諸月琴

（浙江省杭州市蕭山新街初中，浙江杭州 311217）

1 錯題資源有效整理的必然性

心理學(xué)家蓋耶就認(rèn)為：“誰不考慮嘗試錯誤，不允許學(xué)生犯錯，就將錯過最富成效的學(xué)習(xí)時刻。”錯誤是正確的先導(dǎo)，錯誤是通向成功的階梯，金無足赤，人無完人，在學(xué)習(xí)中學(xué)生犯錯是最正常不過的事，作為教師就應(yīng)將學(xué)生犯錯的過程看做是一種嘗試和創(chuàng)新的過程?？稍趯?shí)際教學(xué)中，卻發(fā)現(xiàn)學(xué)生方面：要么不訂正，要么訂正敷衍應(yīng)付；教師方面：部分教師對錯題利用意識也不強(qiáng)，把錯題的訂正管理當(dāng)作負(fù)擔(dān)，認(rèn)為此舉毫無必要，也有部分教師提出錯題本建設(shè)，但對學(xué)生的系統(tǒng)性指導(dǎo)不多，導(dǎo)致學(xué)生錯題資源管理停留在原始的錯題摘錄上，錯題資源管理效率不高，甚至變相地增加了學(xué)生的學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)。因此，開展提高學(xué)生數(shù)學(xué)錯題資源利用的研究勢在必行。

2 錯誤資源有效整理的策略

習(xí)題訓(xùn)練是重要的數(shù)學(xué)教學(xué)手段，它不僅能夠幫助學(xué)生鞏固對知識的理解，更能起到檢驗(yàn)學(xué)習(xí)水平的目的。學(xué)生學(xué)數(shù)學(xué)，往往會出現(xiàn)這樣那樣的錯誤，要么因?yàn)榛A(chǔ)知識薄弱，對學(xué)習(xí)新知識產(chǎn)生負(fù)遷移，要么缺乏學(xué)習(xí)的積極性、主動性，沒有良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣。而教師也疏忽了學(xué)生學(xué)習(xí)過程的研究，一味地講題，而忽略了學(xué)生知識點(diǎn)的落實(shí)。因此，做為教學(xué)的引導(dǎo)者、組織者，教師必須積極引導(dǎo)學(xué)生主動整理錯題，使知識點(diǎn)落到實(shí)處。

2.1 創(chuàng)設(shè)錯題重現(xiàn)的舞臺，迫使學(xué)生從心理接納錯題訂正的重要性

學(xué)生在數(shù)學(xué)解題中經(jīng)常會出現(xiàn)一些錯誤，這是難免的，但往往有些學(xué)生從心理上不重視錯題，不重視錯誤的原因，故而可能一錯再錯。因此重現(xiàn)錯題很有必要。

2.1.1 給予錯題再現(xiàn)，二次評價的機(jī)會，提高學(xué)生自覺訂正錯題的積極性

把平時作業(yè)中的易錯題編入試卷，讓學(xué)生感覺到平時上課的內(nèi)容和作業(yè)中的題目就是考試的內(nèi)容，心理上就產(chǎn)生了一種親近感，這樣就會使自己意識到只要在學(xué)習(xí)上踏踏實(shí)實(shí)、作業(yè)認(rèn)真仔細(xì)，重視對錯題的訂正，搞懂每一道題目，把錯誤消滅在萌芽狀態(tài)，定能在考試中獲得成功，體驗(yàn)到學(xué)習(xí)的快樂。同時對測驗(yàn)、考試卷批改講評后，對錯題給予二次評價，對做錯的，做的不到位的學(xué)生可在平時成績中適當(dāng)扣分，而做的好的則予以加分。如此對學(xué)生起到了很好的激勵作用，尤其對學(xué)有困難的學(xué)生，讓他們看到了希望，增強(qiáng)了學(xué)習(xí)的熱情。

2.1.2 給予錯題再變的可能，提醒學(xué)生落實(shí)錯題是知識深入的基礎(chǔ)

從某種意義上說，習(xí)題訓(xùn)練的目的就是找出不足，然后彌補(bǔ)不足，避免同種錯誤的再犯。實(shí)際上，在反復(fù)操練下學(xué)生很容易熟練某道錯題的訂正方法，但他真的懂了嗎?選擇錯誤習(xí)題為切入口，深層次挖掘錯題資源，運(yùn)用變式的方法將已錯習(xí)題的部分條件或結(jié)論進(jìn)行改變，讓舊習(xí)題換上新面孔。變式訓(xùn)練就是這樣一塊試金石，它讓原本看似“掌握”的習(xí)題暴露出更多同質(zhì)的、深層的缺陷。

變式1（追加問題）：求BD的長（在原有條件的基礎(chǔ)上）。

變式2：（變條件，變問題）：如圖，BC是半圓O的直徑，AD垂直BC于D，A、F把半圓三等分，BF與AD交于E，BC=12。求AE的長。

變式一

變式二

數(shù)學(xué)不同于其他學(xué)科，它更重視思想的歸納和技能的應(yīng)用，重復(fù)地操練某個問題固然有助于問題的記憶和方法的熟悉，但對學(xué)生數(shù)學(xué)思想的凝練不一定有太大的作用。如上題，兩個班大部分學(xué)生一開始求CE的長度都有困難，在老師講解后，也都學(xué)會了訂正，但因教師在一個班講解時注重了思想方法的引導(dǎo)，而另一個班只是注重正確答案的回答，就產(chǎn)生了截然不同的兩種結(jié)果。一個班變式1能解決的不到5個，而另一個班盡達(dá)到了20個左右。由此可見，錯題訂正不僅僅應(yīng)關(guān)注某個錯誤問題的糾正，更應(yīng)是正確的解題觀念的樹立。

2.2 培養(yǎng)學(xué)生自覺主動糾錯是提高作業(yè)質(zhì)量教育質(zhì)量之根本

什么是錯題?錯題并非只是教師批改時打“叉”的習(xí)題，錯題應(yīng)該是與學(xué)生已有的認(rèn)知相沖突的，無法通過正確的思路得出正確解答的習(xí)題，而能得出正確答案卻無法給出合理解釋的習(xí)題解答也屬于錯題。錯題及時訂正與整理是學(xué)習(xí)效果反饋的重要途徑，也是預(yù)防和矯治學(xué)生“學(xué)習(xí)誤差”積累的必要手段。

2.2.1 引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會錯題自我分析診斷

錯題自我分析診斷是指學(xué)生自己能獨(dú)立正確地找到產(chǎn)生錯誤地方，并能正確分析歸因的能力。提高學(xué)生對錯題能進(jìn)行自我分析診斷的能力，有利于學(xué)生了解自己學(xué)習(xí)中存在的問題與薄弱環(huán)節(jié)，有利于“對癥下藥”，從而彌補(bǔ)知識點(diǎn)的不足，有利于監(jiān)控自己的學(xué)習(xí)過程，發(fā)展自己的學(xué)習(xí)能力。

（1）學(xué)生數(shù)學(xué)錯題自查的必要性。學(xué)生對問題的思考是以抽象的概念、判斷和推理作為基礎(chǔ)，這一過程都在學(xué)生頭腦中進(jìn)行，旁人很難獲悉其具體情況，只能依據(jù)習(xí)題解答情況估測學(xué)生的思維情況。有明顯錯誤的顯性錯題能被老師發(fā)覺，而隱性錯題的排查只能依靠學(xué)生自己。比如說，同樣是正確答案，可能是學(xué)生知識掌握和運(yùn)用得當(dāng)?shù)漠a(chǎn)物，也可能是歪打正著的結(jié)果。

如，三角形練習(xí)卷中一填空題：（如圖1，等邊三角形ABC的邊長為2，點(diǎn)P是三角形內(nèi)任意一點(diǎn)，過點(diǎn)P分別作BC、CA、AB的垂線，垂足分別為點(diǎn)D、E、F.則PD+PE+PF＝_______。（背景說明：此填空題的正確率尚可，可在問過學(xué)生怎么做之后卻發(fā)現(xiàn)，有些學(xué)生根本不知道怎么算，只是因?yàn)橄氲竭^P向三邊作高線，故猜想答案可能就是三角形的高；而有的學(xué)生則想到了將點(diǎn)P移到一個特殊位置，比如點(diǎn)C處（圖2），如此，點(diǎn)P、D、E、C都重合，則三段之和就是該等邊三角形的高……）

圖1

圖2

上述練習(xí)，有學(xué)生的答案與標(biāo)準(zhǔn)答案雖然一致，但學(xué)生利用填空題的特點(diǎn)，通過某一特殊情況來說明動點(diǎn)運(yùn)動整個過程的方法有取巧的成分。學(xué)生自己也很清楚，一旦題型變成解答題他解決起來將有一定的困難。而這一點(diǎn)教師在正確答案面前是無法發(fā)現(xiàn)學(xué)生思考上的漏洞的，所以這就需要學(xué)生自己去修整，落實(shí)。

（2）學(xué)生進(jìn)行錯題自查的著手點(diǎn)。養(yǎng)成一個良好的自我檢查的習(xí)慣，正確認(rèn)識自己學(xué)習(xí)狀態(tài)，是提高學(xué)生錯題管理的基本前提。顯性錯題的查找和收集比較容易，隱形錯題卻相對困難。這就要求學(xué)生在平時認(rèn)真審視自己解題狀態(tài)，可從以下幾方面入手進(jìn)行自查：

①在習(xí)題解答過程中，對不能順利解答的習(xí)題或其中一部分做標(biāo)記的問題。

②校對答案時發(fā)現(xiàn)答案有錯的問題。

③校對答案時發(fā)現(xiàn)答案正確，解題思路卻不當(dāng)?shù)膯栴}。

④校對答案時發(fā)現(xiàn)答案思路正確，但解題方案不夠簡潔有待改進(jìn)的問題等。

遇到上述情況時，及時地在問題旁邊用紅筆、記號筆做上標(biāo)記，并將其收錄到糾錯集上。如此原先無法察覺到的隱性錯題也會得到應(yīng)有的重視。

如，下面是某同學(xué)試題卷訂正摘錄（填空題：如圖，半徑為5的⊙A中，弦BC,ED所對的圓心角分別是∠BAC，∠EAD。已知DE＝6，∠BAC+∠EAD＝180°，則弦BC的弦心距等于_______。）

此生在∠BAC+∠EAD＝180°下標(biāo)注了下劃線，并提醒自己此條件可想到一半的90°，也應(yīng)想到180°的平角。自己的思路：作弦心距，再證全等比較繁。同學(xué)的思路：通過旋轉(zhuǎn)變換，利用∠BAC+∠EAD＝180°將兩個三角形可合成一個三角形，再利用中位線解決，值得借鑒。

圖3

此同學(xué)的訂錯筆記很好地反映了學(xué)生已經(jīng)有了自查的意識，他在傾聽中意識到了自己思維的缺陷，所以雖然自己做對了，但還是把同學(xué)更優(yōu)的方法做了上去。這樣就把自己隱性的錯誤展露無遺。長此以往，學(xué)生的思路就會越來越開闊。良好的自查習(xí)慣是學(xué)生提高學(xué)習(xí)質(zhì)量的保證。

2.2.2 引導(dǎo)學(xué)生錯題資源有效歸類

很多時候詢問學(xué)生為什么會做錯，他們常見的回答是時間不夠、粗心，很少在自身的知識掌握和理解能力上找原因。若要求學(xué)生整理錯題時按錯點(diǎn)產(chǎn)生原因存放則有利于學(xué)生自己去發(fā)現(xiàn)自己的錯誤原因，同時也能使學(xué)生在把同質(zhì)、同因的錯題放在一起時產(chǎn)生共鳴，有效地改進(jìn)自己的學(xué)習(xí)。依據(jù)錯誤產(chǎn)生的現(xiàn)象，本人幫助學(xué)生將錯題大致分為計(jì)算型錯誤、閱讀型錯誤、知識型錯誤、方法性錯誤、周密性錯誤等幾類。要求學(xué)生收錄錯題時重新審視自己的解題過程，從而確定錯誤產(chǎn)生的原因，藉此對錯題進(jìn)行分類處理。

如，某學(xué)生將他的錯題集中到了一本本子上，并對每一道題都作了標(biāo)號，然后在本子的首頁制作了一張目錄，以便隨時查看。

表1

此學(xué)生依據(jù)每一種錯題的類型分別在錯題中作了相應(yīng)輔助措施，一段時間下來，效果是斐然的。如在一次月考中，有一填空題“在同圓或等圓中，如果兩個圓周角相等，那么它們所對的兩條弦也相等，此命題的逆命題是___命題（真或假）”。此空的正確率極低，全班只有3個人做對，而這個同學(xué)就是其中之一，問之，這個同學(xué)說道是因?yàn)樵谧鳂I(yè)本中一道求弦所對的圓周角的度數(shù)的問題中犯過周密性錯誤，故在經(jīng)常翻閱錯題本時記住了，這次也就意識到了。錯題的有效落實(shí)是學(xué)生查漏補(bǔ)缺的一個有效途徑，學(xué)生應(yīng)將其作為一種習(xí)慣，習(xí)慣是一種看不見的力量。學(xué)生養(yǎng)成了自覺整理錯題的習(xí)慣，自然知識點(diǎn)也就達(dá)到了真正地掌握，對學(xué)習(xí)的興趣自然也會被調(diào)動起來。

2.3 學(xué)生之間彼此分享錯題集，使錯題資源利用最大化

新課標(biāo)指出學(xué)生是有差異的個體。每一個人因基礎(chǔ)不同，反應(yīng)出來的思維方式也會不同，當(dāng)然錯題情況，錯誤原因也會不盡相同，所以學(xué)生應(yīng)該用好同伴的錯題資源，相互交流，才能在“錯題”中淘得另一桶“金”。

如，函數(shù)中一練習(xí)：已知函數(shù) y＝mχ2-6x+1（m 是常數(shù)）。（1）求證：不論m為何值，該函數(shù)的圖像都經(jīng)過y軸上的一個定點(diǎn)；（2）若該函數(shù)的圖像與x軸只有一個交點(diǎn)，求m的值。（背景說明：此題第一小題是簡單的，學(xué)生基本沒問題，但在解決第二小題時全班除了4個同學(xué)其他都少解了，而這4個同學(xué)中其中有一個是本人沒想到的，因?yàn)樗幕A(chǔ)只能算中等，平時思考問題并不嚴(yán)密。于是處于好奇，我問了其做對的原因）。

生：哦，我是在考試前剛好看了趙同學(xué)的錯題記載本，剛好看到她摘錄了一道因閱讀型及周密型而錯誤的方程題：“若關(guān)于x的方程kχ2+2x-1＝0有解，則實(shí)數(shù)k的取值范圍”，她在訂正時將方程兩個字作了標(biāo)注，說明了其不確定性，那在這道題中我看到了方程，所以我想也具有不確定性，可以是元一次函數(shù)也可以是二次函數(shù)。

師：非常好，你能從同學(xué)的錯誤中吸取教訓(xùn)并學(xué)以致用……

數(shù)學(xué)教學(xué)是一種思維教學(xué)，習(xí)題訓(xùn)練是它重要的教學(xué)手段。在平時的教學(xué)過程中由于種種原因總會產(chǎn)生很多始料未及的錯誤。對于這些錯誤，教師和學(xué)生都必須積極對待。作為教師只要能進(jìn)一步分析學(xué)生犯錯誤的原因，并能透過錯誤發(fā)現(xiàn)問題的本質(zhì)，作為學(xué)生要是能養(yǎng)成自覺主動糾錯的能力，那么就可變“廢”為“寶”，利用錯誤這一資源為教學(xué)和學(xué)習(xí)服務(wù)。錯題管理有助于學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，但是錯題管理不是學(xué)習(xí)的目的，而是幫助學(xué)生進(jìn)行有效學(xué)習(xí)和提升教師教學(xué)質(zhì)量的一種手段。制作錯題集更不是任務(wù)，不一定要做得精致、全面，它只是一種訓(xùn)練思維的載體。最關(guān)鍵的是，學(xué)生和教師不能輕易放過錯題，應(yīng)徹底弄清錯題才能學(xué)以致用。在反思學(xué)習(xí)的過程中將自己的知道結(jié)構(gòu)完善，提升解決問題的能力，實(shí)現(xiàn)有效學(xué)習(xí)，達(dá)到有效教學(xué)的最終目標(biāo)。

[1]喻平．?dāng)?shù)學(xué)教學(xué)心理學(xué)[M]．北京：北京師范大學(xué)出版社，2010.

[2]熊川武．反思性教學(xué)[M].上海：華東師范大學(xué)出版社，1999.

[3]魏興宇,賈潤桃.“錯題本”——減負(fù)增效的著力點(diǎn)[J].呂梁高等?？茖W(xué)校學(xué)報(bào),2004(1)：56-57.