郭淑玲++柳佳鑫++招倩儀++楊勇++戎海武

摘 要：該文討論了道路對具有擴(kuò)散項(xiàng)的、三次反應(yīng)項(xiàng)的Lotka-Volterra食餌-捕食者系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響。通過將系統(tǒng)離散化，借助數(shù)值模擬，發(fā)現(xiàn)設(shè)置道路會延長生態(tài)系統(tǒng)達(dá)到穩(wěn)態(tài)的時(shí)間。

關(guān)鍵詞：捕食與被捕食模型 道路干擾 穩(wěn)定性態(tài)

中圖分類號：O242.1 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1674-098X（2016）09（c）-0051-03

該文考慮如下帶有3次反應(yīng)項(xiàng)的Lotka-Volterra食餌-捕食者模型：

（1）

其中，分別表示食餌和捕食者的數(shù)量，為食餌的增長率，為捕食者的死亡率，和為擴(kuò)散系數(shù)，是二維空間的Laplace算子，描述了物種在二維空間的擴(kuò)散。和分別為食餌和捕食者的最大環(huán)境容納量。

另一方面，道路的大肆興建促進(jìn)了社會經(jīng)濟(jì)迅速發(fā)展的同時(shí)對自然景觀和生態(tài)系統(tǒng)所產(chǎn)生的諸如環(huán)境污染、景觀破碎、生境退化、生物死亡率遞增、生物多樣性減少、生物入侵、生態(tài)阻隔和廊道效應(yīng)等各種生態(tài)破壞也在急劇地?cái)U(kuò)大。正確理解和全面分析道路網(wǎng)絡(luò)建設(shè)以及交通所產(chǎn)生的生態(tài)影響，最大限度地降低道路網(wǎng)絡(luò)對自然生態(tài)系統(tǒng)的負(fù)面效應(yīng)，進(jìn)而保護(hù)生物多樣性、維持生態(tài)系統(tǒng)的平衡，是近10年來生態(tài)數(shù)學(xué)家關(guān)注的熱點(diǎn)問題之一。受文啟發(fā)，該文主要考慮設(shè)置道路與否對具有擴(kuò)散和三次反應(yīng)項(xiàng)的Lotka-Volterra食餌-捕食者系統(tǒng)（1）達(dá)到穩(wěn)定性態(tài)的影響，這與文考慮的二次反應(yīng)項(xiàng)不同。我們假設(shè)，不設(shè)置道路時(shí)，物種在空間上具有相同的擴(kuò)散速率；設(shè)置道路時(shí)，物種從道路一側(cè)穿越到另一側(cè)的擴(kuò)散速率由于受到車流量等因素的影響會顯著減小。

1 穩(wěn)定性分析

1.1 局部穩(wěn)定性分析

定理1零平衡點(diǎn)為鞍點(diǎn)，不穩(wěn)定。

定理2若，則系統(tǒng)（2）在邊界平衡點(diǎn)處是局部漸近穩(wěn)定的。

定理1，2的證明比較簡單，故省略。

定理3若，則邊界平衡點(diǎn)為鞍點(diǎn)，不穩(wěn)定，此時(shí)系統(tǒng)（2）在正平衡點(diǎn)處是局部漸近穩(wěn)定的。

1.2 全局穩(wěn)定性性分析

由于正平衡點(diǎn)的存在，反映兩物種可以共存，從而防止生物多樣性的喪失，下面將分析正平衡點(diǎn)的全局漸近性態(tài)。

定理4若且≤0，則系統(tǒng)（1）的常數(shù)穩(wěn)態(tài)解是全局漸近穩(wěn)定的。

2 數(shù)值模擬及分析

在這一節(jié)，首先對系統(tǒng)（2）進(jìn)行數(shù)值模擬。取則是全局漸近穩(wěn)定的，如圖1所示，兩個(gè)種群一直保持相互依存的關(guān)系。

現(xiàn)在研究設(shè)置道路對生態(tài)系統(tǒng)（1）穩(wěn)定性的影響。

先考慮不設(shè)置道路時(shí)，食餌-捕食者系統(tǒng)的空間傳播性質(zhì)。取τ，其中τ為離散時(shí)間步長，為離散空間步長。模擬初始時(shí)，系統(tǒng)中第一列兩種群的密度分別為1，其它列為0。采用500×500的空間，每個(gè)格點(diǎn)與相鄰的4個(gè)格點(diǎn)之間可以擴(kuò)散，邊界按零流邊界處理，即整個(gè)空間是封閉的，邊界上的點(diǎn)只在空間內(nèi)部擴(kuò)散。經(jīng)過計(jì)算，在t=378.3 s時(shí)，N種群的生物波傳到最后一列；t=1310.6 s時(shí)，N種群的生物波達(dá)到穩(wěn)態(tài)值15.4，見圖2。

在t=336.1 s時(shí)，M種群的生物波傳到最后一列；t=1294.7 s時(shí)，M種群的生物波達(dá)到穩(wěn)態(tài)值15.1，見圖3。

下面進(jìn)一步考慮設(shè)置道路以后對物種擴(kuò)散的影響。假設(shè)在道路垂直方向上，道路兩側(cè)點(diǎn)的格點(diǎn)的擴(kuò)散系數(shù)為其它格點(diǎn)的擴(kuò)散系數(shù)為別的參數(shù)值不變。經(jīng)過計(jì)算，經(jīng)過計(jì)算，在t=411.3 s時(shí)，N種群的生物波傳到最后一列；t=1412.1 s時(shí)，N種群的生物波達(dá)到穩(wěn)態(tài)值15.4，見圖4。

在t=388.2 s時(shí)，M種群的生物波傳到最后一列；t=1348.7 s時(shí)，M種群的生物波達(dá)到穩(wěn)態(tài)值15.1，見圖5。

通過比較，發(fā)現(xiàn)在第200列設(shè)置一條道路時(shí)，生態(tài)系統(tǒng)達(dá)到穩(wěn)態(tài)的時(shí)間比不設(shè)道路的時(shí)間長。這說明道路會干擾生態(tài)系統(tǒng)達(dá)到穩(wěn)態(tài)的時(shí)間。

3 結(jié)語

食餌-捕食者系統(tǒng)在自然界非常普遍。研究道路設(shè)置與兩種群達(dá)到穩(wěn)態(tài)值的時(shí)間關(guān)系，對于自然保護(hù)區(qū)是否設(shè)置生態(tài)廊道提供了一定的理論指導(dǎo)與借鑒作用。

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