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      電池放電問題數(shù)學(xué)模型的建立與求解

      2017-03-12 00:41:44張儒奎
      關(guān)鍵詞:鉛酸乘法電池

      張儒奎

      (隴南師范高等??茖W(xué)校, 甘肅成縣 742500)

      電池放電問題數(shù)學(xué)模型的建立與求解

      張儒奎

      (隴南師范高等??茖W(xué)校, 甘肅成縣 742500)

      本文利用最小二乘法并結(jié)合電磁學(xué)知識(shí),對(duì)鉛酸電池放電問題建立了數(shù)學(xué)模型并進(jìn)行了求解.

      電池放電;最小二乘法;回歸分析

      0 引言

      鉛酸電池作為電源在工業(yè)、 軍事及日常生活中有著廣泛的應(yīng)用. 電池充電完成后, 在以恒定電流放電過程中, 使負(fù)荷繼續(xù)工作時(shí)間的計(jì)算是一個(gè)必須考慮的復(fù)雜但實(shí)際的問題. 鉛酸電池在放電過程中, 電壓隨放電時(shí)間單調(diào)下降. 本文根據(jù)采樣數(shù)據(jù)[1], 利用最小二乘法并結(jié)合電磁學(xué)知識(shí), 建立數(shù)學(xué)模型, 對(duì)電池放電時(shí)間進(jìn)行了詳細(xì)的研究.

      1 模型要解決的問題

      本文建立的模型要解決與電池放電相關(guān)的三個(gè)問題. 問題1: 依據(jù)模型得出不同電流下, 電池的放電曲線, 求出平均相對(duì)誤差(MRE), 并根據(jù)所建立的模型, 計(jì)算以電流為30A、 40A、 50A、 60A和70A放電, 當(dāng)電壓達(dá)到9.8V時(shí), 各自的剩余放電時(shí)間; 問題2: 計(jì)算電流在20~100A之間任意數(shù)值時(shí)的放電曲線, 然后用MRE評(píng)估模型精度, 并求得電流為55A時(shí)放電曲線及U-t數(shù)據(jù); 問題3: 依據(jù)采樣數(shù)據(jù), 預(yù)測電池在第3種衰減狀態(tài)時(shí)的剩余放電時(shí)間.

      2 模型建立與問題求解

      2.1 模型建立與問題求解

      電池放電時(shí), 電壓隨放電時(shí)間單調(diào)下降, 也就是說, 放電曲線是線性問題. 在分析線性問題時(shí), 通常采用最小二乘法對(duì)變量進(jìn)行擬合, 從而得到變量的線性表達(dá)式.

      2.1.1 最小二乘法原理

      (1)

      (2)

      b稱為回歸系數(shù).

      變量U,t之間的線性關(guān)系密切度用相關(guān)系數(shù)rtU來反應(yīng), 定義:

      (3)

      2.1.2 問題1的求解

      (1) 模型建立與求解.

      對(duì)采樣數(shù)據(jù)分析, 可得到I=30A、 I=40A、I=50A、 I=60A、 I=70A時(shí)U-t圖像, 如圖1所示.

      U=a+bt

      (4)

      (2)曲線擬合及放電時(shí)間求解

      利用求解參數(shù)a,b及采樣時(shí)間t, 對(duì)電池電壓模擬數(shù)據(jù)和采樣數(shù)據(jù)進(jìn)行比對(duì), 如圖2所示.

      注: 表1中字母E-004指10-4, 為方便比對(duì), 未作修改, 下同.

      由圖2可知, 擬合曲線和采樣曲線重合度較高, 也就是說, 該模型能較好地反應(yīng)電池在I=20A、 I=30A、 I=40A、 I=50A、 I=60A、 I=70A、 I=80A、 I=90A、 I=100A放電時(shí)的實(shí)際U-t關(guān)系. 需要說明的是, 圖2只給出了I=30A及I=60A兩種情況的擬合曲線, 其他情況由該模型均能夠得出, 并且曲線相似, 均能夠較好的重合.

      當(dāng)電壓U=9.8V時(shí), 由模型及采樣數(shù)據(jù)得出的剩余放電時(shí)間如表2所示.

      由表2可知, 由該模型得出的當(dāng)電壓U=9.8V時(shí), 電池能夠繼續(xù)放電的擬合時(shí)間與采樣數(shù)據(jù)得出的實(shí)際數(shù)值能夠較好的匹配, 具有較好的可信度.

      2.1.3 問題2的模型建立與求解

      (1)模型建立

      將該鉛酸電池視為電容, 由于電池為同一批次生產(chǎn), 電池所能夠容納的電荷量Q不變. 由電磁學(xué)知識(shí)

      (5)

      (6)

      已知, 該電池Um=9V, 從采樣數(shù)據(jù)分析, 并求均值可得出新電池電壓U0=11.1292V, 則ΔU=U0-Um=2.1292V, 即電池在某一電流放電時(shí), 電壓差值為2.1292V.

      此外, 從采樣數(shù)據(jù)中, 能夠讀出在恒定電流下, 放電過程持續(xù)時(shí)間(即放電周期T).由式(5)可求得電池電壓下降ΔU時(shí), 電池所釋放的電荷量ΔQ

      ΔQ=IT

      (7)

      對(duì)不同電流放電情況, 多次求平均可得到ΔQ=1063.407F.

      由式(6)得

      (8)

      由(5)-(8)式, 可得任意恒定電流放電時(shí), 電壓U隨時(shí)間t的變化關(guān)系為

      (9)

      (2)模型精度分析與求解

      利用(9)式對(duì)I=50A、 I=60A時(shí)電池放電時(shí)間進(jìn)行求解, 并與采樣數(shù)據(jù)進(jìn)行比對(duì), 對(duì)比曲線如圖3所示.

      對(duì)采樣數(shù)據(jù)與模型結(jié)果進(jìn)行MRE計(jì)算, 結(jié)果如表3所示.

      由表3可知, 當(dāng)電流I在60A附近時(shí), MRE值較小, 模型放電剩余時(shí)間能較好地反應(yīng)實(shí)際電池的放電時(shí)間.

      I=55A時(shí),U-t擬合曲線如圖4所示.

      2.1.4 問題3的求解

      利用軟件對(duì)衰減狀態(tài)3已采樣數(shù)據(jù)進(jìn)行分析, 如圖5所示.

      U=10.4799-1.1233×10-3t

      (10)

      利用式(10)對(duì)該狀態(tài)下U-t關(guān)系進(jìn)行模擬, 可得到U-t擬合數(shù)據(jù)及變化關(guān)系如圖6所示.

      從圖中可明顯看出, 模型解與采樣數(shù)據(jù)重合度相當(dāng)高, 可以用該模型來求解該狀態(tài)下的剩余放電時(shí)間. 另外, 從采樣數(shù)據(jù)中, 可讀出當(dāng)電壓達(dá)到Um=9V時(shí), 放電時(shí)間為1317min.

      3 模型評(píng)價(jià)

      基于最小二乘法原理, 對(duì)電池放電剩余時(shí)間建立模型并求解. 從求解結(jié)果中可看出, 問題1、 3的模型能非常好地反應(yīng)電池實(shí)際放電時(shí)U-t關(guān)系, 并且放電周期T與采樣數(shù)據(jù)匹配度極高, 有一定的可信度. 問題2的模型建立基于電磁學(xué)的理論知識(shí)推導(dǎo), 模型可信度高, 但由于C及ΔQ未知, 在采樣數(shù)據(jù)組有限的情況下, 近似求得C、ΔQ值并進(jìn)行了求解, 本身存在誤差, 因此匹配度較差, 但由于C、ΔQ值和I=60A時(shí)單次采樣數(shù)據(jù)接近, 因此I=55A時(shí)求得的結(jié)果仍然具有可信度. 若已知C、ΔQ或有更多組采樣數(shù)據(jù)的情況下, 該模型能更好地與采樣數(shù)據(jù)匹配.

      [1] 趙培正,趙林治,王建革,李中東,郭建峰. 組合Cd/Ni電池的記憶效應(yīng)[J].洛陽師范學(xué)院學(xué)報(bào),2006(5).

      [2] 數(shù)學(xué)手冊編寫組.數(shù)學(xué)手冊[M].北京.高等教育出版社,2011, 7.

      [3] 楊述武,趙立竹, 等,普通物理實(shí)驗(yàn)[M].北京.高等教育出版社,2007, 12.

      [4] 阮曉青,周義倉.數(shù)學(xué)建模引論[M].北京:高等教育出版社,2005, 7.

      [5] 馮杰.數(shù)學(xué)建模原理與案例[M].北京.科學(xué)出版社,2007, 5.

      [責(zé)任編輯 胡廷鋒]

      The Mathametic Modelling of Battery Discharge Problem and Solution

      ZHANG Ru-kui

      (Longnan Teachers College, Cheng County 742500, China)

      On the basis of least square method and electromagnetics, this paper establishes the mathametic model of lead-acid battery discharge problem and provides a solution.

      battery discharge; least squre method; regression analysis

      2016-11-23

      張儒奎(1986—), 男, 甘肅成縣人, 碩士, 講師.

      O29

      A

      1009-4970(2017)02-0045-04

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