張 磊，孫長青

(1.中國人民解放軍66021部隊(duì)，天津 301900； 2.沈陽工程學(xué)院 機(jī)械學(xué)院,沈陽 110136)

【基礎(chǔ)理論與應(yīng)用研究】

高階殘差修正GM(1,1)區(qū)間預(yù)測模型及其應(yīng)用

張 磊1，孫長青2

(1.中國人民解放軍66021部隊(duì)，天津 301900； 2.沈陽工程學(xué)院 機(jī)械學(xué)院,沈陽 110136)

提出了一種Markov高階殘差修正GM(1,1)區(qū)間模型，在GM(1,1)模型的基礎(chǔ)上對擬合數(shù)據(jù)殘差項(xiàng)的絕對值運(yùn)用Markov模型進(jìn)行數(shù)據(jù)擬合，通過將殘差項(xiàng)疊加的方式逼近數(shù)據(jù)真實(shí)值。根據(jù)殘差項(xiàng)的正負(fù)狀態(tài)構(gòu)建了預(yù)測區(qū)間，并通過數(shù)值模擬論證了預(yù)測區(qū)間的適用范圍與合理性，運(yùn)用Markov模型對預(yù)測區(qū)間進(jìn)行了修正和改進(jìn)，給出了Markov高階殘差預(yù)測區(qū)間的表達(dá)式。分析結(jié)果表明，模型弱化了灰色發(fā)展系數(shù)的取值條件，并且計(jì)算修正殘差的階數(shù)越高，預(yù)測區(qū)間結(jié)果可靠性越高，避免了根據(jù)概率大小選擇預(yù)測結(jié)果所產(chǎn)生的預(yù)測風(fēng)險(xiǎn)，提高了預(yù)測結(jié)果的可靠性。

GM(1,1)模型；殘差修正；Markov模型；需求預(yù)測

隨著我國“軟科學(xué)”的逐步發(fā)展和普及，運(yùn)用各類數(shù)學(xué)模型進(jìn)行需求預(yù)測的方法在決策領(lǐng)域發(fā)揮著日益重要的作用。與此同時(shí)，對于模型的精度和合理性方面的要求也越來越高。

基于傳統(tǒng)概率統(tǒng)計(jì)理論所構(gòu)建的數(shù)學(xué)模型往往要求數(shù)據(jù)變化存在某種規(guī)律或者服從某種概率分布，這使預(yù)測變得非常困難。以新型裝備的備件需求量為例，因其投入使用速度的加快，以及裝備使用環(huán)境的復(fù)雜性，影響備件需求預(yù)測數(shù)量的因素非常之多，很難從中找到數(shù)據(jù)的變化規(guī)律?；疑獹M模型能夠較好地處理“小樣本”、“貧信息”等不確定性系統(tǒng)的預(yù)測問題[1]，在各個(gè)領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用[2-4]。但當(dāng)數(shù)據(jù)變化跳躍性較大時(shí)，GM(1,1)模型預(yù)測結(jié)果會產(chǎn)生較大誤差。不少學(xué)者通過修正GM(1,1)模型產(chǎn)生的殘差，提高GM(1,1)模型的預(yù)測精度，特別是Markov模型，具有無后效性的優(yōu)點(diǎn)，非常適合預(yù)測GM模型殘差的變化，因此近幾年來相關(guān)研究比較活躍，如王秋萍等[5]將Markov殘差修正的灰色GM(1,N)模型運(yùn)用于預(yù)測糧食產(chǎn)量，宋強(qiáng)等[6]運(yùn)用Markov修正模型預(yù)測機(jī)床切削力等。在運(yùn)用GM(1,1)模型做備件和維修器材需求預(yù)測方面也有類似研究，趙平等[7]提出了運(yùn)用Markov殘差修正的灰色GM(1,1)模型預(yù)測裝備維修器材消耗情況，王鐵寧等[8]運(yùn)用加權(quán)Markov修正模型對預(yù)測結(jié)果進(jìn)行修正，均取得非常理想的效果。

然而，運(yùn)用Markov相關(guān)模型解決GM模型產(chǎn)生的殘差，并最終得出預(yù)測值的方法卻存在部分缺陷。比如，Markov模型要求將GM模型產(chǎn)生的殘差人為地劃分狀態(tài)區(qū)間，其劃分標(biāo)準(zhǔn)不一將在較大程度上影響模型精度[8-9]。同時(shí)，Markov模型最終得到的僅僅是其結(jié)果數(shù)值處于某一狀態(tài)的概率值，在取得概率較大狀態(tài)結(jié)果的同時(shí)，忽略了其他狀態(tài)結(jié)果的可能性，甚至有可能使預(yù)測結(jié)果更加偏離真實(shí)值，為決策增加風(fēng)險(xiǎn)因素。單一的預(yù)測結(jié)果不利于為多樣性決策提供有力支撐。

因此，本文在“區(qū)間預(yù)測”思想的基礎(chǔ)上[10]，通過求解高階殘差對擬合值進(jìn)行修正并構(gòu)建預(yù)測區(qū)間，通過數(shù)值模擬論證了GM(1,1)高階殘差區(qū)間模型在提高預(yù)測精度上的有效性，運(yùn)用Markov模型對模型進(jìn)行了改進(jìn)，給出了高階殘差預(yù)測區(qū)間的表達(dá)式。為保障決策提供了較為“大膽”和相對“保守”的預(yù)測結(jié)果，有效提高了運(yùn)用Markov模型修正GM(1,1)預(yù)測結(jié)果的可靠性。

1 GM(1,1)模型的建立

1.1 模型基本原理

由定義可知，{x(0)(k)}為原始序列，GM(1,1)模型的可以描述為

(1)

1.2 邊界條件的確定

(2)

2 殘差修正區(qū)間模型

2.1 殘差修正模型

根據(jù)原始數(shù)據(jù)序列和GM(1,1)模型的擬合值序列，可以定義殘差序列

(3)

由于式(3)為絕對值形式，在殘差修正GM(1,1)模型中，不同時(shí)滯下殘差修正模型可以表達(dá)為

(4)

(5)

a1和b1分別為擬合1階殘差時(shí)的系數(shù)。

2.2 高階殘差GM(1,1)區(qū)間模型

同理，在對GM(1,1)模型擬合的數(shù)據(jù)進(jìn)行1次殘差修正后，為提高擬合精度，仍然可以在修正后的序列基礎(chǔ)上繼續(xù)進(jìn)行殘差擬合修正，即

(6)

由式(4)可以看出，殘差的正負(fù)影響著預(yù)測值的準(zhǔn)確與否，將式(5)中的δ(k+1)帶入式(6)，便得到了高階殘差修正模型。在理想狀況下，這種模型擬合精度非常高(這一點(diǎn)在實(shí)例分析中說明)。因此，從決策的實(shí)際角度來看，可以考慮預(yù)測的真實(shí)值落在某一區(qū)間：

2.3 數(shù)值模擬

分別令a=0.1,0.2,…,0.7，取k=1，2,…,10，按照x(k)=eak構(gòu)造指數(shù)序列，將前6位數(shù)作為已知序列，運(yùn)用式(1)和式(2)進(jìn)行計(jì)算，并運(yùn)用式(3)～式(6)構(gòu)造預(yù)測區(qū)間。將后4位數(shù)作為預(yù)測對比值，計(jì)算結(jié)果如表1所示。

表 1 1階殘差區(qū)間預(yù)測模型模擬

2.4Markov修正區(qū)間模型

當(dāng)序列變化的幅度較大時(shí)(即R0較大時(shí))，便會造成灰度區(qū)間過大和側(cè)重方向無法體現(xiàn)等問題。

根據(jù)殘差變化情況判斷,其正負(fù)變化過程存在Markov鏈的變化特點(diǎn)，于是便可以根據(jù)殘差的正負(fù)關(guān)系劃分Markov鏈的狀態(tài)：將殘差符號為正時(shí)的狀態(tài)定義為狀態(tài)1，殘差符號為負(fù)時(shí)的狀態(tài)定義為狀態(tài)2。在預(yù)測時(shí)，根據(jù)不同狀態(tài)概率的大小取定符號，即

(7)

其中，pk+1(j)為在k+1時(shí)刻，處于狀態(tài)j的概率，j=1，2。

由式(7)可知，在實(shí)際預(yù)測時(shí)，不能忽略δ(k+1)取不同值的可能性，特別是pk+1(1)與pk+1(2)相差不大時(shí)，預(yù)測便存在“賭博”的特性。然而區(qū)間形式的預(yù)測結(jié)果卻能很好地彌補(bǔ)這一缺陷，可以將1階殘差預(yù)測區(qū)間改進(jìn)為

這一數(shù)值反映了原始數(shù)據(jù)跳躍變化的幅度大小，由模擬區(qū)間可以看出，當(dāng)數(shù)據(jù)跳躍變化的幅度逐漸減小時(shí)，預(yù)測區(qū)間將逐漸縮短，預(yù)測區(qū)間和擬合值都將收縮為傳統(tǒng)GM(1,1)模型的預(yù)測值。

同時(shí)顯然有

ipk + 1(2) +ipk + 1(1) = 1

當(dāng)考慮1階殘差修正的情況下，由式(8)可知，當(dāng)1pk + 1(1)→1時(shí)，有1pk + 1(2)→0。此時(shí)變?yōu)?/p>

當(dāng)1pk + 1(2)→1時(shí)，有1pk + 1(1)→0。此時(shí)模擬空間變?yōu)?/p>

此時(shí)，模擬區(qū)間預(yù)測結(jié)果類似于傳統(tǒng)模型的預(yù)測結(jié)果。

3 實(shí)例分析

以文獻(xiàn)[8]中的裝備備件統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)為例，2004—2013年備件S需求數(shù)量序列為

x(0)={86,91,102,91,103,101,93,94,107,99}

因?yàn)樵摂?shù)據(jù)引自文獻(xiàn)[8]，故在此不再進(jìn)行級比檢驗(yàn)。同時(shí)，為便于進(jìn)行數(shù)值說明，保留小數(shù)點(diǎn)后4位小數(shù)。

3.1 3階殘差GM(1,1)模擬

將式(9)代入式(1)～式(6)，計(jì)算前3階殘差修正模型，計(jì)算結(jié)果如表2所示。

表2 GM(1,1) 模型擬合結(jié)果以及各階殘差修正擬合結(jié)果

由表1可以看出，由于數(shù)據(jù)變化幅度較大，傳統(tǒng)GM(1,1)的相對誤差較大，達(dá)到4.53%。同時(shí)可以看到，殘差計(jì)算階數(shù)越高，平均相對誤差越小，擬合值與真實(shí)值之間就越接近，從備件需求數(shù)量擬合的角度來看，3階殘差模型擬合出的數(shù)值幾乎與真實(shí)值完全一致。因此可以認(rèn)為，只要階數(shù)m足夠大，且模型發(fā)展系數(shù)a無較大變化，即在沒有新的突變因素的干擾下(如設(shè)備操作環(huán)境沒有大幅度變化、設(shè)備操作方式?jīng)]有大幅度改變等)，以m階殘差修正后的GM(1,1)區(qū)間必將涵蓋序列在k+1時(shí)刻的真實(shí)值，即：[93.856 6, 109.162 7]。

然而，這一區(qū)間不能體現(xiàn)決策時(shí)殘差正負(fù)的傾向性，而且區(qū)間長度太長，無形當(dāng)中降低了決策的可操作性，因此采用Markov模型預(yù)測殘差正負(fù)的變化情況。

3.2 Markov修正區(qū)間

如前文所述，將殘差符號為正時(shí)的狀態(tài)定義為狀態(tài)1，殘差符號為負(fù)時(shí)的狀態(tài)定義為狀態(tài)2。根據(jù)表2中各階殘差變化的次數(shù)統(tǒng)計(jì)并建立一步狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣:

初始狀態(tài)概率為：

其中，iP為第i階殘差的一步狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣。再由切普曼-柯爾莫哥洛夫方程計(jì)算各步長的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣，最后計(jì)算不同時(shí)刻下的狀態(tài)概率，計(jì)算結(jié)果如表3所示。

表3 各階殘差計(jì)算不同狀態(tài)概率的計(jì)算結(jié)果

計(jì)算可得預(yù)測區(qū)間為：[98.034 9, 105.687 9]。

因此在這個(gè)預(yù)測區(qū)間里較大膽的預(yù)測值為98，而較為保守的預(yù)測值為106。

4 結(jié)論

2) 當(dāng)數(shù)據(jù)跳躍變化的幅度逐漸減小時(shí)，預(yù)測區(qū)間將逐漸縮短，預(yù)測區(qū)間和擬合值都將收縮為傳統(tǒng)GM(1,1)模型的預(yù)測值。當(dāng)其中一個(gè)狀態(tài)對應(yīng)的轉(zhuǎn)移概率無限接近于1時(shí)，該模型將退化為類似傳統(tǒng)模型。

3) 在無突變因素影響的前提下，計(jì)算殘差階數(shù)越高，數(shù)據(jù)擬合的平均相對誤差就越小。從實(shí)際運(yùn)用的角度來看，如果計(jì)算階數(shù)足夠高，相對誤差可以忽略不計(jì)。在沒有新的突變因素的干擾下，以高階殘差修正后的GM(1,1)區(qū)間必將涵蓋序列預(yù)測的真實(shí)值。

4)區(qū)間式的預(yù)測結(jié)果很好地避免了根據(jù)概率大小選擇預(yù)測結(jié)果所產(chǎn)生的預(yù)測風(fēng)險(xiǎn)，同時(shí)為決策提供了較為大膽和相對保守的預(yù)測值，提高了預(yù)測結(jié)果的可靠性。

[1] 劉思峰.灰色系統(tǒng)理論及其應(yīng)用[M].北京:科學(xué)出版社,2014.

[2] 資道根.基于灰色GM(1,1)模型的跨境電子商務(wù)發(fā)展前景預(yù)測分析[J].數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識,2015,45(1):96-105.

[3] LIU Sifeng,Hu Mingli,Forrest Jeffrey,et al.PROGESS OF GREY SYSTEM MODELS[J].Transaction of Nanjing University of Aeronautics and Astronautics,2012，29(2):103-111.

[4] 郭敏,藍(lán)金輝,李娟娟,等.基于灰色殘差GM(1,N)模型的交通數(shù)據(jù)流恢復(fù)算法[J].交通運(yùn)輸系統(tǒng)工程,2012,12(1):42-47.

[5] 王秋萍,閆海霞,閆建波.Markov殘差修正的灰色GM(1,N)模型在糧食產(chǎn)量預(yù)測中的應(yīng)用[J].西安理工大學(xué)學(xué)報(bào),2009,25(3):347-350.

[6] 宋強(qiáng),朱艷芳,李華.基于灰色殘差修正模型的機(jī)床切削力預(yù)測與仿真[J].機(jī)械工程與自動化,2008(6):47-49.

[7] 趙平,劉寶平,黃棟.一種用于裝備維修器材消耗預(yù)測的灰色殘差修正模型[J].四川兵工學(xué)報(bào),2014,35(5):62-65.

[8] 王鐵寧,朱域,陳曉晨.基于灰色加權(quán)馬爾科夫的備件需求預(yù)測[J].裝甲兵工程學(xué)院學(xué)報(bào),2015,29(3):8-13.

[9] 李雪梅.灰色關(guān)聯(lián)分析與GM(1,1)模型優(yōu)化的研究與應(yīng)用[D].南京:南京航空航天大學(xué),2011.

[10]吳利豐,劉思峰,閆書麗.區(qū)間灰數(shù)序列的灰色預(yù)測模型構(gòu)建方法[J].控制與決策,2013,28(12):1912-1915.

[11]劉思峰,鄧聚龍.GM(1,1)模型的適用范圍[J].系統(tǒng)工程理論與實(shí)踐,2000,20(5):121-124.

(責(zé)任編輯 楊繼森)

Higher-Order Residual Error Corrected GM(1, 1) Interval Prediction Model and Its Application

ZHANG Lei1, SUN Chang-qing2

(1.The No. 66021stTroop of PLA, Tianjin 301900, China;2.School of Mechanical and Engineering, Shengyang Institute of Engineering, Shengyang 110136, China)

The interval prediction GM(1, 1) with Markov higher order residual error correction was proposed. Based on prediction results of GM(1, 1), the absolute residual error was calculated by markov, and the true value was approximated by superposition of residual error items. the prediction interval was constructed, and the suitable range and rationality of model were discussed. Finally the Markov model was used to improve the prediction interval model and the equation was given and discussed. The model softens the restrict range of development coefficients; and the higher order residual error correction is used, the less mean relative error is obtained, and the more reliable the prediction result is. The prediction risk caused by which prediction result is selected according to its state probability is avoided; and the reliability of prediction is improved.

GM(1, 1) model; residual error correction; Markov model; demand prediction

2016-09-27；

2016-10-25

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(51371173)

張磊(1983—)，男，助理工程師，博士，主要從事裝備精確保障研究；孫長青(1978—)，男，講師，博士，主要從事機(jī)械強(qiáng)度和合金材料研究。

10.11809/scbgxb2017.02.039

張磊，孫長青.高階殘差修正GM(1,1)區(qū)間預(yù)測模型及其應(yīng)用[J].兵器裝備工程學(xué)報(bào)，2017(2):177-181.

format:ZHANG Lei, SUN Chang-qing.Higher-Order Residual Error Corrected GM(1, 1) Interval Prediction Model and Its Application[J].Journal of Ordnance Equipment Engineering,2017(2):177-181.

TJ01；N941.5

A

2096-2304(2017)02-0177-05