脈沖微分方程N(yùn)eumann 邊值問題多解的存在性

周君君

(信陽(yáng)學(xué)院數(shù)學(xué)與信息學(xué)院， 河南信陽(yáng) 464000)

脈沖微分方程N(yùn)eumann 邊值問題多解的存在性

周君君

(信陽(yáng)學(xué)院數(shù)學(xué)與信息學(xué)院， 河南信陽(yáng) 464000)

本文通過變分法和臨界點(diǎn)理論討論了脈沖微分方程N(yùn)eumann邊值問題無(wú)窮多個(gè)解的存在性．

脈沖微分方程；Neumann邊值條件；變分法；臨界點(diǎn)理論

0 引言

脈沖微分方程普通存在于自然界中， 能夠充分考慮時(shí)突對(duì)狀態(tài)的影響， 能更精準(zhǔn)反應(yīng)事物的變化規(guī)律.對(duì)脈沖微分方程的研究方法主要有不動(dòng)點(diǎn)定理、上下解結(jié)合單調(diào)迭代技巧、拓?fù)涠壤碚摵妥兎址╗1， 3-6]， 在文獻(xiàn)[4]中， 作者研究了如下的脈沖微分方程N(yùn)eumann 邊值.

(1)

這里0=t0

作者利用變分法研究了非線性項(xiàng)g為超線性時(shí)， 系統(tǒng)解多解的存在性．受相關(guān)文獻(xiàn)的啟發(fā)， 本文考慮了非線性項(xiàng)g為漸進(jìn)線性的情形， 得到了不同于文獻(xiàn)[4]的結(jié)果.

1 準(zhǔn)備工作

設(shè)L(t)=∫0t(r(s)/p(s))ds， 則e-L(t)∈C1([0,1]).我們可將問題(1)轉(zhuǎn)化為其等價(jià)形式：

(2)

顯然(2)的解就是(1)的解.

定義空間X=W1,2([0,1])， 定義范數(shù)

定義泛函

(3)

顯然φ∈C1(W1,2([0,1]),R)， 且

(4)

對(duì)于任意的u,v∈W1,2([0,1]).

定義 設(shè)E是一個(gè)自反的Banach空間， 且φ∈C1(E,R).若對(duì)于任意的{φ(uk)}有界且φ′(uk)→0(k→∞)的序列{uk}?E都有一個(gè)收斂子列.我們稱φ滿足Palais-Smale條件(簡(jiǎn)記為P.S.條件).

定理1[2]E是一個(gè)有限維的實(shí)Banach空間，f∶E→R是一個(gè)連續(xù)可微的偶泛函， 并且它是滿足P.S.條件， 且下面的條件成立:

(A2) 對(duì)于E中的任意的有限維子空間， 集合V∩f(0)是有界的，

則f有無(wú)窮多個(gè)臨界點(diǎn).

引理1[4]若u∈X是泛函φ的一個(gè)臨界點(diǎn)， 則u是問題(2)的一個(gè)古典解.

引理2[4]若u∈W1,2([0,1])， 則存在常數(shù)C>0， 使得‖u‖∞≤C‖u‖.

2 主要結(jié)果及證明

(H1) 對(duì)于任意的k=1,2,...,m-1， Ik是奇函數(shù)， 且滿足∫0sIk(t)dt≤0,?s∈R.

(H2) 存在常數(shù)ak,bk>0， (k=1,2,...,m-1)和rk∈[0,1)使得 |Ik(s)|≤ak+bk|s|rk，?s∈R.

定理2 假設(shè)系統(tǒng)(2)滿足(H1)-(H3)， 則該系統(tǒng)有無(wú)窮多個(gè)解.

證明 顯然， 由(3)， (H1)及(H3)可知φ(u)是個(gè)偶泛函， 且φ(0)=0.我們首先來(lái)證明φ滿足

下面用反證法證明{un}在W1,2[(0,1)]中是有界的.假設(shè){un}是W1,2[(0,1)]中的一個(gè)無(wú)界的序列， 不妨設(shè)‖un‖→∞,n→∞， 由(3)， (H)， (H3)和引理(2)知

(5)

其中M=maxt∈[0,1]e-L(t)．所以存在N0>1使得當(dāng)n≥N0時(shí)， 有

充分小， 我們可以說(shuō)對(duì)于每一個(gè)固定的正整數(shù)n， 存在C1(n)>0， 使得

∫01e-L(t)ζ|un(t)|2dt≥C1(n)ζ‖un‖2.

(6)

(7)

由(H3)， (5)， (6)表明了

(8)

由(4)知

(9)

由(8)和(9)知， 當(dāng)n→∞時(shí)， 有un→u,因此φ滿足P.S.條件.

由(4)， (H1)， (H3)知

這表明了

再結(jié)合(H3),(7)可得

[1]NietoJJ,O’ReganO.Variationalapproachtoimpulsivedifferentialequations[J]．NonlinearAnalysisRealWorldApplications, 2009, 10(2)：680-690.

[2] 郭大均．非線性泛函分析[M].濟(jì)南:山東科技技術(shù)出版社， 2004．

[3]XiaoJ,NietoJJ.VariationalapproachtosomedampedDirichletnonlinearimpulsivedifferentialequations[J].JournaloftheFranklinInstitute, 2011, 348(2): 369-377.

[4]SunJT,ChenHB.VariationalMethodtotheImpulsiveEquationwithNeumannBoundaryConditions[J].BoundaryValueProblems, 2009(1): 1-17.

[5]TianY,GeWG.VariationalmethodstoSturm-Liouvilleboundaryvalueproblemforimpulsivedifferentialequations[J].NonlinearAnalTMA, 2010, 72(1): 277-287.

[6]ZhangZH，YuanR.AnapplicationofvariationalmethodstoDirichletboundaryvalueproblemwithImpulsive.NonlinearAnalRWA, 2010, 11(1), 155-162.

[責(zé)任編輯 胡廷鋒]

The Existence of Multiplicity of Solutions for Impulsive Differential Equations with Neumann Boundary Conditions

ZHOU Jun-jun

(School of Mathematics and Information, Xinyang University, Xinyang 464000, China)

This paper discusses the existence and multiplicity of solutions for impulsive differential equations by using the critical point theorem and variational methods．

impulsive differential equations; Neumann boundary conditions; variational methods; critical point theory

2016-11-21

周君君(1988—)， 女， 河南信陽(yáng)人， 碩士， 助教. 研究方向： 微分方程與動(dòng)力系統(tǒng).

O175．8

A

1009-4970(2017)02-0015-04