(yùn)動(dòng).顯然，后者可能比前者更容易激發(fā)出氣動(dòng)力的非線性特征.

從小幅低頻運(yùn)動(dòng)和大幅高頻運(yùn)動(dòng)下的氣動(dòng)力輸出對(duì)比可見(jiàn)，基于一階核建立的平板非線性氣動(dòng)力模型，對(duì)豎彎單頻激勵(lì)和一定幅值范圍的激勵(lì)均具有較好的適用性.另外，在本文研究的強(qiáng)迫運(yùn)動(dòng)位移幅值和頻率范圍內(nèi)，沒(méi)有表現(xiàn)出對(duì)振動(dòng)幅值和頻率的相關(guān)性，且其氣動(dòng)力的非線性效應(yīng)并不明顯，這也證明，0°攻角下的平板繞流，屬于氣動(dòng)力弱非線性系統(tǒng).

4 結(jié) 論

本文嘗試借助CFD模擬技術(shù)通過(guò)Volterra理論開(kāi)展了平板非線性氣動(dòng)力系統(tǒng)識(shí)別，可得下述結(jié)論：

1）模擬時(shí)間極短的單位位移激勵(lì)作用下的平板模型運(yùn)動(dòng)，這種復(fù)雜位移激勵(lì)在現(xiàn)有的風(fēng)洞試驗(yàn)條件下幾乎無(wú)法實(shí)現(xiàn)，但在CFD模擬中可方便地實(shí)現(xiàn)，這表明了CFD模擬在橋梁氣動(dòng)力系統(tǒng)識(shí)別上的巨大優(yōu)勢(shì).

2）平板氣動(dòng)力系統(tǒng)的非線性模型，可基于Volterra理論并借助CFD模擬手段得到識(shí)別，本文識(shí)別了平板氣動(dòng)力系統(tǒng)的非線性一階核，由此建立的非線性模型能對(duì)豎彎單頻激勵(lì)和一定幅值范圍的激勵(lì)均具有較好的適用性；

3）在本文研究的強(qiáng)迫運(yùn)動(dòng)位移幅值和頻率范圍內(nèi)，平板非線性氣動(dòng)力模型沒(méi)有表現(xiàn)出對(duì)振動(dòng)幅值和頻率的相關(guān)性，且其氣動(dòng)力的非線性效應(yīng)并不明顯，也即0o攻角下的平板繞流，屬于氣動(dòng)力弱非線性系統(tǒng).

對(duì)鈍化的橋梁斷面和主梁大幅度運(yùn)動(dòng)情況，有待開(kāi)展進(jìn)一步的研究，以揭示實(shí)際橋梁主梁氣動(dòng)力系統(tǒng)的非線性特征.

參考文獻(xiàn)

[1] SCANLAN R H， TOMKO J J. Airfoil and bridge deck flutter derivatives [J]. Journal of Engineering Mechanics， ASCE， 1971， 97（6）：1171-1737.

[2] CHEN Z Q， YU X D，YANG G ， et al. Windinduced selfexcited loads on bridges [J]. Journal of Structural Engineering， 2005， 131（12）：1783-1793.

[3] ZHU Z W. LES prediction of aerodynamics and coherence analysis of fluctuating pressure on box girders of longspan bridges[J]. Computers and Fluids， 2015， 110： 169-180.

[4] ZHU Z W， GU M， CHEN Z Q. Wind tunnel and CFD study on identification of flutter derivatives of a longspan selfanchored suspension bridge[J]. ComputerAided Civil and Infrastructure Engineering， 2007， 22：541-554.

[5] ZHU Z W， GU M. Identification of flutter derivatives of bridge decks using CFDbased discretetime aerodynamic models [J].Wind and Structures， An International Journal， 2014，18（3）： 215-233.

[6] VOLTERRA V. Theory of functionals and of integral and integrodifferential equations [M]. New York： Dover Pubns， 2005：63-105.

[7] SILVA W A. Discretetime linear and nonlinear aerodynamic impulse responses for efficient CFD analyses [D]. Williamsburg， Virginia：College of William & Mary， 1997： 25-68.

[8] MENTER F R. Twoequation eddyviscosity turbulence models for engineering applications [J].AIAA Journal， 1994， 32（8）：269-289.

[9] 祝志文，夏昌，鄧燕華.鈍體矩形斷面繞流場(chǎng)機(jī)理與主分量分析[J].湖南大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2012，39（7）：7-13.

ZHU Zhiwen，XIA Chang， DENG Yanhua. Flow mechanisms around bluff rectangular cylinders and its principle component analysis[J]. Journal of Hunan University： Natural Science， 2012，39（7）：7-13.（In Chinese）

[10]ZHU Z W， CHEN Z Q， GU M. CFD based simulations of flutter characteristics of ideal thin plates with and without central slot [J]. Wind and Structures， 2009， 12（1）：1-19.

[11]GU M， ZHANG R X， XIANG H F. Identification of flutter derivatives of bridge decks [J]. Journal of Wind Engineering and Industrial Aerodynamics， 2000， 84（2）：151-162.

[12]祝志文，陳政清，顧明.薄平板氣動(dòng)導(dǎo)數(shù)的數(shù)值仿真技術(shù)[J].湖南大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2005，32（5）：11-15.